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Raisonnement - Méthodes - Invention

 

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Lorsque nous entreprenons de construire une discipline donnée, nous distinguons, tout d'abord, un certain petit groupe d'expressions de cette discipline qui nous paraissent immédiatement compréhensibles ; les expressions de ce groupe nous les appelons les TERMES PRIMITIFS ou TERMES NON DÉFINIS, et nous les employons sans expliquer leur sens. En même temps nous adoptons ce principe : n'employer aucune autre expression de la discipline en question, à moins que son sens n'ait été d'abord déterminé à l'aide des termes primitifs et de telles expressions de cette discipline dont le sens a été expliqué au préalable. La proposition qui détermine de cette manière le sens d'un terme s'appelle une DÉFINITION, et les expressions elles-mêmes dont le sens a été déterminé prennent en conséquence le nom de TERMES DÉFINIS.
Nous procédons de façon semblable pour ce qui est des énoncés de la discipline en question. Certains de ces énoncés qui ont pour nous les apparences de l'évidence sont choisis pour ce qu'on appelle les ÉNONCÉS PRIMITIFS ou AXIOMES (souvent appelés aussi POSTULATS) ; nous les acceptons comme vrais sans établir en aucune façon leur validité. D'autre part, nous convenons de n'accepter n'importe quel autre énoncé pour vrai que si nous avons réussi à en établir la validité, et à n'employer pour ce faire, rien d'autre que les axiomes, les définitions et seulement les énoncés de cette discipline dont la validité a été établie antérieurement. Comme on le sait déjà très bien, les énoncés établis de cette façon s'appellent des ÉNONCÉS PROUVÉS ou des THÉORÈMES, et le procédé qui consiste à les établir s'appelle une PREUVE DE DÉMONSTRATION. Plus généralement, si dans le champ même de la logique ou des mathématiques nous établissons un énoncé en nous fondant sur d'autres énoncés, nous appelons ce procédé DÉRIVATION ou DÉDUCTION, et l'énoncé établi de cette façon se dit DÉRIVÉ ou DÉDUIT des autres énoncés ou se dit encore être leur CONSÉQUENCE.
La logique mathématique contemporaine est une de ces disciplines qui sont construites en conformité avec les principes que nous venons d'énoncer.

Alfred TARSKI, Introduction à la logique, 2e éd., 1969


Qu'est-ce, en effet, que l'invention mathématique ? Elle ne consiste pas à faire de nouvelles combinaisons avec des êtres mathématiques déjà connus. Cela, n'importe qui pourrait le faire, mais les combinaisons que l'on pourrait former ainsi seraient en nombre infini, et le plus grand nombre serait absolument dépourvu d'intérêt. Inventer, cela consiste précisément à ne pas construire les combinaisons inutiles et à construire celles qui sont utiles et qui ne sont qu'une infime minorité. Inventer, c'est discerner, c'est choisir.
Comment doit se faire ce choix, je l'ai expliqué ailleurs ; les faits mathématiques dignes d'être étudiés, ce sont ceux qui, par leur analogie avec d'autres faits, sont susceptibles de nous conduire à la connaissance d'une loi mathématique de la même façon que les faits expérimentaux nous conduisent à la connaissance d'une loi physique. Ce sont ceux qui nous révèlent des parentés insoupçonnées entre d'autres faits, connus depuis longtemps, mais qu'on croyait à tort étrangers les uns aux autres.
Parmi les combinaisons que l'on choisira, les plus fécondes seront souvent celles qui sont formées d'éléments empruntés à des domaines très éloignés ; et je ne veux pas dire qu'il suffise pour inventer de rapprocher des objets aussi disparates que possible ; la plupart des combinaisons qu'on formerait ainsi seraient entièrement stériles ; mais quelques unes d'entre elles, bien rares, sont les plus fécondes de toutes.
Inventer, je l'ai dit, c'est choisir ; mais ce mot n'est peut-être pas tout à fait juste, il fait penser à un acheteur à qui on présente un grand nombre d'échantillons et qui les examine l'un après l'autre de façon à faire son choix. Ici les échantillons seraient tellement nombreux qu'une vie entière ne suffirait pas pour les examiner. Ce n'est pas ainsi que les choses se passent. Les combinaisons stériles ne se présenteront même pas à l'esprit de l'inventeur. Dans le champ de sa conscience n'apparaîtront jamais que les combinaisons réellement utiles, et quelques autres qu'il rejettera, mais qui participent un peu des caractères des combinaisons utiles. Tout se passe comme si l'inventeur était un examinateur du deuxième degré qui n'aurait plus à interroger que les candidats déclarés admissibles après une première épreuve.

