SOURIAU : Calcul linéaire, t. I, 2e éd., 1964 et t. II, 1965

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Jean-Marie SOURIAU

CALCUL LINÉAIRE
Méthodes mathématiques de la Physique
 

Tome I
2e édition
Paris, Presses Universitaires de France
1964 

[suivi de :]

Tome II
Paris, Presses Universitaires de France
1965

Auteur :
Jean-Marie SOURIAU

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Algèbre
Géométrie analytique et différentielle

Reprint 1992
24,5 x 18 cm, oblong
280 p.
Broché
2 tomes en 1 volume
ISBN : 978-2-87647-097-2

Avertissement de l'Auteur (Extrait)

Voici quelques particularités techniques du tome I :
— Le calcul matriciel est traité dans le cas général des matrices d'opérateurs linéaires; l'introduction des clefs matricielles donne un automatisme complet au jeu des indices, aussi bien en calcul matriciel qu'en calcul tensoriel.
— Les bases des espaces vectoriels sont considérées comme des opérateurs, ce qui permet de traiter tous les problèmes de changement de base par l'associativité de la multiplication.
— Les tenseurs sont définis comme opérateurs multilinéaires; de cette façon, des problèmes comme le changement de base, la définition du produit tensoriel deviennent de simples exercices d'application.
— L'algèbre extérieure est remplacée par une étude directe des opérateurs multilinéaires alternés.
Enfin, l'étude spectrale des matrices est traitée par une méthode entièrement nouvelle, qui se décompose en deux parties :
1° Un algorithme, qui fournit notamment le déterminant, l'inverse et le polynôme caractéristique.
2° Une décomposition en éléments simples; cette décomposition introduit les projecteurs propres et nilpotents propres de la matrice, dont la considération permet de traiter, sans recourir à la réduction de Jordan, les principales applications théoriques et pratiques : itration, exponentielle de matrice, systèmes différentiels linéaires, théorème de Fuchs, problèmes de vibrations, processus aléatoires stationnaires, etc.
Cette méthode se prête aisément aux problèmes numériques, et, en particulier, au calcul automatique.

L'objet essentiel du tome II est l'étude des espaces euclidiens et hermitiens de dimension quelconque, positifs et hyperboliques.
Un chapitre préliminaire (VII) traite de l'exponentielle des opérateurs linéaires; bien  qu'il fasse appel à des notions différentielles étrangères au reste de l'ouvrage, il constitue à la fois une application importante de la décomposition spectrale des opérateurs (exposée dans le tome I) et une introduction à l'étude des groupes classiques rencontrés ultérieurement.
Les espaces euclidiens et hermitiens sont étudiés (chap. VIII) au moyen d'une nouvelle opération (la transposition) qui s'accorde bien avec les méthodes du tome I; on peut ainsi traiter directement les problèmes géométriques, ou, si l'on préfère, utiliser des bases et des coordonnées.
Nous passons ainsi en revue les principaux problèmes de la théorie : réduction des formes quadratiques et des formes d'Hermite, classification des espaces euclidiens ou hermitiens, et de leurs sous-espaces, étude de leurs opérateurs (opérateurs hermitiens et anti-hermitiens, groupes orthogonaux et unitaires, tenseurs), orientation.
On étudie particulièrement les espaces positifs (proprement euclidiens) et hyperboliques normaux.
L'axiomatique rigoureuse dont on dispose pour la géométrie euclidienne et hermitienne est ensuite utilisée dans des cas spéciaux (chap. IX) : espaces de dimension 2, réels et complexes, quaternions, géométrie classique dans l'espace à trois dimensions, espace de Minkowski et ses spineurs.

Les exercices qui portent sur les divers chapitres, en dehors de leur utilité pédagogique, permettront   au lecteur d'étudier des méthodes pratiques et diverses théories : méthodes numériques en calcul matriciel, équations différentielles linéaires, géométrie anallagmatique, géométrie de Lobatchewski, corps de dimension finie, spineurs de l'espace à trois dimensions, matrices de spin, octonions, matrices   de Dirac, etc.

