RIESZ et SZ.-NAGY : Leçons d'analyse fonctionnelle, 3e éd., 1955

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Frédéric RIESZ et Béla SZ.-NAGY

LEÇONS

D'ANALYSE FONCTIONNELLE

Troisième édition

Paris, Gauthier-Villars
Budapest, Akadémiai Kiado

1955

Auteurs :
Frédéric RIESZ
Béla SZ.-NAGY

Thème :
MATHÉMATIQUES
Topologie. Mesure. Intégration

Reprint 1990
17 x 24 cm
500 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-078-1

 

S O M M A I R E

PREMIÈRE PARTIE
THÉORIES MODERNES DE LA DÉRIVATION ET DE L'INTÉGRATION

I -DÉRIVATION
Théorème de Lebesgue sur la dérivée d'une fonction monotone.

- Exemple d'une fonction continue non dérivable.
- Théorème de Lebesgue sur la dérivée d'une fonction monotone. Ensembles de mesure nulle.
- Démonstration du théorème de Lebesgue.
- Fonctions à variation bornée.
Quelques conséquences immédiates du théorème de Lebesgue.
- Théorème de Fubini sur la dérivation des séries à termes monotones.
- Points de densité des ensembles linéaires.
- Fonctions des sauts.
- Fonctions à variation bornée quelconques.
- Théorème de Denjoy-Young-Saks sur les nombres dérivés des fonctions les plus générales.
Fonctions d'intervalle.
- Préliminaires.
- Premier théorème fondamental.
- Second théorème fondamental.
- Les intégrales de Darboux et celle de Riemann.
- Théorème de Darboux.
- Fonctions à variation bornée et rectification des courbes.

II -INTÉGRALE DE LEBESGUE
Définition et propriétés fondamentales.

- Intégrale des fonctions en escalier. Deux lemmes.
- Intégrale des fonctions sommables.
- Intégration terme à terme d'une suite croissante (théorème de Beppo Levi).
- Intégration terme à terme d'une suite majorée (théorème de Lebesgue).
- Théorèmes affirmant l'intégrabilité d'une fonction limite.
- Inégalités de Schwarz, de Hölder et de Minkowski.
- Ensembles et fonctions mesurables.
Intégrales indéfinies; fonctions absolument continues.
- Variation totale et dérivée de l'intégrale indéfinie.
- Exemple d'une fonction monotone continue dont la dérivée s'annule presque partout.
- Fonctions absolument continues. Décomposition canonique des fonctions monotones.
- Intégration par parties et intégration par substitution.
- L'intégrale comme fonction d'ensemble.
L'espace L2 et ses fonctionnelles linéaires. Les espaces Lp.
- L'espace L2; convergence en moyenne ; théorème de Riesz-Fischer.
- Convergence faible.
- Fonctionnelles linéaires.
- Suites de fonctionnelles linéaires ; un théorème d'Osgood.
- Séparabilité de L2. Théorème du choix.
- Systèmes orthonormaux.
- Sous-espaces de L2. Théorème de décomposition.
- Une autre démonstration du théorème de choix; prolongement des fonctionnelles.
- L'espace Lp et ses fonctionnelles linéaires.
- Un théorème sur la convergence en moyenne.
- Un théorème de Banach et Saks.
Fonctions de plusieurs variables.
- Définitions. Principe de transition.
- Intégrations successives; théorème de Fubini.
- Dérivées, sur un réseau, d'une fonction additive non-négative de rectangle. Déplacement parallèle du réseau.
- Fonctions de rectangle à variation bornée. Réseaux conjugués.
- Fonctions additives d'ensemble. Ensembles mesurables (B).
Autres définitions de l'intégrale de Lebesgue.
- Ensembles mesurables (L).
- Fonctions mesurables (L) et intégrale (L).
- Autres définitions. Théorème d'Egoroff.
- Démonstration élémentaire des théorèmes d'Arzelà et d'Osgood.
- L'intégrale de Lebesgue considérée comme opération inverse de la dérivation.

