KLEENE : Logique mathématique, 1971

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Stephen C. KLEENE

LOGIQUE MATHÉMATIQUE

Titre original
Mathematical Logic

Traduit par Jean LARGEAULT

Paris, Armand Colin
1971

 

Auteur :
Stephen C. KLEENE

Traduction :
Jean LARGEAULT

Thème :
MATHÉMATIQUES
Logique. Théorie des ensembles

Reprint 2004
17 x 24 cm, oblong
422 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-005-7


 

S O M M A I R E

I - LOGIQUE MATHÉMATIQUE ÉLÉMENTAIRE.

- 1 - Le calcul propositionnel.
01. Considérations relatives au langage : les formules.
02. Théorie des modèles : tables de vérité, validité.
03. Théorie des modèles : la règle de substitution, une collection de formules valides.
04. Théorie des modèles : implication et équivalence.
05. Théorie des modèles : les chaînes d'équivalences.
06. Théorie des modèles : la dualité.
07. Théorie des modèles : la notion de conséquence valide.
08. Théorie des modèles : les tables de vérité réduites.
09. Théorie de la démonstration : démonstrabilité et déductibilité.
10. Théorie de la démonstration : le théorème de la déduction.
11. Théorie de la démonstration : la consistance, les règles d'introduction et d'élimination.
12. Théorie de la démonstration : la complétude.
13. Théorie de la démonstration : l'emploi de règles dérivées.
14. Applications au langage usuel : l'analyse d'arguments.
15. Applications au langage usuel : les arguments incomplets.

2 - Le calcul des prédicats.
16. Considérations relatives au langage : formules, occurrences libres et liées de variables.
17. Théorie des modèles : domaines, validité.
18. Théorie des modèles : résultats fondamentaux sur la validité.
19. Théorie des modèles : autres résultats sur la validité.
20. Théorie des modèles : la notion de conséquence valide.
21. Théorie de la démonstration : démonstrabilité et déductibilité.
22. Théorie de la démonstration : le théorème de la déduction.
23. Théorie de la démonstration : la consistance, les règles d'introduction et d'élimination.
24. Théorie de la démonstration : le remplacement, les chaînes d'équivalences.
25. Théorie de la démonstration : transformations des quanteurs, forme prénexe.
26. Applications au langage usuel : ensembles, formes catégoriques aristotéliciennes.
27. Applications au langage usuel : complément sur la traduction des mots en symboles.

3 - Le calcul des prédicats avec égalité.
28. Fonctions, termes.
29. L'égalité.
30. L'égalité comme équivalence, l'extensionalité.
31. Les descriptions.

II - LA LOGIQUE MATHÉMATIQUE ET LES FONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES.

4 - Les fondements des mathématiques.
32. Les ensembles dénombrables.
33. La méthode cantorienne de la diagonale.
34. Les ensembles abstraits.
35. Les paradoxes.
36. Pensée axiomatique et pensée intuitive en mathématiques.
37. Les systèmes formels et la métamathématique.
38. L'arithmétique formelle.
39. Quelques autres systèmes formels.

5 - Calculabilité et décidabilité.
40. Procédures de décision et de calcul.
41. Machines de Turing. Thèse de Church.
42. Le théorème de Church (par les machines de Turing).
43. Applications à l'arithmétique formelle : indécidabilité (Church) et incomplétude (théorème de Gödel).
44. Applications à l'arithmétique formelle : les démonstrations de consistance (le second théorème de Gödel).
45. Application au calcul des prédicats (Church, Turing).
46. Les degrés d'insolubilité (Post), les hiérarchies (Kleene, Mostowski).
47. Indécidabilité et incomplétude en supposant seulement la consistance simple.

6 - Le calcul des prédicats (Suppléments).
48. Le théorème de complétude de Gödel : introduction.
49. Le théorème de complétude de Gödel : la découverte fondamentale.
50. Le théorème de complétude de Gödel dans un système formel de type Gentzen. Le théorème de Löwenheim-Skolem.
51. Le théorème de complétude de Gödel (dans un système formel de type hilbertien).
52. Le théorème de complétude de Gödel et le théorème de Löwenheim-Skolem en calcul des prédicats avec égalité.
53. Le paradoxe de Skolem et les modèles non standard de l'arithmétiques.
54. Le théorème de Gentzen.
55. La permutabilité. Le théorème de Herbrand.
56. Le théorème d'interpolation de Craig.
57. Théorème de définissabilité de Beth, théorème de la consistance de Robinson.

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