La solution détaillée des exercices des deux tomes, suivie de l'index, termine l'ouvrage.

 

S O M M A I R E

TOME  I

I - Algèbre générale
Ce chapitre est surtout un recueil de définitions, mises sous la forme la plus naïve possible; bon nombre d'entre elles sont classiques.
Le lecteur devra cependant accorder toute son attention aux points suivants :
— La définition des échelles, qui est une introduction au calcul matriciel.
— La règle du jeu des opérateurs multiples, préparatoires au calcul tensoriel.
— Les diverses notions relatives à l'inversion des opérateurs (opérateurs réguliers, permutations, inverse, inverse-à-gauche, inverse-à-droite, quotient).

II - Algèbre linéaire
Le premier paragraphe contient la définition axiomatique des espaces vectoriels et quelques propriétés immédiates.
Nous indiquons ensuite un certain nombre de méthodes permettant de construire des espaces vectoriels (espaces vectoriels d'opérateurs, produit direct, sous-espaces vectoriels).
Le dernier paragraphe traite des opérateurs linéaires : après la définition et les règles algébriques élémentaires, nous étudions divers types d'opérateurs linéaires : covecteurs, contravecteurs, opérateurs monômes, opérateurs scalaires, projecteurs.
Nous terminons ce chapitre par l'étude sommaire des polynômes en affineurs et des affineurs algébriques, étude qui sera reprise au chapitre VI, et par un théorème d'immersion.

III - Calcul matriciel
Dans le développement logique de l'ouvrage, ce chapitre n'est qu'une application et une illustration du précédent : certains opérateurs linéaires, appelés matrices, peuvent se représenter par un tableau. Les matrices jouissent évidemment de toutes les propriétés des opérateurs linéaires.
Nous introduisons d'abord les « clés matricielles », que nous utilisons pour construire toutes les matrices, et qui suggèrent un jeu d'indices parfaitement automatique (il conduira naturellement aux notations tensorielles classiques).
Après avoir étudié les opérations matricielles élémentaires, nous nous occupons particulièrement de matrices de nombres, qui fournissent beaucoup d'exemples importants d'opérateurs linéaires.

IV - Espaces à n dimensions
Un espace vectoriel « de-dimension-finie » est caractérisé par l'existence d'une base, qu'il est commode de considérer comme un opérateur linéaire.
La base permet de représenter par des matrices les différents opérateurs linéaires de l'espace, et de montrer l'existence de la trace d'un affineur.
La notion de trace permet à son tour de montrer que toutes les bases ont le même ordre : on définit ainsi la dimension de l'espace.
La notion de dimension, et celle de rang qui s'en déduit, ont des applications pratiques importantes; par exemple, la définition des grandeurs mesurables, la discussion des systèmes linéaires, le calcul de l'inverse d'une matrice.
Cette dernière opération permet en particulier de résoudre automatiquement les problèmes de changement de base.

V - Algèbre multilinéaire
La notion d'opérateur multiple conduit naturellement à celle d'opérateur multilinéaire.
Nous étudions particulièrement le cas des opérateurs bilinéaires, avec, comme application, les opérateurs quadratiques et leurs opérateurs polaires.
Comme application, nous traitons l'algèbre tensorielle afin de mettre le lecteur en mesure de lire les ouvrages qui utilisent ce calcul.
Le calcul alterné est l'étude des opérateurs multilinéaires anti-symétriques ou alterneurs.
Nous les construisons par récurrence à l'aide d'une opération extérieure, qui fournit rapidement les résultats, essentiels, et qui constitue une introduction algébrique à la dérivation des formes différentielles.
Les alternateurs d'ordre maximum, ou jauges, conduisent naturellement à la définition des déterminants, des affineurs adjoints, et à une définition de la trace.
La théorie des déterminants se développe ensuite aisément; nous insistons en particulier sur certaines formules (conduisant au théorème de Cayley-Hamilton) qui seront d'une grande utilité pour l'étude spectrale des affineurs.

