Vito VOLTERRA

LEÇONS

SUR LA

THÉORIE MATHÉMATIQUE

DE LA

LUTTE POUR LA VIE

Rédigées par Marcel Brelot

Paris, Gauthier-Villars
1931

Auteur :
Vito VOLTERRA

Rédaction :
Marcel BRELOT

Thème :
MATHÉMATIQUES
Analyse

Reprint 1990
16 x 24 cm
222 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-066-8

S O M M A I R E

INTRODUCTION
- But de l'ouvrage.
- Intérêt pratique de ces questions.
- Travaux mathématiques publiés sur le sujet.
- Méthodes employées dans l'ouvrage. Hypothèses fondamentales et mise en équations.
- Étude mathématique et interprétation des résultats.

I - COEXISTENCE DE DEUX ESPÈCES   

1 - Deux espèces se disputant la même nourriture.

2 - Deux espèces dont l'une se nourrit de l'autre.
- Mise en équations.
- Étude générale des fluctuations. Loi du cycle périodique et de la conservation des moyennes.
- Petites fluctuations.
- Diagrammes dans le cas général.
- Perturbation des moyennes par destruction. Loi fondamentale.

3 - Deux espèces dans les divers cas d'actions mutuelles .
- Tracé des diverses courbes.
- Déplacement sur ces courbes.
- Un cas de passage et les divers cas dans la destruction des espèces.

II - PREMIÈRE ÉTUDE DE LA COEXISTENCE D'UN NOMBRE QUELCONQUE D'ESPÈCES   

1 - Espèces se disputant la même nourriture.

2 - Espèces qui s'entre-dévorent.
- Notions d'équivalents ; système différentiel de l'association biologique avec l'hypothèse générale des équivalents que l'on gardera.
- Quelques conséquences immédiates.

3 - Cas d'un nombre pair d'espèces qui s'entre-dévorent.
- Relation entre les nombres d'individus.
- Dans le cas où il y a possibilité théorique d'équilibre, les fluctuations sont bornées et non amorties.
- Loi des moyennes asymptotiques.
- Perturbation des moyennes par destruction.
- Petites fluctuations.
- Dans le cas général, diverses possibilités.
- Cas particulier où les coefficients d'accroissement sont tous nuls.

4 - Cas d'un nombre impair d'espèces s'entre-dévorant.
- Il est impossible que toutes les espèces subsistent avec des variations bornées, en général.
- Cas particulier où les coefficients d'accroissement sont tous nuls.
- Sur un cas particulier à trois espèces.

Note mathématique.
- Propriétés essentielles des déterminants.
- Déterminants symétriques gauches.
- Équations linéaires.
- Formes linéaires.

III - ÉTUDE DE LA COEXISTENCE DE n ESPÈCES AVEC DES HYPOTHÈSES PLUS LARGES. SYSTÈMES CONSERVATIFS ET DISSIPATIFS

1 - Première extension : On fait dépendre du nombre de ses individus le coefficient d'accroissement de chaque espèce vivant seule (en conservant l'hypothèse des équivalents).
- Nouvelles équations différentielles.
- Premières conséquences.
- Cas de possibilité d'un état stationnaire : il y a alors un état limite qui est celui-là.
- Rôle d'amortissement d'une certaine forme quadratique.
- Petites variations.
- Cas d'impossibilité d'un état stationnaire.
- Extension aux hypothèses précises adoptées.
- Reprise de l'étude du cas de trois espèces examiné au Chapitre II.

2 - Théorie beaucoup plus générale.
- Équations différentielles.
- Hypothèse de l'existence d'une forme quadratique définie positive entraînant la résolubilité du système de l'état stationnaire.
- Cas où toutes les racines de ce système sont positives et petites variations. Autres cas.

3 - Associations conservatives et dissipatives.
- Systèmes conservatifs. Définition et conditions caractéristiques. Ce sont ceux étudiés au Chapitre II.
- Théorèmes sur la valeur d'une association conservative.
- Systèmes dissipatifs. Définition et recherche de conditions caractéristiques. Ce sont ceux étudiés dans les deux paragraphes précédents.
- Propriétés de la valeur d'une association dissipative.
- Perturbation dans un système variant au voisinage d'un état d'équilibre stable par l'apport d'individus, en petits nombres, d'espèces nouvelles.
- Applications de cette dernière étude.
- Nouvelle extension des hypothèses fondamentales.

4 - Introduction de l'hypothèse de variation des conditions extérieures.  
- Dans le cas de petites variations. Superposition des variations propres et des fluctuations dues à des causes externes périodiques.

Note mathématique.
- Sur les formes quadratiques.

IV - SUR LES ACTIONS HÉRÉDITAIRES COMPARÉES EN BIOLOGIE ET EN MÉCANIQUE

1 - Notion d'hérédité et sa traduction mathématique.
- Idée d'hérédité ; sa signification spéciale.
- Équations de l'évolution de deux espèces avec des hypothèses simples d'hérédité.
- Notions de mécanique héréditaire.
- Analogies.
- L'idée la plus générale d'hérédité et sa forme mathématique.

2 - Étude de la coexistence d'une espèce dévorante et une espèce dévorée dans l'hypothèse d'une hérédité invariable et linéaire.
- Principe des fluctuations.
- Propriétés de limitation pour ces fluctuations.
- Lois de conservation et perturbation des moyennes.

3 - Énergétique héréditaire en biologie (cas précédent avec petites fluctuations) et en mécanique à un seul paramètre.
- Équation énergétique fondamentale.
- Conséquences mécaniques et biologiques.
- Mouvement spontané en mécanique et problème biologique.
- Recherche de la périodicité.
- Problèmes avec hérédité postérieure à un certain instant et généralisations.

Note mathématique.
- Équations intégrales de Volterra.
- Système intégro-différentiel commun au problème mécanique et au problème biologique des petites fluctuations.
- Système intégro-différentiel du problème biologique général.

CONCLUSION. HISTORIQUE. BIBLIOGRAPHIE    
- Vue d'ensemble sur l'étude qui précède. Remarques diverses.
- Vérifications expérimentales.
- Notice biologique et historique sur les associations et les équilibres biologiques.
- Biologie agraire.
- Épidémies. Paludisme.
- Hydrobiologie.
- Fluctuations.