PAPELIER : Exercices de géométrie moderne, t. I à IX, 1927


PAPELIER : Exercices de géométrie moderne, t. I à IX, 1927

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Georges PAPELIER

EXERCICES

DE

GÉOMÉTRIE MODERNE

PRÉCÉDÉS DE L'EXPOSÉ ÉLÉMENTAIRE
DES PRINCIPALES THÉORIES

1400 EXERCICES
ET LEURS SOLUTIONS DÉVELOPPÉES

I - Géométrie dirigée

II - Transversales

III - Division et faisceau harmoniques

IV - Pôles, polaires, plans polaires,
dans le cercle et la sphère

V - Rapport anharmonique

VI - Inversion

VII - Homographie

VIII - Involution

IX - Géométrie projective
Application aux coniques

9 tomes

Paris, Librairie Vuibert
1927

Auteur :
Georges PAPELIER

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Géométrie élémentaire et moderne
Problèmes


Reprint 1996
24,5 x 18 cm, oblong
552 p.
Broché
9 tomes en 1 volume
ISBN : 978-2-87647-085-9


S O M M A I R E

I - GÉOMÉTRIE DIRIGÉE
Vecteurs.

- Théorème de Chasles.
- Relation d'Euler.
- Relation de Stewart.
- Applications de la relation de Stewart.
- Condition pour que les perpendiculaires aux côtés d'un triangle soient concourantes.
Angles.
- Angle de deux droites.
- Théorème de Chasles.
- Droite de Simson.
- Propriétés de la parabole.
- Droites antiparallèles.
- Angle de deux axes ou de deux demi-droites.
- Théorème de Chasles.
- Projections.
- Produit géométrique de deux vecteurs.
Notions de géométrie analytique.
- Géométrie plane.
- Distance de deux points.
- Représentation des courbes par des équations.
- Équation de la droite.
- Équation du cercle.
- Équation de l'ellipse.
- Équation de l'hyperbole.
- Équation de la parabole.
- Géométrie dans l'espace.
- Distance de deux points.
- Représentation des surfaces par des équations.
- Équation du plan.
- Équation de la sphère.
- Centre des distances proportionnelles.
- Centre des moyennes distances.
- Théorème de Leibnitz.
Aires.
- Aire algébrique d'un triangle.
- Aire algébrique d'un polygone.

II - TRANSVERSALES
- Théorème de Ménélaüs.
- Théorème de Céva.
- Applications aux points et droites remarquables d'un triangle.
- Quadrilatère complet.
- Triangles homologiques.
- Théorème de Pascal.
- Symédianes.
- Points inverses dans un triangle.
- Généralisations du théorème de Ménélaüs.

III - DIVISION ET FAISCEAU HARMONIQUES
Division harmonique.

- Propriétés harmoniques du quadrilatère complet.
- Formes diverses de la relation harmonique.
- Points qui divisent harmoniquement deux segments.
- Cercles orthogonaux.
- Enveloppes des droites qui coupent deux cercles suivant une division harmonique.
- Faisceaux de cercles.
- Cercles orthogonaux aux cercles d'un faisceau.
Faisceau harmonique.
- Polaire d'un point par rapport à un angle.
- Faisceau harmonique de plans.

IV - PÔLES, POLAIRES, PLANS POLAIRES, DANS LE CERCLE ET LA SPHÉRE
Pôles et polaires dans le cercle.

- Polaire d'un point par rapport à un cercle.
- Pôle d'une droite.
- Points conjugués.
- Droites conjuguées.
- Triangles conjugués.
- Propriétés harmoniques des cercles orthogonaux.
- Points qui ont même polaire par rapport à deux cercles.
- Exercices sur les pôles et polaires.
- Quadrilatère harmonique.
Transformation par polaires réciproques.
- Théorème de Brianchon.
- Courbes polaires réciproques.
- Transformée d'un cercle.
- Propriétés des coniques.
Pôles et plans polaires dans la sphère.
- Plan polaire d'un point par rapport à une sphère.
- Pôle d'un plan.
- Points conjugués.
- Plans conjugués.
- Droites conjuguées.
- Tétraèdres conjugués.
- Sphères orthogonales.
- Faisceaux de sphères.
- Réseaux de sphères.
Transformation par polaires réciproques.

