MOLK : ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES, I-1, Arithmétique, 1904-1909


MOLK : ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES, I-1, Arithmétique, 1904-1909

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ENCYKLOPÄDIE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN

ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES

publiée sous les auspices des Académies des Sciences de Gœttingue, de Leipzig,
de Munich et de Vienne, avec la collaboration de nombreux savants.

Édition française rédigée et publiée d'après l'édition allemande
sous la direction de Jules MOLK, Professeur à l'Université de Nancy.


Tome I
ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE

Volume 1 
Arithmétique


Rédigé dans l'édition allemande sous la direction de François MEYER

Paris, Gauthier-Villars
Leipzig, B.G. Teubner

1904-1909


 

Directeurs :
 
Jules MOLK
François MEYER

Articles par :
 
H. SCHUBERT
 J. TANNERY
 J. MOLK
 E. NETTO  
H. VOGT
A. PRINGSHEIM
E. STUDY
É. CARTAN
M. FRÉCHET
A. SCHŒNFLIES
R. BAIRE
H. BURKHARDT

Série :
Molk - Encyclopédie

Thèmes :
 
HISTOIRE DES SCIENCES
MATHÉMATIQUES
Théorie des nombres
Algèbre
Logique - Théorie des ensembles

Reprint 1992
24,5 x 18 cm, oblong
320 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-100-9

La publication de l'édition française a été définitivement interrompue en 1916 en raison de la guerre.

Ce reprint a été réalisé avec des volumes obligeamment prêtés par les Bibliothèques de l'École Normale Supérieure, de l'École Polytechnique et du Conservatoire National des Arts et Métiers.

AVIS
Cette Encyclopédie est un exposé concis, mais aussi complet que possible, de l'état actuel des diverses branches de la Science mathématique ; les auteurs ont, plus spécialement, cherché à faire connaître le développement de cette science depuis le commencement du 19e siècle.
Les indications bibliographiques, nombreuses, révisées avec soin, permettent au lecteur de se reporter aux sources et de lire les travaux originaux dont on n'a donné qu'un aperçu. On ne donnera pas, en effet, les démonstrations, mais on insistera sur les définitions et sur l'enchaînement des théories.
L'édition française de l'Encyclopédie est divisée en sept Tomes*, qui paraissent par livraisons.
Dans l'édition française, on a cherché à reproduire dans leurs traits essentiels les articles de l'édition allemande dans le mode d'exposition adopté, on a cependant largement tenu compte des traditions et des habitudes françaises.
Cette édition française offre un caractère tout particulier par la collaboration de mathématiciens allemands et français. L'auteur de chaque article de l'édition allemande a, en effet, indiqué les modifications qu'il jugeait convenable d'introduire dans son article et, d'autre part, la rédaction française de chaque article a donné lieu à un échange de vues auquel ont pris part tous les intéressés ; les additions dues plus particulièrement aux collaborateurs français sont mises entre deux astérisques.
Une Tribune publique annexée à l'édition française de l'Encyclopédie permet à chaque lecteur de contribuer à combler les lacunes que cette édition pourrait encore présenter.
Il serait superflu d'insister davantage sur l'intérêt que présente l'Encyclopédie. Cet ouvrage a sa place marquée dans toutes les bibliothèques scientifiques.
Jules MOLK

* Le Tome VIII : Table des matières - Tribune publique, a été réalisé par les Éditions Jacques Gabay en 1995.


S O M M A I R E

I - 1
PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L'ARITHMÉTIQUE
H. Schubert - J. Tannery - J. Molk

Notion de nombre naturel.
1. Nombre cardinal.
2. Collections finies et infinies.
3. Suite naturelle des nombres. Zéro.
4. Nombre ordinal.
5. Introduction du nombre d'après Dedekind et Peano.
6. Invariance du nombre.
7. Critique de la notion du nombre.

Numération.
8. Premiers systèmes de numération.
9. Numération décimale. Principe de position.

Opérations directes et inverses.
10. Généralités sur les opérations.
11. Principe de permanence.

Opérations de rang un.
12. Addition.
13. Progression arithmétique.
14. Soustraction.
15. Combinaison de l'addition avec la soustraction.
16. Zéro.
17. Nombres négatifs.

Opérations de rang deux.
18. Multiplication.
19. Division.
20. Combinaison de la division avec l'addition, soustraction et la multiplication.
21. Nombres fractionnaires.
22. Nombres relationnels relatifs.
23. Origine concrète de la notion de fraction.
24. Opérateurs de Méray et de Peano.
25. Fractions systématiques.

Opérations de rangs plus élevés que deux.
26. Puissances.
27. Racines.
28. Logarithmes.
29. Remarques finales.


