MOLK : ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES, I-2, Algèbre, 1907-1912


MOLK : ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES, I-2, Algèbre, 1907-1912

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ENCYKLOPÄDIE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN

ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES

publiée sous les auspices des Académies des Sciences de Gœttingue, de Leipzig,
de Munich et de Vienne, avec la collaboration de nombreux savants.

Édition française rédigée et publiée d'après l'édition allemande
sous la direction de Jules MOLK, Professeur à l'Université de Nancy.


Tome I 
ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE

Volume 2
Algèbre


Rédigé dans l'édition allemande sous la direction de François MEYER

Paris, Gauthier-Villars
Leipzig, B.G. Teubner

1907-1912


 

Directeurs :
Jules MOLK

François MEYER

Articles par :
E. NETTO
R. LE VAVASSEUR
Georg LANDSBERG
Jacques HADAMARD
Jozsef KÜRSHAK
W. F. MEYER
Jules DRACH

Série :
Molk - Encyclopédie

Thèmes :
HISTOIRE DES SCIENCES
MATHÉMATIQUES
Algèbre

Reprint 1992
24,5 x 18 cm, oblong
272 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-101-6


La publication de l'édition française a été définitivement interrompue en 1916 en raison de la guerre.

Ce reprint a été réalisé avec des volumes obligeamment prêtés par les Bibliothèques de l'École Normale Supérieure, de l'École Polytechnique et du Conservatoire National des Arts et Métiers.

AVIS
Cette Encyclopédie est un exposé concis, mais aussi complet que possible, de l'état actuel des diverses branches de la Science mathématique ; les auteurs ont, plus spécialement, cherché à faire connaître le développement de cette science depuis le commencement du 19e siècle.
Les indications bibliographiques, nombreuses, révisées avec soin, permettent au lecteur de se reporter aux sources et de lire les travaux originaux dont on n'a donné qu'un aperçu. On ne donnera pas, en effet, les démonstrations, mais on insistera sur les définitions et sur l'enchaînement des théories.
L'édition française de l'Encyclopédie est divisée en sept Tomes*, qui paraissent par livraisons.
Dans l'édition française, on a cherché à reproduire dans leurs traits essentiels les articles de l'édition allemande dans le mode d'exposition adopté, on a cependant largement tenu compte des traditions et des habitudes françaises.
Cette édition française offre un caractère tout particulier par la collaboration de mathématiciens allemands et français. L'auteur de chaque article de l'édition allemande a, en effet, indiqué les modifications qu'il jugeait convenable d'introduire dans son article et, d'autre part, la rédaction française de chaque article a donné lieu à un échange de vues auquel ont pris part tous les intéressés ; les additions dues plus particulièrement aux collaborateurs français sont mises entre deux astérisques.
Une Tribune publique annexée à l'édition française de l'Encyclopédie permet à chaque lecteur de contribuer à combler les lacunes que cette édition pourrait encore présenter.
Il serait superflu d'insister davantage sur l'intérêt que présente l'Encyclopédie. Cet ouvrage a sa place marquée dans toutes les bibliothèques scientifiques.
Jules MOLK

* Le Tome VIII : Table des matières - Tribune publique, a été réalisé par les Éditions Jacques Gabay en 1995.


S O M M A I R E

I - 9
FONCTIONS RATIONNELLES
E. Netto - R. Le Vavasseur

Préliminaires.
1. Introduction.
2. Fonctions rationnelles.
3. Division.
4. Algorithme du plus grand commun diviseur.
5. Recherche et propriétés du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple.
6. Nombre de termes divisibles par un monome entier.
7. Fonctions symétriques.
8. Décomposition des formes en général et questions connexes.
9. Fonctions rationnelles entières qui s'annulent pour tous les systèmes de valeurs des variables qui annulent plusieurs fonctions rationnelles entières données.
Les équations linéaires. Formes linéaires.
10. Équations linéaires.
11. Équations linéaires homogènes.
12.Théorie générale des équations linéaires.
13. Formes linéaires.
14. Propriétés des systèmes d'équations linéaires.
15. Historique.
16. Énumération de mémoires qui traitent des équations linéaires.
Les zéros d'une fonction rationnelle entière.
17. Continuité et dérivées d'une fonction rationnelle entière f(z).
18. Zéros d'une fonction rationnelle entière f(z).
19. Zéros multiples d'une fonction rationnelle entière f(z)
20. Les évectants.
21. Les zéros d'une fonction rationnelle entière de plusieurs variables.
22. Racines multiples d'une fonction rationnelle entière.
Problèmes d'interpolation. Fractions simples.
23. Détermination d'une fonction rationnelle entière f(z) par des valeurs uk=f(zk).
24. Décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples.
25. La formule d'interpolation d'Hermite.
26. Les formules de Brioschi.
27. Le problème de Cauchy.
28. Le problème de Stickelberger.
29. Formules de Jacobi.
30. Développement des fonctions rationnelles en séries récurrentes.
31. Autres formules de Jacobi.
32. Interpolation dans le cas de fonctions de plusieurs variables.
Élimination.
- Cas des fonctions d'une variable.

