COURS DE PHYSIQUE MATHÉMATIQUE
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Henri POINCARÉ

FIGURES

D'ÉQUILIBRE

D'UNE

MASSE FLUIDE

Leçons professées à la Sorbonne en 1900

Rédigées par L. Dreyfus

Paris, C. Naud
1902

Auteur :
Henri POINCARÉ

Rédacteur :
L. DREYFUS

Cours :
Poincaré - Sorbonne

Série :
Poincaré - Physique

Thèmes :
MÉCANIQUE
Mécanique des solides et des fluides
Mécanique céleste. Astronomie

Reprint 1990
16 x 24 cm
216 p. 
Broché
ISBN : 978-2-87647-027-9


S O M M A I R E

1 - Théorèmes généraux sur le potentiel newtonien.
- Objet du cours. 
- Définition et propriétés du potentiel. 
- Théorème de Gauss. 
- Théorème de Green. 
- Travail de l'attraction. 
- Conditions d'équilibre. 
- Relation entre la masse, le volume et la vitesse de rotation.

2 - Masse homogène fluide.
La masse est sans mouvement de rotation.
- Simplification des formules générales. 
- Théorie de Liapounoff. 
- L'énergie a un maximum. 
- La capacité électrique a un minimum. 
- Le minimum est atteint pour la sphère. 
- La sphère est la seule figure d'équilibre.
La masse est animée d'un mouvement de rotation.
- Formules générales. 
- Limite de la vitesse de rotation. 
- Permanence de l'axe de rotation. 
- Stabilité de l'équilibre. 
- Solide équivalent. 
- Condition de stabilité de Lejeune-Dirichlet. 
- L'axe de rotation est le petit axe de l'ellipsoïde d'inertie.

3 - Fonctions sphériques.
- Système triple orthogonal. 
- Polynômes sphériques. Fonctions sphériques. 
- Fonctions sphériques fondamentales. 
- Détermination des polynômes (X_n)^p 
- Propriétés des fonctions sphériques. 
- Couche sphéroïdale. 
- Développement en série de 1/MM'. 
- Développement en série du potentiel d'une couche sphéroïdale. 
- Potentiel en un point de la couche sphéroïdale. 
- Théorème de Laplace.

4 - Masse fluide hétérogène. Problème de Clairaut.
- Préliminaires. 
- Développement du potentiel en série. 
- Détermination des coefficients du développement. 
- Les surfaces de niveau sont des ellipsoïdes. 
- Équation de Clairaut. 
- Forme des courbes intégrales. 
- Une seule est acceptable. 
- Relation entre l'aplatissement, la pesanteur et la force centrifuge à l'équateur.
- Détermination complète des coefficients H. 
- Détermination précise de l'aplatissement. 
- Moments d'inertie de l'ellipsoïde. 
- Comparaison de la théorie et des observations.

5 - Masse solide recouverte d'une masse fluide.
- Théorème de Stokes. 
- Développement de 1/MM' en série de polynômes. 
- Application. 
- Relation entre l'aplatissement, la pesanteur et la force centrifuge à l'équateur. 
- Pesanteur en un point de la surface. 
- Influence de l'altitude. 
- Pesanteur en un point de la surface du géoïde.

6 - Fonctions de Lamé.
- Coordonnées elliptiques. 
- Élément linéaire en coordonnées elliptiques. 
- Équation de Laplace. 
- Fonctions de Lamé. 
- Leur formation. 
- Détermination de K. 
- Analogie avec les fonctions sphériques. 
- Cas des ellipsoïdes de révolution. 
- Résumé. 
- Les valeurs de K sont réelles. 
- Les fonctions de Lamé sont linéairement indépendantes. 
- Les polynômes de Lamé ont leurs racines réelles. 
- Développement d'une fonction en une somme de fonctions de Lamé. 
- Les fonctions S.

7 - Attraction des ellipsoïdes.
Figures d'équilibre.
- Problème de Dirichlet sur l'ellipsoïde.
- Application. 
- Attraction d'un ellipsoïde homogène. 
- Théorème d'Ivory. 
- Ellipsoïde de Mac Laurin. 
- Ellipsoïde de Jacobi. 
- Discussion de l'équation des ellipsoïdes de Jacobi. 
- Figures dérivées de l'ellipsoïde de Mac Laurin. 
- Figures dérivées de l'ellipsoïde de Jacobi.
Stabilité des figures trouvées.
- Représentation graphique des résultats précédents. 
- Courbes d'équilibre. 
- Échange des stabilités. 
- Stabilité de l'équilibre des figures trouvées. 
- Conclusion.

8 - Anneau de Saturne.
Hypothèse de l'anneau solide.
- Historique. 
- Équations du mouvement. 
- Stabilité du mouvement.
Anneau liquide.
- Potentiel d'une circonférence homogène. 
- Masse annulaire de révolution. 
- Section méridienne de l'anneau.
Hypothèse de Cassini.
- Vraisemblance de l'hypothèse. 
- Équations du mouvement. 
- Changement de variables. 
- Discussion des équations. 
- Stabilité de l'anneau supposé liquide. 
- Conclusion.