DARBOUX : Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul ...


DARBOUX : Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul ...

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C O U R S   D E   G É O M É T R I E   D E   L A   F A C U L T É   D E S   S C I E N C E S
 
G a s t o n   D A R B O U X


LEÇONS SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES SURFACES ET LES APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL

Partie I - Généralités. Coordonnées curvilignes. Surfaces minima.
Deuxième édition, revue et augmentée
Paris, Gauthier-Villars,
1914

Partie II
- Les congruences et les équations linéaires aux dérivées partielles. Les lignes tracées sur les surfaces.
Deuxième édition, revue et augmentée
Paris, Gauthier-Villars
, 1915

Partie III
- Lignes géodésiques et courbure géodésique. Paramètres différentiels. Déformation des surfaces.
Paris, Gauthier-Villars , 1894

Partie IV
- Déformation infiniment petite et représentation sphérique.
Paris, Gauthier-Villars, 1896


[suivi de :]

LEÇONS SUR LES SYSTÈMES ORTHOGONAUX ET LES COORDONNÉES CURVILIGNES
Deuxième édition, complétée
Paris, Gauthier-Villars
, 1910

[suivi de :]


PRINCIPES DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
Paris, Gauthier-Villars, 1910

Auteur :
Gaston DARBOUX

Cours de la Sorbonne

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Géométrie analytique et différentielle
Géométrie élémentaire et moderne

Analyse

Reprint 1993
24,5 x 18 cm, oblong
616 p., 544 p. et 560 p., broché
3 titres en 3 volumes
ISBN 978-2-87647-016-3



S O M M A I R E

LEÇONS SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES SURFACES


Partie I
GÉNÉRALITÉS. COORDONNÉES CURVILIGNES. SURFACES MINIMA.

Livre I

Applications à la géométrie de la théorie des mouvements relatifs.
- Du déplacement à un paramètre ; application à la théorie des courbes gauches.
- Sur l'intégration du système linéaire qui se présente dans la théorie précédente.
- Interprétation géométrique des deux méthodes employées dans le chapitre précédent.
- Applications de la théorie précédente.
- Des déplacements à plusieurs variables indépendantes.
- Intégration simultanée des systèmes linéaires rencontrés dans la théorie précédente.
- Application de la théorie précédente aux déplacements qui dépendent de deux variables indépendantes.
- Premières notions sur les coordonnées curvilignes.
- Surfaces définies par des propriétés cinématiques.
- Sur une classe particulière de surfaces de translation.


Livre II
Des différents systèmes de coordonnées curvilignes.
- Des systèmes conjugués.
- Systèmes conjugués. Lignes asymptotiques.
- Des systèmes orthogonaux et isothermes.
- Représentation conforme des surfaces les unes sur les autres.
- Du système orthogonal formé par les lignes de courbure.
- Les coordonnées pentasphériques.
- Les lignes de courbure en coordonnées tangentielles.
- Applications diverses.


Livre III
Les surfaces minima.
- Résumé historique.
- Les surfaces minima en coordonnées ponctuelles.
- Les surfaces minima en coordonnées tangentielles.
- Représentations conformes des surfaces minima.
- La surface adjointe d'O. Bonnet.
- Les formules de Monge et leur interprétation géométrique.
- Les surfaces minima algébriques.
- Les formules de Schwarz.
- Surfaces minima algébriques inscrites dans une développable algébrique.
- Le problème de Plateau. Détermination de la surface minima passant par un contour donné composé de lignes droites, ou de plans que la surface doit couper normalement.
- Représentation conforme des aires planes.
- Le problème de Plateau. Applications.
- Les formules de Weierstrass.
- Applications diverses.


Partie II
LES CONGRUENCES ET LES ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. LES LIGNES TRACÉES SUR LES SURFACES.