VI - Propriétés spectrales
Le premier paragraphe de ce chapitre est consacré à la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles (les coefficients du numérateur de la fraction pouvant appartenir à un espace vectoriel complexe quelconque). On établit l'existence et l'unicité de cette décomposition.
On montre ensuite qu'un affineur A est algébrique sous la condition suivante : [s — A ] -1 est une fraction rationnelle en s.
Décomposant celle-ci en éléments simples, on met en évidence les éléments spectraux de A : les pôles, résidus, etc, de cette fraction.
On indique ensuite un certain nombre d'applications des éléments spectraux : itérations, vecteurs propres, réduction diagonale, etc.
On montre enfin comment cette théorie peut s'appliquer aux affineurs réels.

TOME  II

VII - Exponentielle
La définition de l'exponentielle d'un opérateur linéaire met en jeu des notions topologiques et différentielles, qui font l'objet d'un paragraphe préliminaire.
L'exponentielle, définie à l'aide d'une série, permet de résoudre les systèmes différentiels linéaires à coefficients constants; elle se calcule en termes finis au moyen de la décomposition spectrale; nous en donnons diverses applications à l'algèbre, à la théorie des équations différentielles linéaires.
Les résultats de ce chapitre jouent un rôle important en mathématiques (notamment en géométrie différentielle et dans l'étude des groupes de Lie); ils servent aussi de point de départ à plusieurs théories physiques.

VIII - Espaces euclidiens et hermitiens
Les espaces euclidiens et hermitiens, positifs ou non, peuvent tous être caractérisés par un opérateur bilinéaire réel que nous notons g.
Ceci permet de définir dans ces espaces une nouvelle opération, la transposition, qui vérifie des règles algébriques simples; nous l'utilisons systématiquement dans l'étude des principaux problèmes relatifs à ces espaces :
— étude des opérateurs hermitiens et anti-hermitiens, ce qui nous conduit à la classification des formes d'Hermite (et, en particulier, des formes quadratiques réelles);
— notion d'orthogonalité;
classification de ces espaces et de leurs sous-espaces; nous étudions notamment les espaces positifs, où s'applique la notion de norme euclidienne, et où les opérateurs normaux jouissent de propriétés spectrales remarquables, et les espaces hyperboliques normaux;
— nous montrons comment orienter les espaces euclidiens et hermitiens, introduisant à cette occasion la notion de multiplicateur;
— l'étude des tenseurs d'un espace euclidien conduit à des notations usuelles, et à la notion de produit scalaire de deux alternateurs, dont les applications sont nombreuses en physique mathématique;
— enfin nous étudions les groupes d'automorphismes de ces espaces (exemples : groupe orthogonal et groupe unitaire à n dimensions; groupe de Lorentz, etc.). On sait que ces groupes jouent un rôle essentiel dans des théories physiques très diverses : mécanique classique et quantique, cristallographie, relativité, théorie des particules élémentaires, etc.

IX - Espaces spéciaux
Dans le développement logique du livre, ce chapitre terminal est une simple illustration du précédent : nous appliquons la théorie des espaces euclidiens et hermitiens de dimension n à divers cas où n = 2, 3, 4, 5.
Mais les espaces étudiés ici présentent un intérêt par eux-mêmes : ils conduisent à certaines structures mathématiques intéressantes, celle des quaternions notamment; ils sont essentiels pour l'élaboration de la plupart des théories physiques.
Le chapitre se termine par une étude détaillée, mais élémentaire des spineurs de l'espace de Minkowski (spineurs de Dirac), qui jouent un rôle important en Mécanique quantique.
Divers développements annexes, mais importants, sont traités en exercices.

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