III - INTÉGRALE DE STIELTJES ET SES GÉNÉRALISATIONS
Fonctionnelles linéaires dans l'espace des fonctions continues.

- L'intégrale de Stieltjes.
- Fonctionnelles linéaires dans l'espace C.
- Unicité de la fonction génératrice.
- Prolongement d'une fonctionnelle linéaire.
- Théorème d'approximation. Problèmes des moments.
- Intégration par parties. Second théorème de la moyenne.
- Suites de fonctionnelles.
Généralisations de l'intégrale de Stieltjes.
- Intégrales de Stieltjes-Riemann et de Stieltjes-Lebesgue.
- Réduction de l'intégrale de Stieltjes-Lebesgue à celle de Lebesgue.
- Relations entre deux intégrales de Stieltjes-Lebesgue.
- Fonctions de plusieurs variables. Définition directe.
- Définition moyennant le principe de transition.
Intégrale de Daniell.
- Fonctionnelles linéaires positives.
- Fonctionnelles de signe variable.
- Dérivée d'une fonctionnelle linéaire par rapport à une autre.

SECONDE PARTIE
ÉQUATIONS INTÉGRALES. TRANSFORMATIONS LINÉAIRES

IV - ÉQUATIONS INTÉGRALES
Méthode des approximations successives.

- Idée d'une équation intégrale.
- Noyaux bornées.
- Noyaux de carré sommable. Transformations linéaires de l'espace L2.
- Transformation inverse. Valeurs régulières et singulières.
- Noyaux itérés, noyaux résolvants.
- Approximation d'un noyau quelconque par des noyaux de rang fini.
Alternative de Fredholm.
- Équations intégrales à noyau de rang fini.
- Équations intégrales à noyau de type général.
- Décomposition correspondant à une valeur singulière.
- L'alternative de Fredholm pour des noyaux généraux.
Déterminants de Fredholm.
- La méthode de Fredholm.
- Intégrale de Hadamard.
Autre méthode, fondée sur la continuité complète.
- Continuité complète.
- Les sous-espaces Mn et Rn.
- Théorème de décomposition.
- Répartition des valeurs singulières.
- Décomposition canonique correspondant à une valeur singulière.
Applications à la théorie du potentiel.
- Problèmes de Dirichlet et de Neumann ; solution par la méthode de Fredholm.

V - ESPACES DE HILBERT ET DE BANACH
Espaces de Hilbert.

- Espaces de Hilbert des coordonnées.
- Espace de Hilbert abstrait.
- Transformations linéaires de l'espace de Hilbert. Notions fondamentales.
- Transformations linéaires complètement continues.
- Suites biorthogonales. Un théorème de Paley et Wiener.
Espaces de Banach.
- Espaces de Banach et leurs espaces conjugués.
- Transformations linéaires et leurs adjointes.
- Équations fonctionnelles.
- Transformations de l'espace des fonctions continues.
- Retour à la théorie du potentiel.

VI - TRANSFORMATIONS SYMÉTRIQUES COMPLÈTEMENT CONTINUES DE L'ESPACE DE HILBERT
Existence d'éléments propres. Théorème du développement.

- Valeurs propres et éléments propres. Premières propriétés des transformations symétriques.
- Transformations symétriques complètement continues.
- Détermination directe de la n-ième valeur propre de signe donné.
- Autre méthode de construire les valeurs propres et les éléments propres.
Transformations à noyau symétrique.
- Théorèmes de Hilbert et de Schmidt.
- Théorème de Mercer.
Applications au problème de la corde vibrante et aux fonctions presque-périodiques.
- Problème de la corde vibrante. Espaces D et H.
- Problème de la corde vibrante. Vibrations propres.
- L'espace des fonctions presque-périodiques.
- Démonstration du théorème fondamental sur les fonctions presque-périodiques.
- Transformations isométriques d'un espace de dimension finie.

VII - TRANSFORMATIONS SYMÉTRIQUES, UNITAIRES ET NORMALES BORNÉES DE L'ESPACE DE HILBERT
Transformations symétriques.