I - 2
ANALYSE COMBINATOIRE ET THÉORIE DES DÉTERMINANTS
E. Netto - H. Vogt

Analyse combinatoire.
1. Aperçu historique.
2. Opérations fondamentales.
3. Permutations rectilignes et permutations circulaires.
4. Arrangements et combinaisons.
5. Inversions.
6. Séquences.
7. Permutations réciproques.
8. Permutations soumises à des conditions restrictives.
9. Combinaisons ou arrangements soumis à des conditions restrictives.
10. Combinaisons dont les éléments ont une somme donnée. Décomposition d'un nombre en une somme de plusieurs autres.
11. Applications aux produits de facteurs.
12. Autres applications.
13. Ternes ou Triades.
14. Développement de la puissance d'un polynôme.
15. Généralisations.

Déterminants.
16. Aperçu historique.
17. Définitions et notations.
18. Nombre de termes.
19. Propriétés élémentaires des déterminants.
20. Développement d'un déterminant. Mineurs.
21. Produit de deux déterminants. Produit de deux matrices.
22. Composition des systèmes.
23. Déterminants composés formés au moyen des mineurs d'un déterminant.
24. Relations entre les mineurs d'un déterminant ou d'une matrice. Généralisations.
25. Déterminants composés formés au moyen des mineurs de plusieurs déterminants.
26. Rang d'un déterminant ou d'une matrice. Déterminants bordés.
27. Déterminants symétriques.
28. Déterminants centrosymétriques, orthosymétriques. Circulantes. Généralisation.
29. Déterminants gauches. Pfaffiens.
30. Équation séculaire. Généralisation.
31. Déterminants de systèmes orthogonaux. Maximé d'un déterminant.
32. Déterminants spéciaux : wronskiens, jacobiens, hessiens.
33. Alternants. Permanents. Continuants.
34. Déterminants arithmétiques.
35. Déterminants cubiques. Déterminants à plusieurs dimensions.


I - 3
NOMBRES IRRATIONNELS ET NOTION DE LIMITE
A. Pringsheim - J. Molk

Nombres irrationnels.
1. Grandeurs incommensurables.
2. Logistique.
3. Nombres sourds. Michel Stifel.
4. François Viète. René Descartes.
5. Point de vue métrique.
6. Point de vue de Ch. Méray.
7. Point de vue de K. Weierstrass.
8. Point de vue de R. Dedekind.
9. Point de vue de Paul du Bois-Reymond. Postulat d'Ascoli.
10. Point de vue de L. Kronecker.
11. Représentation des nombres irrationnels par des fractions systématiques infinies.
12. Représentation des nombres irrationnels par des fractions continues infinies.
13. Représentations diverses de nombres irrationnels par des suites infinies.

Notion de limite.
14. Origine géométrique de l'idée de limite.
15. Arithmétisation de l'idée de limite.
16. Critère pour l'existence d'une limite. Suites convergentes.
17. Suites simplement divergentes.
18. Infiniment petits.
19. Suites discrépantes. Limite supérieure. Limite inférieure.
20. Borne supérieure et borne inférieure.
21. Calcul des limites. Le nombre e.
22. Expressions qui se présentent sous une forme indéterminée.
23. Croissance relative des suites infinies de nombres.
24. Limites de suites infinies à double entrée.


I - 4
ALGORITHMES ILLIMITÉS
A. Pringsheim - J. Molk

Séries infinies.
1. Convergence, divergence ; divergence simple, discrépance.
2. Critères de convergence et de divergence pour les séries à termes positifs.
3. Les critères de Gauss.
4. Les critères de Cauchy.
5. Critères complémentaires et échelles de critères complémentaires aux critères de Cauchy.
6. Critère général de Kummer.
7. Recherches de U. Dini, P. du Bois-Reymond et A. Pringsheim.
8. Forme générale des critères de première et de seconde espèce et des séries de comparaison.
9. Échelles de critères généraux de première et de seconde espèce.
10. Autres formes de critères.
11. Comparaison des critères de première et de seconde espèce.
12. Les frontières de la convergence et de la divergence.
13. Convergence absolue et non absolue.
14. Critères applicables aux séries qui peuvent n'être pas absolument convergentes.
15. Addition et multiplication des séries infinies.
16. Séries doubles.
17. Séries multiples.
18. Transformation des séries.
19. Formule sommatoire de L. Euler et de C. Maclaurin. Séries semi-convergentes.
20. Séries divergentes.
21. Cas particulier des séries de puissances.

Produits infinis.
22. Historique.
23. Convergence et divergence.
24. Transformation des produits infinis en séries.
25. Factorielles et facultés analytiques.

Fractions continues.
26. Premières propriétés.
27. Calcul des réduites.
28. Propriétés des réduites de certaines fractions continues.
29. Fractions continues infinies ; convergence, divergence (divergence simple et discrépance).
30. Fractions continues infinies à éléments positifs.
31. Fractions continues à éléments de signes quelconques.
32. Fractions continues périodiques.
33. Transformation des fractions continues infinies.
34. Transformation d'une série infinie en fraction continue.
35. Autres expressions de séries infinies par des fractions continues.
36. Cas des séries de puissances ou du quotient de deux telles séries.
37. Relations entre les fractions continues infinies et les produits infinis.
38. Fractions continues ascendantes.

Déterminants infinis.
39. Historique.
40. Propriétés principales des déterminants infinis.