Henri POINCARÉ, L'Invention mathématique, 1908

 

 



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Cette étude, comme tout ce qu'on pourrait écrire sur l'invention en mathématiques, fut tout d'abord inspirée par la célèbre conférence d'Henri Poincaré à la Société de Psychologie à Paris.
Je suis revenu pour la première fois sur le sujet au cours d'une réunion du Centre de Synthèse à Paris, en 1937. Mais je l'ai traité plus à fond dans une série de cours que j'ai faits en 1943 à l'École Libre des Hautes Études, à New-York.
L'Université de Princeton en a reçu le manuscrit juste au moment où je quittais les États-Unis pour revenir vers l'Europe (21 août 1944).
Jacques HADAMARD, Préface

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Qui ne soulèverait volontiers le voile qui nous cache l'avenir afin de jeter un coup d'œil sur les progrès de notre Science et les secrets de son développement ultérieur durant les siècles futurs ? Dans ce champ si fécond et si vaste de la Science mathématique, quels seront les buts particuliers que tenteront d'atteindre les guides de la pensée mathématique des générations futures ? Quelles seront, dans ce champ, les nouvelles vérités et les nouvelles méthodes découvertes par le siècle qui commence ?
L'histoire enseigne la continuité du développement de la Science. Nous savons que chaque époque a ses problèmes que l'époque suivante résout, ou laisse de côté comme stériles, en les remplaçant par d'autres. Si nous désirons nous figurer le développement présumable de la Science mathématique dans un avenir prochain, nous devons repasser dans notre esprit les questions pendantes et porter notre attention sur les problèmes posés actuellement et dont nous attendons de l'avenir la résolution. Le moment présent, au seuil du vingtième siècle, me semble bien choisi pour passer en revue ces problèmes ; en effet, les grandes divisions du temps non seulement permettent de jeter un regard sur le passé, mais encore attirent notre pensée sur l'avenir inconnu.
Le grand rôle joué par des problèmes déterminés dans le progrès général de la Science mathématique est non moins incontestable que l'influence qu'ont ces problèmes sur le travail particulier du chercheur. Tant qu'une branche de la Science jouit d'une abondance de problèmes, elle est pleine de vie ; le manque de problèmes dénote la mort, ou la cessation du développement propre de cette branche. Et de même que dans toute entreprise humaine il faut poursuivre un but, de même dans la recherche mathématique il faut des problèmes. La puissance du chercheur se retrempe dans leur résolution, il y trouve de nouvelles méthodes et de nouveaux points de vue, d'où il découvre un horizon plus vaste et plus libre.
David HILBERT, Introduction

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Il faudrait principalement s'attacher à donner quelques méthodes générales pour la solution d'un problème, suivant la manière de l'aborder, de le conduire au résultat, et de traduire cette dernière partie dans le langage de l'énoncé. C'est sans doute ce qu'il y aurait de plus difficile ; la multiplicité des moyens dont la Géométrie, dont l'Algèbre même peuvent se servir pour arriver au but proposé, la variété des questions, tout contribuerait à éloigner les méthodes générales ; mais on pourrait, il me semble, classer les problèmes suivant les ressemblances plus ou moins grandes de leurs moyens de solution, et l'on parviendrait peut-être, sinon à une méthode unique, du moins à un composé fini de moyens différents, que l'on pourrait regarder comme généraux vu leurs nombreuses applications
Tel est le but que je me propose dans le cours de cet Ouvrage. Je commencerai par récapituler les moyens de la Géométrie simple pour résoudre les problèmes ; je lui associerai ensuite le calcul. Je rendrai les principes que je présenterai plus clairs, plus frappants, par quelques exemples ; si les solutions que j'offre ne sont pas les plus simples, les plus élégantes, elles fourniront à mes lecteurs au moins un énoncé à travailler, et je m'applaudirai en faisant mal, d'avoir procuré à d'autres l'occasion de bien faire.
Gabriel LAMÉ, Introduction

