MOLK : ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES, II-4, Équations aux dérivées partielles, 1913-1916


MOLK : ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES, II-4, Équations aux dérivées partielles, 1913-1916

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ENCYKLOPÄDIE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN

ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES 

publiée sous les auspices des Académies des Sciences de Gœttingue, de Leipzig,
de Munich et de Vienne, avec la collaboration de nombreux savants. 

Édition française rédigée et publiée d'après l'édition allemande
sous la direction de Jules MOLK, Professeur à l'Université de Nancy.

Tome II
ANALYSE

Volume 4  
Équations aux dérivées partielles

Rédigé dans l'édition allemande sous la direction de H. BURKHARDT, W. WIRTINGER et Robert FRICKE

Paris, Gauthier-Villars
Leipzig, B.G. Teubner

1913-1916

Directeurs :
Jules MOLK
Heinrich BURKHARDT

Wilhelm WIRTINGER
Robert FRICKE

Articles par :
Eduard von WEBER
Gaston FLOQUET
Édouard GOURSAT
Heinrich BURKHARDT
Ludwig MAURER
Ernest VESSIOT

Série :
Molk - Encyclopédie

Thèmes :
HISTOIRE DES SCIENCES
MATHÉMATIQUES
Analyse

Reprint 1991
24,5 x 18 cm, oblong
128 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-107-8

La publication de l'édition française a été définitivement interrompue en 1916 en raison de la guerre.

Ce reprint a été réalisé avec des volumes obligeamment prêtés par les Bibliothèques de l'École Normale Supérieure, de l'École Polytechnique et du Conservatoire National des Arts et Métiers.

AVIS
Cette Encyclopédie est un exposé concis, mais aussi complet que possible, de l'état actuel des diverses branches de la Science mathématique ; les auteurs ont, plus spécialement, cherché à faire connaître le développement de cette science depuis le commencement du 19e siècle.
Les indications bibliographiques, nombreuses, révisées avec soin, permettent au lecteur de se reporter aux sources et de lire les travaux originaux dont on n'a donné qu'un aperçu. On ne donnera pas, en effet, les démonstrations, mais on insistera sur les définitions et sur l'enchaînement des théories.
L'édition française de l'Encyclopédie est divisée en sept Tomes*, qui paraissent par livraisons.
Dans l'édition française, on a cherché à reproduire dans leurs traits essentiels les articles de l'édition allemande dans le mode d'exposition adopté, on a cependant largement tenu compte des traditions et des habitudes françaises.
Cette édition française offre un caractère tout particulier par la collaboration de mathématiciens allemands et français. L'auteur de chaque article de l'édition allemande a, en effet, indiqué les modifications qu'il jugeait convenable d'introduire dans son article et, d'autre part, la rédaction française de chaque article a donné lieu à un échange de vues auquel ont pris part tous les intéressés ; les additions dues plus particulièrement aux collaborateurs français sont mises entre deux astérisques.
Une Tribune publique annexée à l'édition française de l'Encyclopédie permet à chaque lecteur de contribuer à combler les lacunes que cette édition pourrait encore présenter.
Il serait superflu d'insister davantage sur l'intérêt que présente l'Encyclopédie. Cet ouvrage a sa place marquée dans toutes les bibliothèques scientifiques.
Jules MOLK

* Le Tome VIII : Table des matières - Tribune publique, a été réalisé par les Éditions Jacques Gabay en 1995.

S O M M A I R E

II - 21
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SYSTÉMES D'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES.
ÉQUATIONS LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE.
E. von Weber - G. Floquet

Propriétes générales des systèmes d'équations aux dérivées partielles.
1. Définitions.
2. Existence des solutions.
3. Système de Mayer.
4. Intégrale générale.
5. Intégrales singulières.
6. Intégrales intermédiaires.
7. Intégrales complètes.
8. Différentes formes du système différentiel le plus général.
9. Généralisation, due à Lie, de la notion d'intégrale.
10. Transformations des systèmes différentiels.

Équations linéaires du premier ordre à une inconnue.
11. Équations linéaires et homogènes. Équations linéaires à second membre.
12. Multiplicateur de Jacobi.
13. Systèmes complets.
14. Systèmes d'équations aux différentielles totales.
15. Méthode d'intégration de Jacobi.
16. Intégrales principales.
17. Transformation de Lie-Mayer.

Problème de Pfaff.
18. Historique; méthode de réduction de Pfaff.
19. Méthode de Grassmann. Théorème fondamental.
20. Équivalents intégraux; la forme normale la plus générale.
21. Transformation d'une expression de Pfaff.
22. Méthode de réduction de Clebsch et Lie.
23. Méthode de Frobenius.
24. Théorie des transformations de contact considérée comme cas particulier de la théorie du problème de Pfaff.
25. L'identité de Jacobi et l'identité de Mayer.
26. Généralisation de la théorie de Frobenius.
27. Rapports entre les expressions de Pfaff et les transformations infinitésimales.

