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Mécanique quantique et ondulatoire

Mécanique quantique et ondulatoire

 

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La Théorie quantique est le résultat du travail créateur de plusieurs grands savants dont le premier, Max Planck, introduisit en physique la notion de quantum d'énergie. Après avoir, au cours de son évolution, franchi beaucoup d'étapes, la Théorie quantique nous fait pénétrer aujourd'hui profondément dans la structure des atomes et des noyaux atomiques, comme dans celle des corps dont les dimensions sont familières à notre expérience quotidienne.

George GAMOW, Trente années qui ébranlèrent la physique, 1968

 

 



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« Le concept de groupe préexiste dans notre esprit, au moins en puissance, a dit Henri Poincaré. Il s'impose à nous, non comme forme de notre sensibilité, mais comme forme de notre entendement ».
Lorsqu'on aborde un chapitre quelconque de la théorie des groupes, qu'il s'agisse des travaux de Galois, de Frobenius ou de Lie, l'on ne peut échapper à l'impression d'atteindre un domaine profond et central des mathématiques et de la logique. Cela est si vrai qu'il est impossible de faire ni physique, ni géométrie, sans se servir, de façon plus ou moins consciente, du concept de groupe.
E. Wigner et J. von Neumann, les premiers, l'utilisèrent explicitement en mécanique quantique ; il s'agissait d'étendre aux systèmes contenant un nombre quelconque de particules les résultats obtenus par Heisenberg dans ses belles recherches sur l'atome d'hélium. Les échanges d'énergie et de position entre les électrons jouaient dans cette théorie un rôle essentiel. On comprit que la cause profonde de son succès, la cause unique, c'est que l'équation de Schrödinger reste invariante lorsqu'on substitue l'un à l'autre deux électrons, qu'elle « admet » le groupe des permutations entre particules identiques.
Edmond BAUER

28,00 *
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En 1913 un physicien danois, Niels Bohr, étendit la notion de quantification de l'énergie radiante, due à Planck, à l'énergie mécanique des électrons à l'intérieur des atomes. Introduisant des « règles de quantification » spécifiques pour les systèmes mécaniques de dimensions atomiques, il aboutit à une interprétation logique du modèle planétaire de l'atome qui, établi par Ernest Rutherford sur une base expérimentale solide, se trouvait pourtant en nette contradiction avec tous les concepts fondamentaux de la physique classique. Ayant calculé les énergies des divers états quantiques discrets de certains électrons atomiques, Bohr interpréta l'émission lumineuse comme l'éjection de quanta de lumière, chaque quantum de lumière étant éjecté avec une énergie égale à la différence entre celle de l'état quantique initial et de l'état quantique final d'un électron atomique. Ses calculs lui permirent d'expliquer en détail les raies spectrales de l'hydrogène et de certains éléments plus lourds, problème qui avait intrigué les spectroscopistes pendant des dizaines d'années. La première publication de Bohr relative à la théorie quantique de l'atome fut à l'origine de développements foudroyants. Au cours d'une seule décennie, grâce aux efforts conjugués de théoriciens et d'expérimentateurs appartenant à de nombreux pays, les propriétés optiques, magnétiques et chimiques de divers atomes furent comprises en détail.
George GAMOW, Trente années qui ébranlèrent la physique, 1968

21,00 *
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Sommaire
- Résumé de la théorie de Maxwell et de la théorie des électrons.
- Le principe de Relativité.
- Compléments sur la théorie de la Relativité restreinte.
- La Mécanique statistique classique.
- La théorie du Rayonnement noir.
- La structure corpusculaire de la Lumière. Les Photons.
- La théorie quantique de l'atome de Bohr-Sommerfeld.
- Le principe de correspondance.
- Idées de base et équations fondamentales de la Mécanique ondulatoire.
- La signification physique de la Mécanique ondulatoire.
- Applications de la Mécanique ondulatoire à la quantification.
- Mécanique quantique d'Heisenberg et principe de correspondance.
- L'interprétation probabiliste de la Mécanique ondulatoire.
- Le spin de l'électron. La théorie de Dirac.
- Le principe de Pauli et la Mécanique ondulatoire des systèmes de corpuscules.
- Les statistiques quantiques.