Livre IV
Les congruences et les équations linéaires aux dérivées partielles.
- Notions générales sur les congruences.
- La méthode de Laplace.
- L'équation d'Euler et de Poisson.
- La méthode de Riemann.
- L'équation adjointe de Lagrange et les équations linéaires d'ordre impair équivalentes à leur adjointe.
- Compléments et solutions nouvelles des problèmes résolus au chapitre II.
- Les équations à invariants égaux.
- La résolution des équations linéaires les unes par les autres.
- Les équations harmoniques. Applications analytique des propositions développées dans les deux chapitres précédents.
- Applications géométriques.
- Les surfaces à lignes de courbure isothermes.
- Trajectoires orthogonales d'une famille de surfaces.
- Droites normales à une surface.
- La surface de Liouville et les surfaces dont les plans principaux sont conjugués par rapport à une surface du second degré.
- Les congruences de cercles et les systèmes cycliques.


Livre V
Des lignes tracées sur les surfaces.
- Formules générales.
- Courbure normale et torsion géodésique.
- Les lignes géodésiques.
- Les familles de courbes parallèles.
- Analogie entre la dynamique des mouvements dans le plan et la théorie des lignes géodésiques.
- Application des méthodes précédentes à l'étude des mouvements dans l'espace.
- Le problème général de la Dynamique.


Notes.
I : Sur différentes propriétés des trajectoires orthogonales d'une congruence de courbes.
II : Sur le mouvement des corps pesants et le principe de la moindre action.
III : Recherche des équations de Laplace qui admettent des solutions particulières liées par une relation quadratique à coefficients constants.


Partie III
LIGNES GÉODÉSIQUES ET COURBURE GÉODÉSIQUE. PARAMÈTRES DIFFÉRENTIELS. DÉFORMATION DES SURFACES.

Livre VI

Lignes géodésiques et courbure géodésique.
- Détermination des géodésiques par la méthode de Jacobi.
- Intégrales homogènes du premier et du second degré.
- De la représentation géodésique de deux surfaces l'une sur l'autre.
- Intégrales homogènes de degré supérieur et intégrales d'une forme déterminée.
- Le plus court chemin entre deux points d'une surface.
- La courbure géodésique et le théorème de Gauss.
- Les cercles géodésiques.
- Les triangles géodésiques et le théorème de Gauss.


Livre VII
La déformation des surfaces.
- Les paramètres différentiels.
- Solution d'un problème fondamental : reconnaître si deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre.
- Les formules de Gauss.
- Équation aux dérivées partielles des surfaces applicables sur une surface donnée.
- Étude de l'équation aux dérivées partielles dont dépend le problème de la déformation.
- Déformation des surfaces gauches.
- Les théorèmes de Weingarten.
- La surface des centres de courbure. Propriétés générales.
- Propriétés diverses des surfaces W.
- Application des théorèmes de Weingarten aux surfaces pour lesquelles la courbure totale ou la courbure moyenne est constante.
- Les surfaces à courbure totale négative.
- Les transformations des surfaces à courbure constante.
- Développements analytiques se rattachant aux transformations précédentes.
- Rapprochement et analogies entre les surfaces à courbure constante et les surfaces minima.


Partie IV
DÉFORMATION INFINIMENT PETITE ET REPRÉSENTATION SPHÉRIQUE.

Livre VIII

Déformation infiniment petite et représentation sphérique.
- Déformation infiniment petite. Première solution.
- Déformation infiniment petite. Deuxième solution : les formules de Lelieuvre.
- Les douzes surfaces. Développements géométriques se rattachant aux précédentes solutions.
- Transformations diverses. Inversion composée.
- Applications diverses.
- Roulement de deux surfaces.
- Les systèmes cycliques et les surfaces applicables.
- Représentation sphérique. Solution complète du problème.
- Surfaces à lignes de courbure planes.
- Surfaces isothermiques à lignes de courbure planes.
- Surfaces à lignes de courbure sphériques.
- Généralisations diverses.
- Nouvelles classes de surfaces applicables.
- Dernières recherches.


Notes et additions.
I : Sur les méthodes d'approximations successives dans la théorie des équations différentielles, par Émile Picard.
II : Sur les géodésiques à intégrales quadratiques, par G. Kœnigs.
III : Sur la théorie des équations aux dérivées partielles du second ordre, par E. Cosserat.

Notes de l'auteur.

