MOLK : ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES, I-3, Théorie des nombres, 1906-1915


MOLK : ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES, I-3, Théorie des nombres, 1906-1915

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ENCYKLOPÄDIE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN

ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES 

publiée sous les auspices des Académies des Sciences de Gœttingue, de Leipzig,
de Munich et de Vienne, avec la collaboration de nombreux savants. 

Édition française rédigée et publiée d'après l'édition allemande
sous la direction de Jules MOLK, Professeur à l'Université de Nancy.

Tome I  
ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE

Volume 3
Théorie des nombres


Rédigé dans l'édition allemande sous la direction de François MEYER

Paris, Gauthier-Villars
Leipzig, B.G. Teubner

1906-1915

 

Directeurs :
Jules MOLK
François MEYER

Articles par :
Paul BACHMANN
Edmond MAILLET
Karl Theodor VAHLEN
Eugène CAHEN
Jacques HADAMARD
David HILBERT
Henry VOGT
Heinrich WEBER

Série :
Molk - Encyclopédie

Thèmes :
HISTOIRE DES SCIENCES
MATHÉMATIQUES
Théorie des nombres

Reprint 1991
24,5 x 18 cm, oblong
248 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-102-6


La publication de l'édition française a été définitivement interrompue en 1916 en raison de la guerre.

Ce reprint a été réalisé avec des volumes obligeamment prêtés par les Bibliothèques de l'École Normale Supérieure, de l'École Polytechnique et du Conservatoire National des Arts et Métiers.


AVIS
Cette Encyclopédie est un exposé concis, mais aussi complet que possible, de l'état actuel des diverses branches de la Science mathématique ;
les auteurs ont, plus spécialement, cherché à faire connaître le développement de cette science depuis le commencement du 19e siècle.
Les indications bibliographiques, nombreuses, révisées avec soin, permettent au lecteur de se reporter aux sources et de lire les travaux originaux dont on n'a donné qu'un aperçu. On ne donnera pas, en effet, les démonstrations, mais on insistera sur les définitions et sur l'enchaînement des théories.
L'édition française de l'Encyclopédie est divisée en sept Tomes*, qui paraissent par livraisons.
Dans l'édition française, on a cherché à reproduire dans leurs traits essentiels les articles de l'édition allemande dans le mode d'exposition adopté, on a cependant largement tenu compte des traditions et des habitudes françaises.
Cette édition française offre un caractère tout particulier par la collaboration de mathématiciens allemands et français. L'auteur de chaque article de l'édition allemande a, en effet, indiqué les modifications qu'il jugeait convenable d'introduire dans son article et, d'autre part, la rédaction française de chaque article a donné lieu à un échange de vues auquel ont pris part tous les intéressés ; les additions dues plus particulièrement aux collaborateurs français sont mises entre deux astérisques.
Une Tribune publique annexée à l'édition française de l'Encyclopédie permet à chaque lecteur de contribuer à combler les lacunes que cette édition pourrait encore présenter. 
Il serait superflu d'insister davantage sur l'intérêt que présente l'Encyclopédie. Cet ouvrage a sa place marquée dans toutes les bibliothèques scientifiques. 
Jules MOLK

* Le Tome VIII : Table des matières - Tribune publique, a été réalisé par les Éditions Jacques Gabay en 1995.

S O M M A I R E

I - 15

PROPOSITIONS ÉLÉMENTAIRES DE LA THÉORIE DES NOMBRES
P. Bachmann - E. Maillet

Divisibilité.
1.Décomposition en facteurs.
2.Fonctions arithmétiques élémentaires.
3. Divisibilité par un nombre donné.
4. Algorithme d'Euclide.
5. Suites de Farey. Nombres de Farey.

Congruences.
6.Résidus et congruences.
7. Théorèmes de Fermat et de Wilson. Généralisations.
8. Racines primitives suivant un module premier p.
9. Congruences binômes.
10. Racines primitives selon un module non premier m.
11. Congruences et équations indéterminées du premier degré.
12. Fractions partielles. Fractions décimales périodiques.

Résidus quadratiques.
13. Congruences du second degré.
14. Loi de réciprocité des résidus quadratiques. Relations complémentaires.
15. Loi de réciprocité généralisée.
16. Démonstration de la loi de réciprocité.
17. Propriétés des résidus quadratiques.

Équations indéterminées de degré > 1.
18. Équations quadratiques indéterminées.
19. Équations cubiques indéterminées.
20. Équations biquadratiques indéterminées.
21. Équations de degrés supérieurs.

Congruences de degré > 1.
22. Congruences quadratiques.
23. Congruences de degré supérieur.
24. Imaginaires de Galois.

Problèmes divers sur les nombres naturels.
25. Détermination des nombres premiers.
26. Décomposition des grands nombres en facteurs.
27. Nombres parfaits.
28. Nombres aliquotaires.
29. Nombres amiables.
30. Somme des puissances des m premiers nombres naturels.