II - 22
ÉQUATIONS NON LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE. ÉQUATIONS D'ORDRE PLUS GRAND QUE UN.
E. von Weber - É. Goursat

Équations non linéaires du premier ordre.
1. Méthodes de Lagrange et de Pfaff. Variation des constantes.
2. Méthode de Cauchy.
3. Première méthode de Jacobi.
4. Théorie de Hamilton-Jacobi.
5. Équations à trois variables. Courbes caractéristiques.
6. Intégrales singulières.
7. Bandes caractéristiques. Représentation et classification des équations aux dérivées partielles du premier ordre.
8. Application du principe des ondes.
9. Coordonnées homogènes.
10. Seconde méthode de Jacobi.
11. Généralisation, d'après Lie, de la seconde méthode de Jacobi.
12. Systèmes en involution.
13. Systèmes en involution de forme spéciale.
14. Groupe de fonctions.
15. Application de la théorie des groupes.
16. Théorie de Bäcklund.

Équations du second ordre à deux variables indépendantes.
17. Classification des équations aux dérivées partielles du second ordre, d'après leurs caractéristiques du premier ordre.
18. Intégrales premières dune équation aux dérivées partielles du second ordre.
19. Les caractéristiques d'ordre supérieur d'une équation aux dérivées partielles du second ordre.
20. Les caractéristiques des équations aux dérivées partielles d'ordre n.
21. Systèmes formés par deux équations aux dérivées partielles du second ordre.
22. Systèmes de Darboux; systèmes en involution.
23. Méthode d'intégration de Darboux-Lévy et ses généralisations.
24. Équations linéaires. La méthode de Laplace et ses généralisations.
25. Systèmes d'équations du premier ordre à plusieurs inconnues.
26. Transformations de Bäcklund.
27. Application de la théorie des groupes aux équations aux dérivées partielles.

Équations aux dérivées partielles à plus de deux variables indépendantes.
28. Les caractéristiques d'une équation aux dérivées partielles d'ordre n.
29. Systèmes en involution à une inconnue.
30. Généralisation de la théorie de Monge-Ampère.
31. Système linéaires du premier ordre à n inconnues.
32. Systémes non linéaires du premier ordre. Systèmes normaux.
33. Systèmes d'équations de Pfaff. Invariants.
34. Systèmes d'équations de Pfaff. Multiplicités intégrales.

II - 23
GROUPES DE TRANSFORMATIONS CONTINUS. *
H. Burkhardt - L. Maurer - E. Vessiot

Introduction : Notions générales.
1. La notion de transformation.
2. Calcul symbolique des transformations.
3. La notion d'invariance. Extension des transformations.
4. Invariants.
5. Transformations prolongées.
6. Systèmes différentiels invariants. Invariants différentiels.
7. Invariants intégraux.
8. Notions relatives aux groupes de transformations.
9. La notion d'équivalence et celles qui en dérivent.
10. La notion de structure.
11. Aperçu historique.

Groupes continus finis et transformations infinitésimales.
12. Équations générales d'un groupe. Groupes paramétriques.
13. Définition d'un groupe par ses équations différentielles fondamentales.
14. Groupes contenant la transformation identique.
15. Groupes à un paramètre et transformations infinitésimales.
16. Génération d'un groupe d'ordre r par r transformations infinitésimales.
17. Le premier théorème fondamental. Les transformations infinitésimales des groupes paramétriques.
18. Le second théorème fondamental. Les groupes de transformations infinitésimales.
19. Détermination des groupes paramétriques canoniques.
20. Les constantes de structure. Le troisième théorème fondamental.
21. Groupes mixtes.

Questions relatives à l'équivalence par rapport à un groupe continu fini donné des points, des multiplicités et des fonctions.
22. Transitivité. Invariants.
23. Classification des points. Multiplicités invariantes.
24. Équivalence des systèmes de points. Invariants des systèmes de points.
25. Sous-groupes d'un point. Groupes systatiques et asystatiques.
26. Équivalence des multiplicités. Invariants différentiels. Équations différentielles invariantes. Invariants intégraux.
27. Prolongement des transformations infinitésimales.
28. Familles invariantes de multiplicités.
29. Familles invariantes de fonctions. Application à la théorie des formes.
30. Primitivité et imprimitivité.

Les sous-groupes continus finis et leur équivalence.
31. Transformée d'une transformation infinitésimale par les transformations d'un groupe à un paramètre.
32. Échange des transformations d'un groupe par une transformation qui le laisse invariant: cas où cette transformation fait partie d'un groupe.
33. Groupe adjoint. Équivalence des transformations, finies et infinitésimales.

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

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