54,00 *
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Dans ce petit volume, je présente au public scientifique le résumé dans leur état actuel des conceptions nouvelles sur les rapports de la Mécanique et de l'Optique que j'ai antérieurement développée dans divers mémoires et articles, et dont ma thèse de doctorat donnait un premier exposé d'ensemble.
[...]
En premier lieu, j'admets et je suppose connue toute la théorie de la Relativité tant sous sa forme primitive dite aujourd'hui « spéciale» que sous la forme généralisée. J'ai fait en particulier un usage constant de la Dynamique relativiste, et je suppose ses formules fondamentales bien présentes à l'esprit du lecteur. J'ai employé souvent le calcul tensoriel et la convention de sommation des indices ; toutefois le calcul tensoriel ne tient pas ici une très grande place et j'ai évité à dessein les formules compliquées, notamment dans le chapitre sur les champs gravifiques.
Je dois signaler la manière assez particulière dont j'ai introduit dans le cours de l'exposé la fameuse « équation des ondes ». Jadis, cette équation fut déduite des propriétés des milieux élastiques, étendues à cet hypothétique éther qu'on chargeait de transmettre les vibrations lumineuses et dont les singulières propriétés n'étaient pas à tout prendre beaucoup plus étranges que celles de nos modernes atomes. Plus tard, Maxwell parut et l'équation des ondes devint une conséquence des propriétés de l'électricité condensées sous la forme compacte à laquelle est attachée le nom du grand savant anglais. De nos jours, depuis que les théoriciens ont reconnu l'importance fondamentale du « groupe de Lorentz »,une certaine tendance s'est manifestée à considérer l'équation des ondes comme une sorte de postulat plus général que les formules de l'électromagnétisme. Ce point de vue se manifeste en particulier dans la façon dont Max von Laue introduit le groupe de Lorentz, au début de son traité de Relativité. C'est à cette tendance nouvelle que j'ai sacrifié, en introduisant d'emblée dans mon premier chapitre, l'équation de propagation.
Dans le deuxième partie du livre, j'ai admis l'existence des quanta de lumière et j'ai cherché à montrer que cette idée n'était point aussi incompatible qu'on le croyait avec les conceptions anciennes. J'ai aujourd'hui, je l'avoue, une tendance à considérer, comme le font beaucoup d'expérimentateurs, que les quanta de lumière constituent une réalité expérimentale.
Enfin, dans la troisième partie, j'ai repris rapidement toute la thermodynamique statistique en admettant comme une définition, suivant le procédé d'Einstein et de Planck, la proportionnalité de l'entropie d'un état au logarithme du nombre de manières différentes dont cet état peut être réalisé.
Louis de BROGLIE, Préface

Référence: 071

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Dirac était un contemporain de Heisenberg, de Pauli et de Fermi. Il avait commencé des études d'ingénieur électricien à Bristol, mais il changea pour les mathématiques pures qu'il aborda à Bristol et poursuivit ensuite au St John's College de Cambridge ; il y devint étudiant de recherche au titre de la Bourse de 1851. A Cambridge, il avait pris connaissance de la théorie atomique de Bohr et avait écrit quelques articles sur ce sujet. En 1925, après une visite de Heisenberg à Cambridge, il reçut les épreuves du premier article de celui-ci sur la Matrizenmechanik, qui constituait le premier contact de Dirac avec la mécanique quantique. Ayant étudié ces épreuves pendant environ dix jours, il aboutit à la conclusion que la nouvelle clé était la non-commutativité.
[...]
Pour la formulation de la mécanique quantique selon Dirac, il est nécessaire de se servir de certaines expressions mathématiques appelées q-nombres pour les distinguer des nombres ordinaires ou c-nombres. Les q-nombres ne sont pas des nombres au sens ordinaire du mot, mais de nouveaux objets mathématiques obéissant à une algèbre non-commutative, et qui sont directement liés aux matrices de Heisenberg et aux opérateurs de Schrödinger. La lettre q signifie quantique, alors que c signifie classique.
Ainsi dès 1925, Dirac réussit à donner une formulation complète de la mécanique quantique qui, à bien des égards, était plus générale que celle de ses contemporains. Elle est remarquable par sa formulation axiomatique et par les généralisations qu'elle permet.
Emilio SEGRÉ, Les physiciens modernes et leurs découvertes, Fayard, 1984