Figures magiques.
31. Carrés magiques.
32. Carrés magiques à enceintes.
33. Carrés diaboliques.
34. Autres carrés magiques.
35. Figures magiques quelconques.
36. Carrés d'Euler.


I - 16
THÉORIE ARITHMÉTIQUE DES FORMES
K. Th. Vahlen - E. Cahen

1. Préliminaires

Formes linéaires et bilinéaires.
2. Forme linéaire à coefficients entiers.
3. Équation indéterminée à coefficients entiers.
4. Système de formes linéaires.
5. Système d'équations linéaires.
6. Forme bilinéaire et équation bilinéaire indéterminée, à coefficients entiers.
7. Systèmes de congruences linéaires.
8. Compléments.
9. Formes linéaires à coefficients non entiers.
10. Systèmes de formes linéaires à coefficients non entiers.
11. Systèmes d'équations linéaires à coefficients non entiers.
12. Compléments sur les formes bilinéaires.

Formes quadratiques binaires.
13. Généralités.
14. Formes proprement équivalentes.
15. Substitution automorphe d'une forme quadratique binaire.
16. Résolution de l'équation de Fermat.
17. Formes improprement équivalentes.
18. Représentations géométriques de la réduction des formes quadratiques.
19. Représentations géométriques de Klein.
20. Autre représentation géométrique de Klein.
21. Représentation d'un nombre.
22. Nombre des classes ayant un déterminant donné.
23. Composition des formes.
24. Représentation géométrique de la composition de classes.
25. Genre des classes.
26. Formes de Lejeune Dirichlet.
27. Formes bilinéaires de Kronecker.
28. Formes d'Hermite.
29. Représentations géométriques de formes d'Hermite et de Lejeune Dirichlet.
30. Application à la décomposition d'un nombre naturel en facteurs premiers.
31. Systèmes de formes binaires quadratiques.

Formes quadratiques ternaires.
32. Généralités. Équivalence.
33. Généralisation de la représentation d'un nombre par une forme.
34. Réduction des formes ternaires.
35. Transformation d'une forme quadratique ternaire en une forme équivalente.
36. Nombres et formes binaires quadratiques représentables par une forme ternaire quadratique.
37. Décomposition d'un nombre en une somme de trois carrés.
38. Genre.
39. Mesure.
40. Formes annulables.
41. Formes quadratiques ternaires à coefficients complexes.

Formes quadratiques de n variables.
42. Généralités. Équivalence.
43. Réduction des formes quadratiques à n variables.
44. Transformation d'une forme quadratique en elle-même.
45. Représentation par une forme quadratique quelconque.
46. Ordre, genre et mesure d'une forme quadratique à n variables.
47. Application à la résolution des congruences.
48. Formes quaternaires. Recherches diverses sur les formes de n variables.
49. Minimé d'une forme quadratique de discriminant donné.
Formes diverses.
50. Formes binaires cubiques.
51. Formes binaires de degré quelconque.
52. Formes qui proviennent de la division du cercle.
53. Formes décomposables en facteurs linéaires.
54. Autres formes.
55. Représentation par les formes diverses.


I - 17
PROPOSITIONS TRANSCENDANTES DE LA THÉORIE DES NOMBRES
P. Bachmann - J. Hadamard - E. Maillet

Introduction.
1. Préliminaires.

Partition des nombres.
2. Théorèmes d'Euler .
3. Théorèmes similaires.
4. Formules d'Euler et de Zeller.
5. Formules d'Halphen et de Glaisher.
6. Point de vue de la théorie des combinaisons.
7. Recherches de Sylvester.
8. Partitions et compositions. Recherches de Mac Mahon.

Propriétés des fonctions de la théorie des nombres. Somme de Gauss.
9. Fonctions arithmétiques.
10. Fonctions arithmétiques (suite).
11. Identités fondamentales.
12. Relations de Liouville.
13. Formules de Bugajev. Inversion.
14. Recherches diverses sur les fonctions sommatoires.
15. Fonctions sommatoires (suite).
16. Sommes de Gauss.

Séries et méthodes de Lejeune Dirichlet.
17. L'identité d'Euler.
18. Propriétés fondamentales des séries de Lejeune Dirichlet.
19. Autres propriétés des séries de Lejeune Dirichlet.
20. La fonction de Riemann.
21. Lien des fonctions arithmétiques usuelles avec la fonction de Riemann.
22. Propriétés de la fonction de Riemann démontrées par Riemann. Extension de sa définition à tout le plan.
23. Propriétés de la fonction de Riemann (suite).
24. Propriétés non démontrées par Riemann.
25. Intervention de la théorie des fonctions entières.
26. La réalité des zéros de la fonction paire de Riemann.
27. Limite supérieure de la fonction de Riemann.
28. Séries analogues à la fonction de Riemann.
29. Séries de Lejeune Dirichlet proprement dites.
30. Applications aux progressions arithmétiques.
31. Extension des propriétés de la fonction de Riemann aux séries précédentes.
32. Étude analytique des formes quadratiques.
33. Expression fondamentale du nombre de classes des formes quadratiques.
34. Transformation de cette expression.
35. Relations diverses auxquelles satisfont les résultats obtenus.
36. Le théorème de Lejeune Dirichlet pour les formes quadratiques.
37. Séries de la théorie des idéaux.
38. Une série de Kronecker.