- Quelques propriétés fondamentales.
- Projections.
- Fonctions d'une transformation symétrique bornée.
- Décomposition spectrale d'une transformation symétrique bornée.
- Parties positive et négative d'une transformation symétrique. Autre démonstration de la décomposition spectrale.
Transformations unitaires et normales.
- Transformations unitaires.
- Transformations normales. Factorisations.
- Décomposition spectrale des transformations normales. Fonctions de plusieurs transformations.
Transformations unitaires de l'espace L2.
- Un théorème de Bochner.
- Transformations de Fourier-Plancherel et de Watson.

VIII - TRANSFORMATIONS LINÉAIRES NON BORNÉES DE L'ESPACE DE HILBERT
Généralisation de l'idée de transformation linéaire.

- Un théorème de Hellinger et Toeplitz. Extension de la notion de transformation linéaire.
- Transformations adjointes.
- Permutabilité. Réduction.
- Le graphique d'une transformation
- Les transformations B et C.
Transformations autoadjointes. Décomposition spectrale.
- Transformations symétriques et autoadjointes. Définitions et exemples.
- Décomposition spectrale d'une transformation autoadjointe.
- Méthode de von Neumann. Transformées cayleyennes.
- Transformations autoadjointes semi-bornées.
Prolongement des transformations symétriques.
- Transformées cayleyennes. Indices de défaut.
- Transformations symétriques semi-bornées. Méthode de Friedrichs.
- Méthode de Krein.

IX - TRANSFORMATIONS AUTOADJOINTES : CALCUL FONCTIONNEL, SPECTRE, PERTURBATIONS
Calcul fonctionnel.

- Fonctions bornées.
- Fonctions non bornées. Définitions.
- Fonctions non bornées. Règles de calcul.
- Propriétés caractéristiques des fonctions d'une transformation autoadjointe.
- Ensembles finis ou dénombrables de transformations autoadjointes permutables.
- Ensembles quelconques de transformations autoadjointes permutables.
Le spectre d'une transformation autoadjointe et ses perturbations.
- Le spectre d'une transformation autoadjointe. Décomposition suivant le spectre ponctuel et le spectre continu.
- Points-limite du spectre.
- Perturbations du spectre par addition d'une transformation complètement continue.
- Perturbations continues.
- Perturbations analytiques.

X - GROUPES ET SEMI-GROUPES DE TRANSFORMATIONS
Transformations unitaires.

- Théorème de Stone.
- Autre démonstration, fondée sur un théorème de Bochner.
- Quelques applications du théorème de Stone.
- Représentations unitaires de groupes plus généraux.
Transformations non unitaires.
- Groupes et semi-groupes de transformations autoadjointes.
- Semi-groupes de transformations de type général. - Formules exponentielles.
Théorèmes ergodiques.
- Premières méthodes.
- Méthodes reposant sur des raisonnements de convexité.
- Semi-groupes de contractions non permutables.

XI - THÉORIES SPECTRALES DE TRANSFORMATIONS LINÉAIRES DE TYPE GÉNÉRAL
Applications des méthodes de la théorie des fonctions.

- Le spectre; intégrales curvilignes.
- Théorème de décomposition.
- Relations entre le spectre et les normes des transformations itérées.
- Application aux séries trigonométriques absolument convergentes.
- Éléments d'un calcul fonctionnel.
Ensembles spectraux d'après John von Neumann.
- Théorèmes principaux.
- Ensembles spectraux.
- Caractérisation des transformations symétriques, unitaires et normales par leurs ensembles spectraux.

APPENDICE
Prolongements des transformations de l'espace de Hilbert qui sortent de cet espace, par Béla SZ.-NAGY.

- Introduction.
- Familles spectrales au sens large. Théorème de Neumark.
- Suites de moments.
- Contractions de l'espace de Hilbert.
- Prolongements normaux.
- Théorème principal.
- Démonstration du théorème de Neumark.
- Démonstration du théorème sur les suites de moments.
- Démonstration des théorèmes sur les contractions.
- Démonstration du théorème sur les prolongements normaux.

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