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Averti des progrès les plus récents de la science, l'auteur déjà habitué à réfléchir aux nouvelles formes contemporaines de la Mécanique, a consacré la dernière partie de son livre à la Mécanique relativiste et à la Mécanique ondulatoire et quantique. Cet exposé très exactement fait en suivant de près, selon les habitudes de l'auteur, la pensée des novateurs et le texte de leurs écrits rend naturellement l'histoire de la Mécanique de M. Dugas beaucoup plus complète que toutes celles qui avaient été rédigées avant lui.
La partie centrale du livre consacrée aux développements de la Mécanique aux XVIIe, XVIIIe et XIXe siècles a demandé à l'auteur une très grande somme de travail car la matière est immense. Ne pouvant suivre tous les détails du développement de la Mécanique au XVIIIe et surtout au XIXe siècle, M. Dugas a choisi pour les étudier à fond certaines questions particulièrement importantes, soit en elles-mêmes, soit pat les prolongements qu'elles ont eu dans la période contemporaine. Ce choix difficile paraît avoir été fait très habilement et a permis à l'auteur, sans se perdre dans les détails, de tracer de grandes lignes marquant les routes principales suivies dans cette région par la pensée scientifique.
Louis de BROGLIE, Préface

87,00 *
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George Gamow, dans cet ouvrage, déploie une fois encore ses qualités d'historien, de vulgarisateur et d'homme d'esprit.
L' histoire de la théorie quantique raconte la naissance de la physique moderne au cours des trente premières années du XXe siècle, en nous guidant ainsi à travers cette galerie de portraits où les grands noms de la physique sont présentés, par les textes, les photographies et les croquis, sous leur aspect le moins académique.
Le bagage scientifique d'un bachelier suffira au lecteur pour passer des quanta de lumière aux spéculations sur les grandeurs fondamentales de l'univers, à travers l'effet photoélectrique, l'effet Compton, la diffraction électronique, les réactions nucléaires, les antiparticules, etc.
Le livre se termine par une parodie du Faust de Goethe, qui fut présentée en 1932 à l'institut de Bohr, à Copenhague. Les croquis qui jalonnent le texte sont ceux du manuscrit original, sorti indemne de la guerre et de l'occupation. C'est une excellente revue d'étudiants exceptionnels, où artistes et modèles s'appellent Einstein,  Bohr, Planck, Pauli, de Broglie, Heisenberg, Fermi, Oppenheimer, Landau, Dirac, etc.

41,00 *
Référence: 080

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L'originalité du livre de M. Heisenberg tient surtout à ce qu'il a voulu insister tout particulièrement sur la signification de la Mécanique nouvelle en se tenant aussi près que possible de l'expérience. Sa préoccupation essentielle, après nous avoir rappelé pourquoi les résultats expérimentaux ne peuvent être interprétés qu'en faisant appel d'une façon simultanée et en quelque sorte complémentaire aux notions d'onde et de corpuscule, est de nous montrer comment ces conceptions presque contradictoires ne peuvent être employées en même temps que si l'on diminue leur précision primitive en les limitant pour ainsi dire l'une par l'autre. Comment la considération des ondes oblige à abandonner la précision complète dans la définition du corpuscule, c'est ce que l'auteur résumant ses célèbres travaux nous montre dans le deuxième chapitre de son livre où les relations d'incertitude sont déduites et examinées en détail. Plus curieuses encore peut-être parce que moins connues sont les considérations du troisième chapitre où nous apprenons comment la notion de corpuscule réagit à son tour sur la notion d'onde en nous amenant à imaginer une quantification du champ électromagnétique. Puis après cette critique pénétrante l'auteur nous montre au quatrième chapitre que la seule façon de concilier les ondes et les corpuscules est en somme d'ordre statistique. Enfin un dernier chapitre d'un très grand intérêt contient l'examen détaillé au point de vue de la nouvelle théorie des expériences fondamentales énumérées et décrites au chapitre premier. Ainsi, parti de l'expérience, M. Heisenberg a voulu terminer par elle, précisant bien ainsi l'orientation de son œuvre.
Louis de BROGLIE, Préface