33. Méthode de l'algorithme d'Euclide.
34. Méthode des fonctions symétriques.
35. Méthode d'Euler.
36. Méthode de Bézout.
37. Mémoire de Jacobi. Remarque de Cayley.
38. Méthode dialytique de Sylvester.
39. Autres expressions du résultant sous forme de déterminant.
40. Le résultant exprimé au moyen des zéros de deux fonctions.
41. La méthode de Gordan.
42. Poids des termes du résultant.
43. Expression du résultant dans les cas les plus simples.
44. Le discriminant d'une fonction rationnelle entière d'une variable.
45. Expression du discriminant dans les cas les plus simples.
46. La surface-discriminant.
47. Les équations aux dérivées partielles caractéristiques du résultant ou du discriminant.
48. Travaux récents relatifs à l'élimination.
49. Invariants ou covariants de formes binaires, divisibles par certaines puissances du résultant ou discriminant.
50. Énumération d'autres travaux relatifs à l'élimination.
- Cas des fonctions de deux variables.
51. Éliminants en x et en y.
52. Éliminant en ux+vy.
53. Méthode de Labatie.
54. Règle de Minding.
55. Cas de trois fonctions de deux variables.
- Cas des fonctions de plus de deux variables.
56. Cas de m équations à m variables.
57. Méthode de Bézout.
58. Méthode d'élimination de Poisson ou méthode des fonctions symétriques.
59. Résultant.
60. Expression du résultant due à Perrin.
61. Essai d'extension de la méthode d'Euler au cas de plusieures variables.
62. Théorème de Liouville.
63. Cas des équations homogènes.
64. Discriminant d'une fonction de plusieurs variables.
65. Racines infinies.
66. Racines multiples.
67. Recherches spéciales.
68. Mémoires divers relatifs à l'élimination ou à la divisibilité.
Théorie générale de l'élimination.
69. Méthode d'élimination de Kronecker.
70. Recherches de König.
71. Forme canonique des systèmes d'équations algébriques.
72. Décomposition en variétés irréductibles d'après Lasker.
Les déterminants fonctionnels.
73. Propriétés du déterminant fonctionnel.
74. Déterminants fonctionnels de fonctions rationnelles entières homogènes.
75. Fonctions dépendantes. Fonctions indépendantes.
76. Le hessien.
77. Formule de Jacobi. Généralisation de Liouville.
78. Théorie des caractéristiques.
79. Autres mémoires sur les déterminants fonctionnels.
Le théorème fondamental.
80. Énoncé du théorème fondamental.
81. Démonstrations anciennes. Démonstrations de d'Alembert, d'Euler, de Daviet de Foncenex, de Lagrange, de Laplace.
82. Première démonstration de Gauss.
83. Démonstrations d'Argand, de Legendre, de Cauchy.
84. Les démonstrations basées sur le calcul des racines.
85. Deuxième démonstration de Gauss.
86. Troisième démonstration de Gauss.
87. Deuxième démonstration de Cauchy.
88. Démonstrations de Mourey, Collins, etc.
Réductibilité ; irréductibilité.
89. Réductibilité dans le domaine des nombres rationnels.
90. Théorème d'Eisenstein. Généralisations.
91. Irréductibilité de xn - 1/x - 1 = 0 quand n est premier.
92. Réductibilité et irréductibilité des fonctions de plusieurs variables dans le domaine des nombres rationnels.
93. Réductibilité et irréductibilité dans un domaine quelconque de rationalité.
94. Méthode de Weber pour reconnaître si une fonction est réductible ou irréductible dans un domaine de rationalité dérivé d'un domaine donné.
95. Réductibilité de x - a dans un domaine quelconque de rationalité.
96. Théorème de Kronecker.