I - 5
NOMBRES COMPLEXES
E. Study - É. Cartan

Nombres complexes ordinaires.
1. Aperçu historique.
2. Point de vue géométrique de C. Wessel et de J.R. Argand.
3. Module, argument, nombres imaginaires conjugués.
4. Point de vue arithmétique de W.R. Hamilton.
5. Critiques adressées à la théorie précédente.
6. Point de vue des équivalences algébriques de A.L. Cauchy.
7. Limites. Séries.
8. Logarithmes naturels des nombres complexes.
9. Puissances à exposants complexes ; logarithmes de base complexe.
10. Une nouvelle extension de la notion de nombre est-elle possible ?
11. Représentation de certains groupes de transformations à l'aide des nombres complexes ordinaires.

Nombres complexes d'ordre supérieur.
12. Aperçu historique.
13. Généralités sur les systèmes de nombres.
14. Systèmes d'ordre fini ; systèmes de nombres complexes.

Le calcul extensif de Grassmann.
15. Généralités.
16. Multiplication progressive.
17. Multiplication régressive.
18. Multiplication intérieure.
19. Applications.
20. Clefs algébriques de A.L. Cauchy.

Les systèmes de nombres complexes à multiplication associative.
21. Généralités.
22. Équivalence. Types. Formes. Réductibilité.
23. Systèmes à deux, trois ou quatre unités.
24. Le système des quaternions.
25. Les systèmes de nombres complexes à multiplication commutative. Point de vue de Kronecker.
26. Les systèmes de nombres complexes et le calcul des formes bilinéaires.
27. Classification des systèmes de nombres complexes.
28. Les facteurs irréductibles des fonctions caractéristiques.
29. Les systèmes simples à coordonnées réelles.
30. Les groupes de substitutions finis discrets et les systèmes de nombres complexes.
31. Formule de Sylvester. Racine m-ième et logarithme naturel d'un nombre complexe.
32. Fonctions analytiques d'une variable complexe.
33. Équations algébriques entières à inconnue complexe.
34. Les systèmes de nombres complexes et les groupes de transformations.
35. Représentation de certains groupes de transformations au moyen des quaternions et des biquaternions. Calculs géométriques.
36. Les systèmes de Clifford et de Lipschitz.
37. Les systèmes de nombres complexes dans un domaine de rationalité donné.
38. Les octaves de Graves et de Cayley.


I - 6
ALGORITHMES ILLIMITÉS DE NOMBRES COMPLEXES
A. Pringsheim - M. Fréchet

1. Limite d'une suite de nombres complexes.
2. Séries infinies à termes complexes.
3. Convergence absolue. Critères de convergence absolue.
4. Convergence non absolue.
5. Multiplication et addition des séries complexes.
6. Produits infinis.
7. Fractions continues infinies.
8. Déterminants infinis.


I - 7
THÉORIE DES ENSEMBLES
A. Schœnflies - R. Baire

Historique.
1. La notion d'ensemble.
2. La notion de dénombrabilité et le continu.
3. Première introduction des nombres transfinis.

Les ensembles transfinis.
4. La puissance ou nombre cardinal.
5. Opérations sur les puissances.
6. Les ensembles dénombrables.
7. Les ensembles non dénombrables.
8. Les ensembles ordonnés.
9. Opérations sur les types d'ordre.
10. Séries fondamentales.
11. Les ensembles bien ordonnés.
12. Les nombres transfinis.

Théorie des ensembles de points.
13. Notions générales.
14. Ensembles dérivés de tous les ordres.
15. Ensembles denses et non denses.
16. Théorèmes généraux.
17. Ensembles de première catégorie.
18. Ensembles de points dans l'espace à n dimensions.
19. La mesure des ensembles.

Compléments.
20. Extension de la notion d'exponentiation.
21. Ensembles abstraits.
22. Remarques finales.


I - 8
SUR LES GROUPES FINIS DISCONTINUS*
H. Burkhardt - H. Vogt

Groupes de substitutions.
1. Historique.
2. Permutations et substitutions.
3. Représentation des substitutions.
4. Produits et inverses de substitutions.
5. Ordre d'une substitution.
6. Groupe de substitutions. Sous-groupes.
7. Transivité.
8. Primitivité.
9. Classe.
10. Groupes de degré donné.
11. Sous-groupes invariants. Composition.
12. Isomorphisme. Groupes réguliers.

Groupes généraux.
13. Notion générale de groupe.
14. Table de Cayley. Groupes de substitutions isomorphes à un groupe général.
15. Isomorphismes d'un goupe avec lui-même.
16. Sous-groupes d'un groupe donné.
17. Groupes d'ordre donné.
18. Groupe dérivé d'opérations ou d'éléments donnés.

Groupes spéciaux.
19. Groupes abéliens.
20. Groupes de commutateurs.
21. Groupes dont l'ordre est une puissance d'un nombre premier.
22. Groupes hamiltoniens.
23. Caractères des groupes abéliens.
24. Caractères d'un groupe quelconque. Déterminant d'un groupe.

*La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.
 

 

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