28,00 *
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Ce livre, simple et maniable, met au point une question apparue dans la Science ayec Hugoniot, brillamment poursuivie par M. Jacques Hadamard et aboutissant actuellement à la Mécanique ondulatoire, à la lumière ondulée et photonique, aux travaux développés en France par le génie de M. Louis de Broglie. Un coup d'oeil sur l'index placé à la fin du volume rappelle notamment Bateman, surtout Cauchy, Charpit, Darboux, Debye, Dirac, Einstein, Fermi. Fresnel, Goursat, Heisenberg, Jacobi, Janet, Maxwell, Pfaff, Planck, Riemann, Schrödinger, Volterra. Désordre alphabétique qui, cependant, rapproche toute la Physique théorique des équations aux dérivées partielles du second et du premier ordre. Car c'était véritablement un scandale de la Physique mathématique classique que de voir celle-ci ne reposer que sur des équations du second ordre; il restait à y incorporer l'équation de Jacobi, ce qui donna précisément naissance à la Mécanique des ondes.
Comme le fait expressément et excellemment remarquer M. Levi-Civita, la dualité des ondes et des corpuscules résulte de dualités analytiques fondamentales et simples, notamment de celle des caractéristiques et des bicaractéristiques. Ces notions ne sont pas nouvelles; il faut, pour la plus grande partie, les faire remonter à Cauchy. Une fois de plus, l'analyse abstraite aura pris, tout à coup, une signification phénoménale.
M. Levi-Civita est très large dans sa définition du mouvement ondulatoire. L'onde est la propagation d'une perturbation, parfois avec vitesse très grande, qui peut cependant ne dépendre que de petits mouvements, au sens qu'ont ces deux derniers mots dans la Mécanique classique. Autre raison pour profiter de Lagrange, d'Hamilton et de Jacobi dans les théories ondulatoires.
Les ondes ne vont pas sans conditions de compatibilité, les unes géométrico-cinématiques, les autres dynamiques. Ces dernières donnent des jeux d'opérateurs,un déterminant qui, annulé, conduit à l'équation aux dérivées partielles des variétés caractéristiques. Signalons encore les impossibilités relatives aux fluides visqueux et le transport de la notion d'onde, par discontinuité transversale, dans la théorie de Maxwell. Certes l'optique ondulatoire et la théorie électromagnétique ont, depuis longtemps, des représentations d'ondes, généralement trigonométriques mais ce n'était pas sur de tels points qu'il y avait intérêt à revenir. Il fallait montrer plutôt comment l'onde discontinuité s'introduisait dans ces disciplines et c'est, au fond, fort simple, les équations générales de la dynamique des milieux continus étant de très proches parentes de celles de Maxwell.
Adolphe BUHL, L'Enseignement Mathématique, Vol. 30 (1931)

21,00 *
Référence: 047

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La nouvelle mécanique quantique est arrivée au cours de ces dernières années à une forme qui semble définitive, au moins dans ses traits les plus importants, et qu'on appelle la « théorie des transformations » ; le but de cet ouvrage est d'en donner un exposé cohérent, homogène et, autant que possible, mathématiquement rigoureux. Dans cet exposé nous insisterons surtout sur les questions de principe et sur les problèmes d'ordre général que pose l'apparition de la mécanique quantique. En particulier, nous étudierons d'un peu plus près l'interprétation physique de la théorie, qui pose une série de problèmes très ardus n'ayant pas encore reçu, pour la plupart, de solution définitivement satisfaisante ; les plus importants d'entre eux concernent les rapports entre la mécanique quantique, la statistique et la mécanique statistique classique.
[...]
De plus cet ouvrage contient un exposé des théories mathématiques nécessaires au développement de la mécanique quantique, à savoir la théorie de l'espace de Hilbert et ses opérateurs hermitiques ; il a été indispensable d'y incorporer également l'étude détaillée des opérateurs non bornés, c'est à dire d'étendre la théorie au delà de ses frontières classiques telles que les ont tracées Hilbert et E. Hellinger, F. Riesz, E. Schmidt, O. Toeplitz. Notons, en ce qui concerne la méthode adoptée, qu'en général nous calculerons avec les opérateurs eux-mêmes (qui représentent les grandeurs physiques) et non pas avec les matrices correspondantes, lesquelles ne s'en déduisent qu'après introduction d'un système particulier de coordonnées, d'ailleurs arbitraire, dans l'espace de Hilbert considéré. Cette méthode « indépendante des coordonnées », c'est à dire invariante et de caractère nettement géométrique, présente des avantages formels considérables.
John von NEUMANN, Introduction

60,00 *
Référence: 179

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Les tomes 9 et 10 de la présente publication contiennent les travaux de Henri Poincaré sur la Physique mathématique et sur divers problèmes de théorie physique. Comme à toutes les branches des Mathématiques, comme à la Mécanique générale et à la Mécanique céleste, comme au Calcul des Probabilités, Poincaré a apporté à la Physique mathématique et théorique de son temps des contributions d'une importance capitale portant la marque de l'originalité et de la profondeur d'un esprit extraordinairement puissant dont la capacité de travail était véritablement inouïe.
Louis de BROGLIE, Préface