IV : Sur la torsion des courbes gauches et sur les courbes à torsion constante.
V : Sur les formules d'Euler et sur le déplacement d'un solide invariable.
VI : Note sur une équation différentielle et sur les surfaces spirales.
VII : Sur la forme des lignes de courbure dans le voisinage d'un ombilic.
VIII : Sur les lignes aymptotiques et sur les lignes de courbure de la surface des ondes de Fresnel.
IX : Sur la Géométrie Cayleyenne et sur une propriété des surfaces à génératrice circulaire.
X : Sur les équations aux dérivées partielles.
XI : Sur l'équation auxiliaire.


LEÇONS SUR LES SYSTÈMES ORTHOGONAUX ET LES COORDONNÉES CURVILIGNES

Livre I
L'équation du troisième ordre.
- Les familles de Lamé. Théorème de Dupin et sa réciproque.
- Systèmes triples comprenant une famille de plans ou une famille de sphères.
- Étude d'une intégrale particulière de l'équation du troisième ordre.
- Formes diverses de l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre.
- Les familles de Lamé formées avec des quadriques.
- Systèmes orthogonaux à n variables. Extension des méthodes précédentes.


Livre II
Les coordonnées curvilignes.
- Systèmes orthogonaux à n variables.
- Le trièdre mobile.
- Recherche d'un système triple particulier.
- Recherche d'un système particulier (suite). Examen du troisième type de solution.
- Recherche des systèmes isothermes et d'autres systèmes qui se présentent dans la théorie de la chaleur.
- Les systèmes triples de L. Bianchi.


Livre III
Théories générales.
- Trois théorèmes sur les systèmes d'équations aux dérivées partielles du premier ordre.
- Applications des théorèmes précédents.
- Les systèmes à lignes conjuguées.
- Les systèmes triples orthogonaux.
- Les théorèmes de Combescure et de Ribaucour.
- Nouvelle méthode de recherche.
- Étude approfondie d'une des méthodes précédentes.
- Les systèmes triples orthogonaux admettant un groupe continu de transformations de Combescure.
- Méthode de recherche des systèmes (E).
- Les systèmes de Guichard.


Notes.
I : Sur l'application du théorème fondamental d'Abel relatif aux intégrales algébriques à la recherche de systèmes orthogonaux dans un espace à n dimensions.
II : Sur la cyclide de Dupin.
III : Détermination des systèmes triples orthogonaux qui comprennent une famille de cyclides de Dupin et plus généralement une famille de surfaces à lignes de courbure planes dans les deux systèmes.
IV : Sur une classe particulière de déformations finies et sur les systèmes triples de surfaces orthogonales.


PRINCIPES DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

Livre I
Le rapport anharmonique.
- Introduction.
- Les coordonnés tétraédriques.
- Le rapport anharmonique.
- La méthode des notations abrégées de Bobillier et l'homologie dans le plan.
- L'homologie biaxiale.
- Le principe de dualité.
- Les figures corrélatives.
- Les coniques et les divisions homographiques.


Livre II
Définitions métriques.
- Les relations métriques dans le plan.
- Étude d'une classe particulière de courbes analogues aux coniques.
- Les éléments métriques dans l'espace.
- Génératrices rectilignes de la sphère.
- Trigonométrie sphérique.
- Segments associés sur la sphère.


Livre III
Les théorèmes de Poncelet.
- Étude d'un système particulier de coordonnées.
- Les théorèmes de Poncelet.
- Le théorème général de Poncelet.


Livre IV
La Géométrie Cayleyenne.
- Origines de la Géométrie Cayleyenne.
- Les déplacements Cayleyens.
- La Trigonométrie Cayleyenne.


Livre V
De l'inversion.
- L'inversion. Ses propriétés essentielles.
- Les coordonnées pentasphériques.
- Les cyclides en coordonnées cartésiennes.
- Les cyclides en coordonnées pentasphériques.
- Les cyclides et leurs sphères principales.
- Le système triple orthogonal formé de trois familles de cyclides.
- Un mode de transformation de l'espace qui se présente dans l'étude des cyclides.

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