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Plusieurs siècles avant l'ère chrétienne, la Géométrie était déjà arrivée à un très haut degré de développement. L'Algèbre qui lui a rendu plus tard de si grands services, avait progressé plus lentement ; aussi les anciens en étaient-ils à peu près exclusivement réduits aux méthodes géométriques pour résoudre les problèmes de construction et la solution de ces questions jouait-elle un rôle important dans leurs ouvrages.
Quoique les mathématiciens modernes n'aient pas cessé de s'intéresser à cette branche de la science, les moyens de traiter rationnellement cette classe de problèmes se sont développés d'une manière relativement moins rapide. Apollonius par exemple aurait aussi bien pu que Steiner résoudre le problème de Malfatti, s'il en avait eu connaissance. Cette situation a été cause que beaucoup de personnes ont considéré les problèmes de construction géométrique comme des sortes d'énigmes dont la solution ne pourrait guère être tentée que par quelques esprits doués de facultés toutes spéciales. Il en est résulté que ces questions ont à peine pénétré dans les écoles où pourtant elles auraient tout naturellement dû être cultivées ; car il n'existe pas de problèmes qui servent autant à aiguiser la faculté d'observation et de combinaison et à donner à l'esprit de la clarté et de la logique ; il n'y en a pas qui présentent autant d'attrait pour les élèves.
L'ouvrage actuel a pour objet d'essayer d'apprendre à ces derniers comment on doit attaquer un problème de construction. Après avoir résolu un grand nombre de questions, les unes originales, les autres extraites des nombreuses collections existantes, j'ai essayé d'analyser l'enchaînement des idées qui conduisent à la solution de chacune d'elles et d'en faire une classification sous forme de règles générales. S'il se trouve que mes solutions diffèrent des autres auteurs et si, dans certains cas, elles paraissent plus compliquées, c'est que j'ai préféré celles qui sont méthodiques à celles qui semblent dues à un hasard heureux. L'objet que j'ai principalement en vue, c'est la méthode ; dans la plupart des cas, je n'ai fait qu'indiquer la clef de la solution et j'en ai laissé la discussion détaillée au lecteur ou au professeur.
Il y a très peu de figures dans le texte ; on comprend bien mieux une figure et on se la rappelle bien plus facilement quand on l'a vue pendant la période de la construction. Mon idée, c'est de forcer les élèves à travailler le présent ouvrage et non pas simplement à le lire.
Julius PETERSEN, Préface
 

 

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Bien que cet ouvrage réponde tout particulièrement aux exigences des élèves et des professeurs de mathématiques, il devrait aussi parler à l'esprit de tous ceux qu'intéresse l'étude des voies et moyens de l'invention et de la découverte. Ce genre d'intérêt est d'ailleurs plus répandu qu'on ne pourrait le penser au premier abord. La place que les journaux et revues populaires réservent aux mots croisés et autres énigmes semble prouver que bien des gens consacrent un certain temps à résoudre des problèmes sans intérêt pratique. Derrière ce désir de résoudre tel ou tel problème qui n'apporte aucun avantage matériel, il peut y avoir une curiosité plus profonde, un désir de comprendre les voies et moyens, les raisons et le processus de la solution.
Les pages suivantes, rédigées de façon assez concise, et le plus simplement possible, résultent d'une longue et sérieuse étude des méthodes de solution. Ce genre d'étude, que certains écrivains nomment heuristique, n'est pas à la mode de nos jours, mais remonte loin dans le passé et a peut-être quelque avenir.
En étudiant les méthodes de solution des problèmes nous apercevons un autre aspect de la mathématique. Celle-ci, en effet, a deux visages : c'est la science rigoureuse d'Euclide, mais c'est aussi quelque chose d'autre. La mathématique présentée à la manière euclidienne apparaît comme une science systématique, déductive ; mais la mathématique en voie de formation se présente comme une science expérimentale, inductive. Ces deux aspects sont aussi anciens que la science même de la mathématique. Mais le second est nouveau sous certain rapport ; on n'a, en effet, jamais présenté tout à fait ainsi les mathématiques « in statu nascendi » (c'est-à-dire telles qu'elles sont lorsqu'on est en train de les inventer) ni à l'élève, ni au professeur lui-même, ni au grand public.
L'heuristique a maintes ramifications : les mathématiciens, les logiciens, les psychologues, les pédagogues, les philosophes même peuvent revendiquer certains de ses aspects comme appartenant à leur propre domaine. Se rendant parfaitement compte de la possibilité de critiques venant des horizons les plus divers, et pleinement conscient de ses limites, l'auteur se permet toutefois de faire remarquer qu'il possède une certaine expérience de la solution des problèmes et de l'enseignement des mathématiques à des stades divers.
Deux autres ouvrages, Induction and analogy in Mathematics et Patterns of plausible inference, continuent la ligne de pensée adoptée dans le présent livre ; une traduction française est parue sous le titre commun : Les mathématiques et le raisonnement"plausible".
George POLYA, Préface