V - RAPPORT ANHARMONIQUE
Rapport anharmonique de quatre points en ligne droite.

- Permutations de quatre lettres.
- Nombre des rapports anharmoniques de quatre points.
- Relations entre ces rapports.
- Équation qui admet pour racines les six valeurs des rapports anharmoniques de quatre points.
- Cas où les six rapports anharmoniques ne sont pas distincts.
Rapport anharmonique d'un faisceau de quatre droites.
- Rapport anharmonique de quatre points d'un cercle.
- Rapport anharmonique de quatre tangentes à un cercle.
- Rapport anharmonique des sommets d'un rectangle inscrit dans un cercle.
- Le théorème de Ménélaüs déduit de celui de Céva par le principe de dualité.
- Triangles homologiques.
- Théorème de Pascal.
- Théorème de Brianchon.
- Triangles polaires réciproques.
- Applications des propriétés des triangles homologiques.
- Applications des théorèmes de Pascal et de Brianchon.
Rapport anharmonique d'un faisceau de quatre plans.

VI - INVERSION
Inversion dans le plan.

- Points inverses.
- Figures inverses.
- Figure inverse d'une droite.
- Figure inverse d'un cercle passant par le pôle.
- Figure inverse d'un cercle ne passant pas par le pôle.
- Points homologues et antihomologues.
- Propriétés des tangentes aux courbes inverses.
- Angle d'une droite et d'un cercle.
- Angle de deux cercles.
- Applications de la transformation par inversion.
- Construire un cercle passant par un point et tangent à deux cercles.
- Théorèmes de Ptolémée et leurs réciproques.
- Inverseurs.
- Relation d'Euler.
- Transformer deux cercles en deux cercles égaux.
- Transformer deux cercles en deux cercles concentriques.
- Figure inverse d'un faisceau de cercles.
- Cercles qui coupent deux cercles donnés sous des angles donnés.
- Cercle des neuf points.
- Théorème de Feuerbach.
- Cercles tangents à trois cercles donnés dont deux au moins se rencontrent.
- Cercles tangents à trois cercles donnés tangents deux à deux.
- Cercles tangents à trois cercles donnés quelconques. Méthode de Gergonne. Méthode de Poncelet.
Inversion dans l'espace.
- Figure inverse d'un plan.
- Figure inverse d'une sphère passant par le pôle.
- Figure inverse d'une sphère ne passant pas par le pôle.
- Figure inverse d'un cercle dont le plan ne passe pas par le pôle.
- Propriétés du cône à base circulaire.
- Tangentes aux courbes inverses. Plans tangents aux surfaces inverses.
- Angle d'un plan et d'une sphère.
- Angle de deux sphères.
- Projection stéréographique.
- Théorème de Dupuis.
- Sphères tangentes à quatre sphères quelconques.

VII - HOMOGRAPHIE
Relation homographique.

- Une correspondance homographique est définie par trois couples de valeurs homologues.
- Fonction homographique.
Divisions homographiques.
- Exemples.
- Points limites.
- Le rapport anharmonique de quatre points d'une division est égal au rapport anharmonique des quatre points homologues.
- Si dans deux divisions homographiques un point coïncide avec son homologue, les droites qui joignent deux points homologues quelconques sont concourantes.
- Applications.
- Étant données deux divisions homographiques définies par trois couples de points homologues, construire l'homologue d'un point et les points limites.
Divisions semblables.
- Exemples.
Faisceaux homographiques.
- Exemples.
- Si dans deux faisceaux homographiques un rayon coïncide avec son homologue, les points de rencontre de deux rayons homologues quelconques sont en ligne droite.
- Applications.
- Étant données deux divisions homographiques définies par trois couples de points homologues, construire l'homologue d'un point et les points limites.
Divisions homographiques de même base.
- Exemples.
- Points doubles.
- Propriétés des points doubles.
- Construire les points doubles de deux divisions homographiques de même base.
Faisceaux homographiques de même sommet.
- Exemples.
- Rayons doubles.
- Construire les rayons doubles de deux faisceaux homographiques de même sommet.
- Construire les points doubles de deux divisions homographiques de même base.
- Applications.