I - 10
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES CORPS ET DES VARIÉTES ALGÉBRIQUES
G. Landsberg - J. Hadamard - J. Kurschak

Notion de corps.
1. Introduction des considérations arithmétiques dans l'Algèbre.
2. Influence de ces considérations arithmétiques sur l'irréductibilité.
3. Les quantités connues en général.
4. Aperçu historique.
5. Corps ou Domaine orthoïde. Domaine de rationalité.
6. Corps de fonctions.
7. Adjonction. Nombres algébriques.
8. Interprétation fonctionnelle. Fonctions rationnelles sur une courbe ou sur une surface.
9. Généralisations. Domaines hyperorthoïdes. Domaines pseudo-orthoïdes.
10. Équations irréductibles.
Corps conjugués. Discriminant d'un système de quantités.
11. Corps conjugués.
12. Trace. Norme. Discriminant d'un système.
13. Corps primitifs et non primitifs.
14. Relations avec la théorie des équations de Galois.
Quantités entières d'un corps. Discriminant d'un corps.
15. Quantités entières rationnelles.
16. Nombres premiers. Fonctions premières.
17. Entiers algébriques.
18. Divisibilité. Unités.
19. Unités contenues dans un corps de nombres.
20. Quantités entières d'un corps. Systèmes fondamentaux. Discriminant d'un corps.
21. Forme discriminante. Discriminant d'un corps.
22. Anneaux, espèces ou domaines d'intégrité.
23. Applications aux invariants.
Idéaux.
24. Domaines holoïdes complets et incomplets de quantités algébriques entières.
25. Nombres idéaux de Kummer.
26. Théorie de Dedekind.
27. Théorie de Kronecker et modifications apportées à cette théorie.
28. Ensemble des quantités idéales entières d'un corps.
29. Norme d'un idéal. Congruence suivant des idéaux.
30. Classes d'idéaux.
31. Idéaux d'un anneau. Le conducteur d'un anneau.
32. Interprétation fonctionnelle. Notion de diviseur rationnel.
33. Notion de diviseur premier algébrique.
34. Notion générale des diviseurs algébriques.
35. Norme dun diviseur.
36. Fonctions admettant un diviseur donné.
37. Combinaisons linéaires de diviseurs d'une même classe.
38. Transformations birationnelles. Invariants.
39. Applications aux intégrales abéliennes.
40. Les formes homogènes algébriques.
41. Propriétés projectives. Diviseurs corésiduels. Classes généralisées.
42. Retour aux corps de nombre. Nombres entiers modulo p.
43. Les nombres p-adiques.
44. Fonctions rationnelles entières à coefficients p-adiques.
45. Théorème fondamental de l'algèbre pour les nombres p-adiques.
46. Le nombre premier du corps k.
47. Les diviseurs premiers.
48. Développement suivant les puissances.
49. Représentation, dans le domaine d'un nombre premier p, des nombres algébriques d'aprés leurs valeurs numériques respectives.
50. Le corps des coefficients. L'équation d'Eisenstein. L'ordre de ramification.
51. La différente d'un corps.
52. Les facteurs du discriminant du corps et les facteurs du discriminant d'une équation.
53. L'équation fondamentale. Décomposition des quantités premières entières rationnelles en idéaux premiers.
54. Représentation des diviseurs premiers d'un corps numérique par adjonction de corps plus étendus.
55. Représentation des diviseurs des fonctions algébriques par adjonction de fonctions transcendantes. Fonctions premières. Formes premières.
Systèmes modulaires.
56. Modules.
57. Classes suivant un module. Applications.
58. Systèmes modulaires.
59. Cas des fonctions transcendantes.
60. Notion de rang. Systèmes modulaires premiers.
61. Décompositon en systèmes premiers. Discriminant d'un système modulaire.
62. Applications. Nombres complexes à plusieurs unités.
63. Théorèmes de Hilbert.
64. Généralisation des notions de divisibilité et d'équivalence.
65. Théorème fondamental de Nöther.
66. Divisibilité de seconde espèce. Systèmes modulaires de rang deux; leurs formes normales.
Corps en général.
67. Corps premiers et domaines d'intégrité premiers. Extensions équivalentes.
68. Extensions finies.
69. Extensions algébriques et transcendantes.
70. Corps absolument algébriques. Corps finis.
71. Extensions simples. Corps algébriquement fermés.
72. Corps normaux et fonctions normales.
73. Multiplicité des zéros d'une fonction entière.
74. Corps parfaits et imparfaits. Théorème des éléments primitifs. Théorème des corps intermédiaires.
75. Condition nécessaire et suffisante pour que les théorèmes des éléments primitifs et des corps intermédiaires aient lieu.
76. La plus petite extension parfaite et le plus grand sous-corps d'un corps non parfait.
77. Extension algébrique de première espèce. Corps radicaux.
78. Extensions algébriques infinies. Les corps absolument algébriques ayant pour caractéristique un nombre premier.
79. Théorème fondamental des extensions algébriques.
80. Extensions purement transcendantes.
81. Extensions transcendantes quelconques. Le degré de transcendance. Distribution de corps en classes.