Référence: 294

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Cette étude sur les Mathématiques et le raisonnement plausible, que j'ai toujours considéré comme formant un tout, se divise naturellement en deux parties : L'Induction et l'Analogie en Mathématiques et Schèmes d'inférence "plausible". La première partie est entièrement indépendante de la seconde et je pense que beaucoup d'étudiants désireront en prendre connaissance complètement avant de passer à la seconde. Elle comporte la plus grande part de la « matière » mathématique de cet Ouvrage et fournit des « données » pour l'étude inductive de l'induction entreprise dans la seconde partie. Quelques lecteurs habitués aux subtilités des mathématiques, préféreront s'attaquer directement à la seconde partie. Pour faciliter les références, le numérotage des chapitres se poursuit sans interruption à travers les deux parties. Je n'ai pas donné d'index, car un index obligerait la terminologie à être plus rigide qu'il n'est désirable dans ce genre d'Ouvrage. Je crois que la table des matières constituera un guide satisfaisant.
Le présent Ouvrage fait suite à mon précédent livre : How to Solve It (Comment poser et résoudre un problème). Le lecteur que la question intéresse peut les lire tous les deux, mais l'ordre est sans importance. Le présent texte est conçu de façon à pouvoir être lu indépendamment de l'autre Ouvrage. en fait, il n'y a, dans ce livre, que peu de références directes au livre précédent et l'on peut les écarter en première lecture. Néanmoins il y a des références indirectes presque à chaque page. Cet Ouvrage offre des exemples plus difficiles que le précédent qui, en raison de ses dimensions et de son caractère élémentaire, ne pouvait les contenir.
Cet Ouvrage n'est pas sans rapport avec un recueil de problèmes d'Analyse, dû à G. Szegö et à l'auteur. Les problèmes de ce recueil sont disposés de façon telle qu'ils se portent un secours mutuel, que les uns fournissent aux autres des indices, qu'ils recouvrent ensemble un certain domaine et qu'ils donnent au lecteur l'occasion de pratiquer divers modes de pensée utiles à la solution des problèmes. Dans la résolution des problèmes, le présent Ouvrage suit le mode de présentation inauguré par cet Ouvrage antérieur et ce lien n'est pas sans importance.
George POLYA, Préface

Référence: 295

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Avertissement

Le but du présent Ouvrage est d'initier le lecteur à ce puissant courant de la pensée contemporaine qui s'est centré sur la logique mathématique. Ce courant a eu sa source dans le besoin d'établir les mathématiques sur une base solide ; mais, dans son état actuel, il doit viser des objectifs plus vastes, et, notamment, celui de créer un appareil conceptuel fournissant un fondement commun pour l'ensemble du savoir humain, et de perfectionner la méthode déductive qui, dans tout domaine de l'activité intellectuelle, est un instrument indispensable pour tirer des conclusions de suppositions préalables.
Pour réaliser ce dessein dans les limites d'un ouvrage relativement court sans supposer chez le lecteur des connaissances spéciales en mathématiques ou un entraînement particulier à penser d'une manière abstraite, l'Auteur a adopté un langage qui diffère aussi peu que possible du langage de tous les jours, et il n'a fait qu'un usage restreint d'un symbolisme logique spécial. En même temps, il a essayé de combiner la plus grande intelligibilité possible avec la concision nécessaire, et d'éviter tout ce qui serait, du point de vue scientifique, une erreur ou une inexactitude grossière.
L'Ouvrage consiste en deux parties. La première constitue une introduction générale à la logique. La deuxième montre, sur un exemple concret, la manière dont la logique et la méthodologie sont appliquées dans la construction des théories mathématiques; elle permet au lecteur d'assimiler et d'approfondir les connaissances acquises par l'étude de la première partie. Chacun des 12 chapitres se termine par une série d'exercices.

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