Distribution asymptotique des nombres premiers.
39. Nombre de nombres premiers.
40. Résultats de Tchebichev. Le logarithme intégral.
41. Aperçu sur la méthode de Tchebichev. La fonction arithmétique.
42. Introduction de la fonction de Riemann.
43. Démonstration rigoureuse de la formule de Riemann.
44. Valeur de cette formule. Calcul de F(x).
45. Autres expressions analytiques de F(x).
46. Le théorème des nombres premiers.
47. Précisions des évaluations obtenues.
48. Extension aux nombres premiers représentables par des formes déterminées.
49. Extension aux idéaux premiers.
50. L'écart entre les nombres premiers et le nième nombre premier.
51. Sommes étendues aux nombres premiers.
52. Nombres composés d'un nombre donné de facteurs premiers. Problème de Lehmer.

Autres valeurs asymptotiques.
53. Valeurs asymptotiques déduites de considérations géométriques.
54. Valeurs moyennes et médianes.
55. Valeurs relatives aux fonctions arithmétiques.
56. Le nombre et la somme des diviseurs de n.
57. Conséquences relatives aux valeurs de x.
58. Autres fonctions des diviseurs de n.
59. L'indicateur de n et les diviseurs communs à deux nombres.
60. Résultats divers.

Caractères arithmétiques des nombres irrationnels.
58'. Caractéristiques des nombres irrationnels.
59'. Caractères des nombres algébriques.
60'. Les nombres transcendants.
61. Recherches d'Hermite.
62. Recherches de Lindemann.
63. Simplifications apportées aux démonstrations d' Hermite et de Lindemann.
64. Nombres transcendants en général.
65. Nombres transcendants de J. Liouville et nombres analogues.
66. Fonctions génératrices de nombres rationnels, algébriques, transcendants.
67. Irréductibilité des fonctions entières à coefficients rationnels.


I - 18
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGÉBRIQUES
D. Hilbert - H. Vogt

Théories générales.
1. Rappel de définitions.
2. Nombres algébriques entiers. Base et discriminant d'un corps.
3. Unités.
4. Modules.
5. Idéaux de Dedekind. Leur divisibilité.
6. Théories de Kronecker, de Hilbert, de Weber et de König.
7. Norme d'un idéal. Congruence suivant un idéal.
8. Généralisation du théorème de Fermat.
9. Systèmes modulaires.
10. Diviseurs du discriminant d'un corps.
11. Classes d'idéaux d'un corps.
12. Détermination transcendante du nombre de classes.
13. Ordre ou anneau.

Application à des corps particuliers.
14. Corps de Galois et corps abélien.
15. Corps de décomposition, corps d'inertie et corps de ramification d'un idéal premier dans un corps de Galois.
16. Corps cycliques relatifs de degré relatif premier.
17. Corps de classes d'un corps fini quelconque.
18. Corps quadratiques.
19. Corps quadratiques et abéliens relatifs.

Corps de la division du cercle.
20. Cas d'un exposant premier.
21. Périodes. Résolvante de Lagrange. Sommes de Gauss.
22. Idéaux du corps de la division du cercle.
23. Cas d'un exposant quelconque. Indices. Corps et sous-corps.
24. Périodes. Résolvantes.
25. Unités. Idéaux .
26. Généralisation des fonctions résolvantes.
27. Détermination transcendante du nombre de classes d'idéaux.
28. Applications à la théorie des formes quadratiques.
29. Application aux lois de réciprocité pour les résidus quadratiques.
30. Nombres complexes de la forme a + bi. Lois de réciprocité pour les résidus quadratiques.
31. Nombres complexes (suite). Lois de réciprocité pour les résidus cubiques.
32. Lois de réciprocité pour les résidus de puissance supérieure.
33. Lois de réciprocité pour les résidus quadratiques dans un corps quelconque.
34. Lois de réciprocité pour les résidus biquadratiques dans un corps quelconque.

Corps de Kummer.
35. Idéaux du corps de Kummer.
36. Résidus et non résidus de norme dans le corps de Kummer.
37. Corps réguliers de Kummer. Genres dans les corps réguliers.
38. Applications aux lois de réciprocité pour les résidus de puissances pièmes.
39. Le théorème de Fermat.


I - 19
MULTIPLICATION COMPLEXE *
H. Weber - E. Cahen

1. Introduction historique.
2. Multiplication complexe et formes quadratiques.

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

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