108,00 *
Référence: 048

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Malgré les énormes succès pratiques, remportés ces dernières années par la mécanique nouvelle, ou peut-être à cause même de cela, les difficultés internes de la nouvelle théorie nous apparaissent aujourd'hui beaucoup plus clairement qu'au début. Elles s'amoncellent devant nos yeux et culminent dans l'antinomie irréductible ondes-particules (images que nous sommes obligés de garder toutes les deux parce que nous ne savons pas encore comment nous en débarrasser), – ainsi que dans le contraste entre l'évolution du phénomène ondulatoire qui s'effectue d'une manière parfaitement définie, et le comportement observable des particules, qui selon toutes les apparences, n'est déterminé que statistiquement.
A cela il faut encore ajouter que jusqu'à présent nous avons à peine réussi à trouver l'équivalent quantique de la mécanique de Newton, c'est à dire l'approximation qui correspond à c = ∞. Jusqu'à l'heure actuelle le succès n'a couronné aucune des tentatives d'incorporer à la nouvelle théorie les ondes électromagnétiques (les photons), ou de tenir compte de la vitesse finie avec laquelle se propage l'interaction d'atome à atome, ou à l'intérieur d'un même atome. A mon avis, la raison de cet état de choses doit être cherchée dans l'extraordinaire difficulté qu'on rencontre lorsqu'on veut concilier l'ensemble des conceptions de la mécanique nouvelle d'une part, avec celles de la théorie de la relativité restreinte de l'autre.
Nous avons donc peut-être raison de vouloir toujours retourner à l'origine première de nos conceptions fondamentales ; car, qui sait, en effet, si pour obtenir le résultat tant désiré il ne faudra pas transformer radicalement l'édifice que nous avons construit jusqu'à présent, pour l'asseoir sur des bases entièrement nouvelles ?
Erwin SCHRÖDINGER, Avant-Propos, septembre 1932

42,00 *
Référence: 348

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Bel ouvrage qui servira une grande cause. Nous a-t-on assez dit que les théories relativistes et tensorielles n'étaient que des constructions mathématiques dont le physicien n'avait que faire. Bien plus, je pourrais citer des physiciens qui enseignent encore qu'on ne doit pas avoir recours à ces constructions dans un domaine véritablement physique ! Léon Brillouin écrit le présent livre pour que le physicien s"arme des méthodes nouvelles qui d'ailleurs commencent à dater.
Le Calcul tensoriel, ou Calcul différentiel absolu, date de Riemann, Christoffel, Voigt, Bianchi, Ricci et Levi-Civita. Il doit des perfectionnements merveilleux à Élie Cartan. La Théorie des surfaces ne peut plus s'en passer, la cristallographie, la simple mécanique, l'élasticité, la thermodynamique des solides l'exigent impérieusement.
Nous n'avons jamais manqué de dire toute notre admiration pour l'œuvre d'Albert Einstein, et cependant c'est un fait qu'il n'y a pas de calcul einsteinien. Einstein a seulement eu recours à des théories métriques et nous a montré comment on pouvait en faire surgir des lois physiques. 
Tel est le beau thème qui est repris par M. Léon Brillouin. Disons tout de suite que ce thème est étendu au delà de l'équation de d'Alembert, vers la Mécanique ondulatoire. Et il semble qu'il y ait là un lot de grandes idées, lot bien suffisant pour présenter dignement l'ouvrage. 
Adolphe BUHLL'Enseignement Mathématique, Vol. 37 (1938)

 

57,00 *
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Ce livre contient des développements de mathématiques pures, qui peuvent être lus indépendamment du reste ; cette lecture ne demande pas d'autres connaissances que celles du premier cycle des Facultés des Sciences.
Le chapitre I est un exposé des résultats essentiels de la géométrie différentielle ; nous ne donnons que les démonstrations qui servent directement à la compréhension des questions abordées ; le lecteur pourra trouver les autres dans les traités spécialisés.
Le chapitre II, consacré à la géométrie symplectique, contient, non seulement les résultats classiques de la théorie, mais aussi l'étude détaillée des théorèmes de type cohomologique mis en jeu par la notion abstraite de groupe dynamique ; ainsi que la génération réciproque de variétés symplectiques à partir des groupes de Lie.
Le § 16 (Chap. IV) est consacré à la notion de mesure sur une variété ; les démonstrations qui ne sont pas données se trouvent dans le traité de Bourbaki. Le texte est illustré d'exemples variés : convolution sur un groupe de Lie, variables aléatoires, moments, loi normale de Gauss, ensemble de Gibbs d'un groupe dynamique, photométrie classique.
Le § 18 est, lui aussi, purement mathématique ; il semble d'ailleurs que la « quantification géométrique » qui y est exposée puisse servir dans les problèmes de représentation unitaire des groupes. Nous en profitons d'ailleurs pour énoncer les définitions essentielles de cette théorie, espaces de Hilbert et C*-algèbres notamment.
Jean-Marie SOURIAU, Introduction

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