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Henri LEBESGUE

LEÇONS

SUR LES

CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES

PROFESSÉES AU COLLÈGE DE FRANCE EN 1940-1941

Préface de Paul Montel

Paris, Gauthier-Villars
1950

Auteur :
Henri LEBESGUE

Préface :
Paul MONTEL

Cours du Collège de France

Thème :
MATHÉMATIQUES
Géométrie élémentaire et moderne

Reprint 2003
17 x 24 cm
318 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-002-6

S O M M A I R E

I - LES PROCÉDÉS DE CONSTRUCTION.
1 - La solution des problèmes fondamentaux : trisection de l'angle, duplication du cube.
Aperçu historique sur les problèmes de construction.
La solution de Nicomède : la conchoïde de Nicomède et son tracé par la règle à glissière.
La solution de Dioclès : la cissoïde droite ; son tracé et celui de la strophoïde par l'équerre glissante (Newton).
La quadratrice de Dinostrate ; sa construction par points.
Distinction entre les divers modes de construction de courbes par points ; les idées de Descartes sur ce sujet ; tracé graphique et tracé mécanique d'une courbe.

2 - La règle et le compas. Le compas seul.
La valeur, pour les Grecs, des constructions par la règle et le compas. La création de l'Algèbre des longueurs (Viète, Descartes).
Détermination des éléments constructibles avec la règle et le compas. Définition d'un domaine de rationalité.
La Géométrie du compas. Théorème de Mohr et de Mascheroni. Seconde démonstration : les 6 opérations fondamentales.

3 - La règle seule. La règle et l'équerre.
Historique. Détermination des éléments constructibles avec la règle seule. Réciproque : les cinq opérations fondamentales, cas des points à l'infini.
La règle et l'équerre à tracer des parallèles. L'équerre à tracer des perpendiculaires, la fausse équerre, l'équerre à 45 degrés.

4 - Emplois divers des instruments de construction.
La règle à deux bords parallèles. Les pliages de papier de première et de seconde espèce. La règle et le compas transporteurs de distances.
Nouveaux modes d'emploi des instruments précédents leur permettant de remplacer le compas.
Restrictions que l'on peut apporter à l'emploi de ces instruments sans qu'ils cessent de remplacer le compas. Théorème de Poncelet. Théorème corrélatif.
Les constructions en Géométrie anallagmatique, en Géométrie de Lobatchevsky, en Géométrie sphérique.

5 - Les systèmes articulés.
Description des systèmes articulés plans. Les quadrilatères. Invariants de quelques systèmes.
Utilisation des appareils : Tracé d'une courbe ; le trois-barres. Transformations ponctuelles. Construction de longueurs, vecteurs, angles.
La portée des appareils ; théorème de Kempe-Koenigs dans le plan et dans l'espace.

II - LES PROBLÈMES ALGÉBRIQUES ET GÉOMÉTRIQUES SOULEVÉS PAR LES ÉTUDES DE CONSTRUCTIBILITÉ.
1 - Les problèmes algébriques soulevés par les constructions avec la règle seule.
Recherche des racines d'une équation algébrique appartenant à un domaine de rationalité donné.
Condition pour qu'un nombre soir irrationnel. Introduction des fractions continues par la mesure des longueurs. Exemple de la diagonale et du côté du carré.
Généralités sur les fractions continues ; quelques critères de convergence. Condition suffisante pour que la valeur d'une fraction continue soit irrationnelle.
Les travaux de Lambert : étude de π par une fraction continue ; irrationalité de π ; les tangentes premières. Irrationalité de e et de ses puissances.

2 - Les problèmes algébriques soulevés par les constructions avec la règle et le compas : les polygones réguliers.
Équation algébrique vérifiée par une expression constructible et ses conjuguées. Impossibilité de la duplication du cube et de la trisection de l'angle.
Préliminaires de théorie des nombres.
L'inscription des polygones réguliers par la règle et le compas. La méthode de Vandermonde ; étude des résolvantes de Lagrange. La résolution de Gauss.
Étude des périodes. Construction effective des polygones réguliers constructibles par la règle et le compas ; cas de n = 5 et n = 17. Exemple de construction par la règle, le compas et le trisecteur : n = 7, n = 13.

3 - Solution du problème général d'Algèbre relatif aux constructions par la règle et le compas.
Théorème d'Abel ; les résolvantes de Galois ; la solution générale du problème.
Exemple des normales à une ellipse issues d'un point donné. Impossibilité d'une solution donnant une loi de construction continûment variable qui soit valable pour toutes les données.
Les constructions par la règle et le transporteur de distances. Décomposition d'un polynome jamais négatif en une somme de carrés ; cas d'une seule variable.

4 - Constructions dans un domaine de rationalité non normal : trisectrices et n-sectrices d'un triangle.
Points constructibles à partir de trois angles égaux de même sommet ; cas des trisectrices, des n-sectrices d'un angle. Points constructibles à partir des n-sectrices de deux angles d'un triangle, soit par la règle seule, soit par la règle et le compas.
Construction des trisectrices d'un triangle. Théorème de Morley.
Construction des n-sectrices. Généralisation du théorème de Morley.
Point de vue projectif ; comparaison entre le théorème de Morley et le théorème de Desargues.

5 - Transcendance de e et de π.
Transcendance de e : méthode d'Hermite simplifiée par Hilbert. Comparaison entre la méthode d'Hermite et celle des fractions continues de Lambert.
Transcendance de π.

III - COURBES CONSTRUCTIBLES PAR POINTS A L'AIDE DE LA RÈGLE.
1 - Courbes constructibles par points quelconques.
La méthode de construction des courbes utilisée en Géométrie Descriptive.
Premières recherches des courbes constructibles par points à l'aide de la règle seule ; le théorème de Lüroth sur les courbes unicursales.
Une courbe algébrique considérée dans le domaine complexe et sa surface de Riemann. Classification des voisinages. - Réalisation de la surface de Riemann par feuillets plans raccordés, par un polyèdre, par un polygone plan. Définition du genre.
Détermination du genre par réduction de la courbe : théorème de Nöther. Toute courbe du genre zéro est unicursale.
Obtention d'une représentation unicursale dans le domaine de rationalité de la courbe. Étude du problème d'Arithmétique correspondant : recherche sur une conique d'un point à coordonnées rationnelles.

2 - Courbes constructibles par points discrets.
Position de la question. Cas des cubiques non unicursales.
Paramètre caractérisant un point de la branche impaire d'une cubique.
Cubiques contenant une infinité de points rationnels dans un domaine formant un ensemble partout dense.
Théorème de Nagell sur les cubiques y² = x³ + ax + b (a et b entiers).
Énoncé du théorème de Mordell.

3 - L'étude de la droite.
Retour aux considérations générales. L'apport des Grecs ; celui de Viète et Descartes en Géométrie. L'intérêt de l'étude des constructions en Géométrie moderne.
Le théorème fondamental de la Géométrie projective, nouvelle étude de points accessibles sur la droite. La Géométrie de Thalès. - Nécessité d'un axiome précisant le contenu de la droite en points.
Un exemple d'étude sur une droite plus riche en points que celle de Dedekind.