Émile BOREL

LEÇONS

SUR LA

THÉORIE DES FONCTIONS

4^e édition

Paris, Gauthier-Villars
1950

Auteur :
Émile BOREL

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Logique. Théorie des ensembles
Analyse
Topologie. Mesure. Intégration

Reprint 2003
17 x 24 cm
316 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-086-6
 

SOMMAIRE

I - Notions générales sur les ensembles.
- La notion d'ensemble.
- La notion de puissance.
- Les ensembles dénombrables.
- Comparaison des ensembles dénombrables avec les autres ensembles.
- Les ensembles qui ont la puissance du continu.

II - Les nombres algébriques et l'approximation des incommensurables.
- Généralités sur les nombres algébriques.
- L'ensemble des nombres algébriques est dénombrable.
- Les recherches de Liouville.
- L'approximation des nombres incommensurables.

III - Les ensembles parfaits et les ensembles mesurables.
- Les ensembles fermés et les ensembles parfaits.
- Les ensembles parfaits qui ne sont dans aucun intervalle.
- Les ensembles mesurables.

IV - Le prolongement analytique.
- La définition du prolongement analytique.
- Un théorème de Poincaré et Volterra.
- Remarque de Weierstrass sur les séries de fonctions uniformes.

V - Sur la convergence de certaines séries réelles.
- Définition des séries étudiées.
- Séries à une seule variable.
- Séries à deux variables.
- Courbes de convergence uniforme.

VI - La notion de fonction d'une variable complexe.
- Fonctions analytiques et expressions analytiques.
- Le théorème de Mittag-Leffler.
- Les représentations analytiques connues.
- Remarque sur les séries de fractions rationnelles.
- Étude de certaines séries de fractions simples.
- Propriétés essentielles des séries étudiées.
- Conclusion.

NOTES DE LA PREMIÈRE ÉDITION

I - La notion de puissance.
- L'égalité et l'inégalité des puissances.
- La formation d'ensembles ayant des puissances de plus en plus grandes.
- La puissance des ensembles de fonctions.

II - La croissance des fonctions et les nombres de la deuxième classe.
- Le théorème de Paul Du Bois-Reymond.
- La formation d'une échelle de types croissants.
- Les nombres de Georg Cantor.

III - La notion de fonction en général.
- Les fonctions discontinues.
- Les fonctions définies par des conditions dénombrables.
- La notion de fonction arbitraire.

NOTES DE LA DEUXIÈME ÉDITION

IV - Les polémiques sur le transfini et sur la démonstration de Zermelo.
- A propos de l'"infini nouveau".
- L'antinomie du transfini.
- Le continu bien ordonné d'après Zermelo.
- Cinq lettres sur la théorie des ensembles.
- Sur les principes de la théorie des ensembles.
- Les "Paradoxes" de la théorie des ensembles.
- La Philosophie mathématique et l'infini.
- L'infini mathématique et la réalité.

V - Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques.
- Les probabilités dénombrables.
- Les fractions décimales.
- Les fractions continues.
- Questions diverses et conclusion.
- Sur un problème de probabilités relatives aux fractions continues.

VI - La théorie de la mesure et la théorie de l'intégration.

Introduction.
- Remarques historiques.
- Nombres calculables.
- Les fonctions calculables et les fonctions à définition asymptotique.
- Les ensembles mesurables.
1. La théorie de la mesure.
- Le premier théorème fondamental.
- La mesure des ensembles bien définis.
- Le second théorème fondamental.
- Les ensembles à points multiples.
- Les ensembles de mesure nulle.
2. La définition de l'intégrale.
- La définition des fonctions bornées et le troisième théorème fondamental.
- La définition de l'intégrale des fonctions bornées.
- Les propriétés de l'intégrale des fonctions bornées.
- L'intégration des fonctions non bornées.
- Comparaison avec l'intégrale de Lebesgue.
3. Le calcul effectif des intégrales.
- Le calcul par la définition.
- L'emploi des probabilités dénombrables.

NOTE DE LA TROISIÈME ÉDITION

VII - Pour ou contre la logique empirique.
- Logique formelle et logique empiriste, par Rolin Wavre.
- Sur le principe du tiers exclu et sur les théorèmes non susceptibles de démonstration, par Paul Lévy.
- Sur le principe du tiers exclu, par Rolin Wavre.
- Critique de la logique empirique, par Paul Lévy.
- A propos de la récente discussion entre Rolin Wavre et Paul Lévy, par Émile Borel.
- Sur la logique de Brouwer, par Barzin et A. Errera.
- Logique classique, logique brouwerienne et logique mixte, par Paul Lévy.

NOTE DE LA QUATRIÈME ÉDITION

VIII - L'axiome du choix et les définitions asymptotiques.
- Les paradoxes de l'axiome du choix.
- Les difficultés des définitions asymptotiques.
- Remarques finales.