I - 11
THÉORIE DES FORMES ET DES INVARIANTS *
W .F. Meyer - J. Drach

Théorie algébrique des formes quadratiques et des formes bilinéaires.
Éléments de la théorie.

1. Formes quadratiques.
2. Cas où les coefficients sont réels.
3. Réduction simultanée de deux formes quadratiques.
4. Formes bilinéaires.
Équivalence des faisceaux ordinaires d'après Weierstrass.
5. Diviseurs élémentaires.
6. Suite des exposants des diviseurs élémentaires.
7. Théorèmes de Frobenius.
8. Réduction d'un faisceau ordinaire.
9. Décomposition de la forme oméga
10. Formes réduites.
11. Cas général.
12. Problème inverse.
13. Types de faisceaux ordinaires.
Équivalence des faisceaux singuliers d'après Kronecker.
14. Relations linéaires entre les dérivées.
15. Réduction du faisceau
16. Signification des parties du faisceau réduit
17. Conditions d'équivalence.
18. Types de faisceaux singuliers.
Méthode de Darboux.
19. Décomposition en carrés.
20. Réduction d'un faisceau ordinaire.
21. Réduction d'un faisceau singulier.
22. Formes bilinéaires.
Formes bilinéaires symétriques ou alternées.
23. Équivalence des faisceaux symétriques.
24. Congruence des faisceaux symétriques.
Calcul symbolique des formes bilinéaires d'après Frobenius.
25. Opérations symboliques.
26. Équation caractéristique.
27. Racine carrée d'une forme.
28. Formes décomposables.
29. Équivalence des systèmes.
30. Réduction des systèmes.
31. Conditions suffisantes d'équivalence.
32. Équivalence des faisceaux de formes bilinéaires.
Applications du calcul symbolique aux formes symétriques ou alternées.
- I. Équivalence large des formes symétriques ou alternées.

33. Congruence des formes symétriques.
34. Lemme de Stickelberger.
35. Théorème de Kronecker.
- II. Équivalence étroite des formes bilinéaires.
36. Formes congruentes.
37. Types de formes congruentes.
38. Formes symétriques ou alternées congruentes.
39. Formes semblables.
40. Types de formes semblables.
41. Substitutions linéaires.
Transformations automorphes d'une forme quadratique ou bilinéaire.
42. Transformations automorphes
- I. Détermination des transformations automorphes (Cayley, Hermite).
43. Historique.
- II. Transformations générales des formes bilinéaires quelconques (Frobenius, Kronecker).
44. Forme ordinaire.
45. Forme singulière.
46. Remarques sur les transformations congruentes des formes quelconques.
47. Formes et substitutions décomposables.
- III. Formes symétriques ou alternées.
48. Substitution d'Hermite.
49. Caractères des substitutions qui conservent une forme symétrique (ou alternée) ordinaire.
50. Propositions réciproques.
51. Types de substitutions qui conservent une forme symétrique (ou alternée) ordinaire.
52. Cas limites.
53. Formes orthogonales.
Transformations congruentes des formes bilinéaires quelconques, d'après Voss.
54. Solution analytique.
55. Transformations automorphes des formes singulières.
56. Transformations automorphes symétriques ou alternées d'une forme bilinéaire.
57. Détermination rationnelle des transformations automorphes non singulières d'une forme bilinéaire quelconque.
58. Remarques sur l'équation TS + T'S' = 0.
59. Résolution de l'équation TS + T'S' = 0.
60. Déterminant des formes T linéairement distinctes.
61. Cas singulier.
62. Détermination des transformations automorphes de S quand le déterminant n'est pas nul.
63. Nombre des paramètres de la transformation automorphe la plus générale.
64. Formes semblables et formes permutables.

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

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