Gaspard MONGE

GÉOMÉTRIE

DESCRIPTIVE

LEÇONS
DONNÉES AUX ÉCOLES NORMALES
L'AN 3 DE LA RÉPUBLIQUE

Paris, Baudouin,
Imprimeur du Corps législatif et de l'Institut national
AN VII

Auteur :
Gaspard MONGE

Thème :
MATHÉMATIQUES
Géométrie élémentaire et moderne

Reprint 1989
16 x 24 cm
142 p. (dont 25 planches)
Broché
ISBN : 978-2-87647-065-1

Extrait de Jean-Victor PONCELET, Traité des propriétés projectives des figures, t. I, 2^e éd., 1865 et t. II,1866

Nous avons dit que la Géométrie descriptive, telle qu'on l'emploie d'ordinaire, a, sur celle des coordonnées, l'avantage de ne faire usage que de deux plans de projection. De plus, elle opère directement et graphiquement sur les figures de projection, et, par des opérations graphiques encore, elle remonte à ce qui concerne la figure même dans l'espace. En un mot, toutes les relations ou propriétés descriptives du plan sont traduites, par elle, en relations ou propriétés de l'espace, et réciproquement. De là donc, indépendamment du caractère d'extension qu'elle imprime aux objets de ses conceptions, doit résulter une foule de rapprochements et de conséquences infiniment profitables à la simple Géométrie et à la Géométrie à trois dimensions, ce dont Monge a montré les plus beaux exemples dans sa Géométrie descriptive et dans les différents Mémoires qu'il a publiés depuis, parmi les Recueils de l'École Polytechnique. Il est évident que ces avantages sont uniquement dus à la nature même de la projection, qui, en modifiant la forme et l'espèce particulière des figures, les place dans des circonstances ou plus générales ou au contraire plus restreintes, sans pour cela en détruire les relations et propriétés génériques, ou en les modifiant seulement d'après des lois fort simples et toujours faciles à deviner et à saisir. Tout autre mode de déformation n'aurait point évidemment les mêmes avantages.

S O M M A I R E

- I -
Objet de la géométrie descriptive.
Considérations d'après lesquelles on détermine la position d'un point situé dans l'espace.
Comparaison de la géométrie descriptive avec l'algèbre.
Convention propre à exprimer les formes et les positions des surfaces.
Application au plan.
Solutions de plusieurs questions élémentaires relatives à la ligne droite et au plan.

- II -
Des plans tangents aux surfaces courbes, et de leurs normales.
Méthode pour mener des plans tangents par des points donnés sur les surfaces.
Des conditions qui déterminent la position du plan tangent à une surface courbe quelconque ; observation sur les surfaces développables.
Des plans tangents aux surfaces, menés par des points donnés dans l'espace.
Du plan tangent à la surface d'une ou de plusieurs sphères.
Propriétés remarquables du cercle, de la sphère, des sections coniques et des surfaces courbes du second degré.
Du plan tangent à une surface cylindrique, conique, à une surface de révolution, par des points donnés hors de ces surfaces.

- III -
Des intersections des surfaces courbes.
Définitions des courbes à double courbure.
Correspondance entre les opérations de la géométrie descriptive et celles de l'élimination algébrique.
Méthode générale pour déterminer les projections des intersections de surfaces. Modification de cette méthode dans quelques cas particuliers.
Des tangentes aux intersections de surfaces.
Intersection des surfaces, cylindrique, conique, etc.
Développement de ces intersections lorsque l'une des surfaces auxquelles elles appartiennent est développable.
Méthode de Roberval pour mener une tangente à une courbe qui est donnée par la loi du mouvement d'un point générateur.
Application de cette méthode à l'ellipse et à la courbe résultante de l'intersection de deux ellipsoïdes de révolution, qui ont un foyer commun.

- IV -
Applications des intersections des surfaces à la solution de diverses questions.

- V -
Considérations générales sur l'étendue.
Des courbes planes et à double courbure, de leurs développées, de leurs développantes, de leurs rayons de courbure.
De la surface qui est le lieu géométrique des développées d'une courbe à double courbure ; propriété remarquable des développées, considérées sur cette surface.
Génération d'une courbe quelconque à double courbure par un mouvement continu.
Des surfaces courbes.
Démonstration de cette proposition : "Une surface quelconque n'a dans chacun de ses points que deux courbures ; chacune de ces courbures a un sens particulier, son rayon particulier, et les deux arcs sur lesquels se mesurent ces deux courbures sont à angle droit sur la surface.
Des lignes de courbure d'une surface quelconque ; de ses centres de courbure, et de la surface qui en est le lieu géométrique.
Application à la division des voûtes en voussoirs et à l'art du graveur.

Additions
1 - Trois surfaces cylindriques à bases circulaires, qui se coupent, ont en général huit points communs.
2 - De la génération de la surface gauche. (C'est ainsi qu'on appelle la surface qui enveloppe l'espace parcouru par une droite).
De la surface gauche qui peut être engendrée par une droite de deux manières différentes.
3 - Du plan tangent à une surface gauche.