VIII - INVOLUTION
Divisions en involution.

- Exemples.
- Deux divisions en involution sont définies par deux couples de points homologues.
- Point central.
- Points doubles.
- Exemples.
- Déterminer le point central et les points doubles de deux divisions en involution définies par deux couples de points homologues.
- Points homologues communs à deux involutions.
Condition pour que trois couples de points situés sur une même droite soient en involution.
- Diverses formes de cette condition.
Faisceaux en involution.
- Exemples.
- Rayons doubles.
- Théorème de Frégier.
Condition pour que trois couples de droites passant par un même point soient en involution.
- Des divisions en involutions et des faisceaux en involution sont des figures corrélatives.
- Applications du Théorème de Frégier.
- Étant donnés deux faisceaux en involution définis par deux couples de rayons homologues, construire l'homologue d'un rayon quelconque et les rayons doubles.
- Rayons homologues communs à deux ensembles de faisceaux en involution.
- Déterminer le sommet de deux faisceaux en involution dont les rayons homologues passent par les points homologues de deux divisions homographiques.
- Couper deux faisceaux homographiques suivant des divisions en involution.
Théorèmes de Desargues.
- Théorèmes corrélatifs des théorèmes de Desargues.
- Applications des théorèmes de Desargues.

IX - GÉOMÉTRIE PROJECTIVE. APPLICATION AUX CONIQUES
Projections du point et de la droite.

- Projection d'un point.
- Projection d'une droite.
- Ligne de fuite d'un plan.
- Propriétés projectives des figures planes.
- Applications.
- Projection d'une courbe.
- Projection de la tangente.
Projection d'un cercle.
- Théorème de Dandelin.
- Lieu des sommets des cônes de révolution passant par une conique.
- Points à l'infini des coniques.
Propriétés des coniques considérées comme projections du cercle.
- Applications des théorèmes de Pascal et de Brianchon.
- Pôles et polaires dans les coniques.
- Extension des propriétés des pôles et polaires aux éléments à l'infini.
- Diamètres dans les coniques.
- Propriétés des diamètres.
- Diamètres conjugués dans l'ellipse et l'hyperbole.
- Cordes supplémentaires.
- Rapport anharmonique de quatre points d'une conique ou de quatre tangentes.
- Rapport anharmonique des quatre sommets d'une ellipse.
Sections planes d'un cône à base circulaire.
- Transformation de coordonnées.
Propriétés homographiques des coniques.
- Équation d'une hyperbole rapportée à ses asymptotes.
- Hyperboles conjuguées.
Théorèmes fondamentaux.
- La projection d'une conique est une conique.
- Polaires réciproques par rapport à une conique.
- Coniques déterminées par des points et des tangentes.
Construction des coniques définies par des points et des tangentes.
- Détermination des éléments de ces coniques.
Applications des théorèmes fondamentaux.
Propriétés involutives des coniques.

- Coniques singulières.
- Faisceaux ponctuels de coniques.
- Faisceaux tangentiels de coniques.
- Théorème de Frégier.
- Théorème de Desargues.
- Propriétés corrélatives. Théorème de Plücker.
- Les polaires d'un point fixe par rapport aux coniques d'un faisceau ponctuel passent par un point fixe.
- Le lieu des pôles d'une droite fixe par rapport aux coniques d'un faisceau tangentiel est une droite.
- Lieu des centres des coniques inscrites dans un quadrilatère complet.
- Lieu des pôles d'une droite fixe par rapport aux coniques passant par quatre points.
- Lieu des centres des coniques passant par quatre points.
- Conique des neuf points.
- Enveloppe des polaires d'un point fixe par rapport aux coniques inscrites dans un quadrilatère complet.
- Propriétés de l'hyperbole équilatère.

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