POINCARÉ : Théorie du potentiel newtonien, 1899


POINCARÉ : Théorie du potentiel newtonien, 1899

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Henri POINCARÉ

THÉORIE

DU

POTENTIEL NEWTONIEN

Leçons professées à la Sorbonne pendant le premier semestre 1894-1895

Rédigées par Édouard LE ROY et Georges VINCENT

Paris, Georges Carré et C. Naud
1899

Auteur :
Henri POINCARÉ

Rédaction :
Édouard LE ROY
Georges VINCENT

Cours :
Poincaré - Sorbonne

Série :
Poincaré - Physique

Thème :
MÉCANIQUE
Mécanique des solides et des fluides

Reprint 1990
16 x 24 cm
372 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-024-8


S O M M A I R E

1 - Potentiel en un point extérieur aux masses agissantes. Équation de Laplace. Exemples. Développements en séries.

Définition du potentiel en général.

Potentiel newtonien.
Potentiel logarithmique.
Équation de Laplace.
Limites supérieures des dérivées de 1/r.
Potentiel des corps continus.
Propriétés à l'infini.
Potentiel newtonien d'une surface sphérique homogène.
Potentiel d'une sphère pleine.
Potentiel logarithmique d'une circonférence.
Attraction d'une droite homogène sur un point extérieur.
Potentiel newtonien d'un cylindre.
Cas du cylindre de révolution.
Potentiel newtonien d'une circonférence.
Formule de Green.
Polynômes de Legendre.
Développement du potentiel newtonien en série de polynômes sphériques.
Développement du potentiel newtonien suivant les puissances entières de x, y, z.
Autre développement en série du potentiel newtonien.
Développements analogues pour le potentiel logarithmique.

2 - Potentiel en un point intérieur aux masses agissantes. Formule de Poisson.
Convergence des intégrales. Application au potentiel.
Intégrales absolument convergentes et intégrales semi-convergentes. Exemples.
Autre exemple. Potentiel d'une surface attirante quelconque en un point de cette surface.
Analogie avec les séries.
Potentiel newtonien d'un volume attirant. Existence des dérivées premières.
Étude des dérivées secondes.
Formule de Poisson.
Potentiel logarithmique d'une surface attirante.

3 - Surfaces attirantes et lignes attirantes.
Surfaces attirantes.
Notations et remarques préliminaires.
Étude du potentiel.
Préparation à l'étude des composantes de l'attraction.
Composantes de l'attraction.
Étude de la composante normale.
Continuité des composantes tangentielles.
Remarque sur les dérivées du potentiel d'un volume attirant.
Cas singuliers.
Potentiel logarithmique d'une ligne attirante.
Remarque sur un lemme fondamental dans la théorie des surfaces attirantes.
Lignes attirantes.
Potentiel newtonien d'une ligne attirante.
Cas d'une circonférence homogène.

4 - La fonction de Green et le problème de Dirichlet.
Théorème de la moyenne de Gauss.
Fonctions harmoniques.
Problème de Dirichlet. Problème intérieur. Problème extérieur.
Extension au cas de deux variables.
Remarque sur le potentiel newtonien.
Conséquences de la formule de Green.
Analogies avec la théorie des résidus de Cauchy.
Définition de la fonction de Green.
Propriétés de la fonction de Green.
Problème de Green. Problème de Dirichlet transformé. Comparaison avec le problème de Dirichlet ordinaire. Équivalence de ces trois problèmes.

5 - Résolution du problème de Dirichlet dans le cas du cercle et de la sphère. Théorème de Harnack.
Fonction de Green pour le cas du cercle.
Représentation conforme.
Résolution du problème de Dirichlet pour le cas de la sphère.
Méthode de Thomson.
Équivalence des problèmes de Dirichlet intérieur et extérieur.
Cas du potentiel logarithmique.
Propriétés des fonctions harmoniques à l'infini.
Théorème analogue à celui de Laurent.
Théorème de Harnack.

6 - Doubles couches.
Définition d'une double couche.
Étude du potentiel d'une double couche.
Étude des dérivées secondes d'un potentiel de simple couche. Cas d'une surface plane.
Cas d'une surface attirante quelconque.
Étude des dérivées premières d'un potentiel de double couche.
Comparaison des simples et des doubles couches.

7 - Résolution du problème de Dirichlet. La méthode du balayage.
Énoncé du problème de Dirichlet.
Comparaison des fonctions harmoniques et des potentiels.
Balayage d'un domaine.
Balayage d'une sphère.
Théorème de Harnack.
Méthode du balayage.

8 - Résolution du problème de Dirichlet. La méthode de Neumann.
Principe de la méthode de Neumann.
Développement de la méthode de Neumann.
Signification de la constante C.
Emploi des potentiels de simple couche dans la méthode de Neumann.
Propriétés des fonctions Ti.
Résolution d'un problème analogue à celui de Dirichlet.

9 - Extension de la méthode de Neumann au cas des domaines simplement connexes. Les fonctions fondamentales.
Énoncé.
Hypothèses.
Rappel de certaines notations.
Les intégrales Jm.
Le rapport J/J'.
Convergence des séries de Neumann.
Conclusion.
Définition des fonctions fondamentales.
Application à la méthode de Neumann.
Application à un problème analogue à celui de Dirichlet.

 

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