MOLK : ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES, II-6, Calcul des variations. Compléments, 1913-1916


MOLK : ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES, II-6, Calcul des variations. Compléments, 1913-1916

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ENCYKLOPÄDIE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN

ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES 

publiée sous les auspices des Académies des Sciences de Gœttingue, de Leipzig,
de Munich et de Vienne, avec la collaboration de nombreux savants. 

Édition française rédigée et publiée d'après l'édition allemande
sous la direction de Jules MOLK, Professeur à l'Université de Nancy.

Tome II  
ANALYSE

Volume 6
Calcul des variations. Compléments

Rédigé dans l'édition allemande sous la direction de H. BURKHARDT et W. WIRTINGER

Paris, Gauthier-Villars
Leipzig, B.G. Teubner

1913-1916

Directeurs :
Jules MOLK
Heinrich BURKHARDT

Wilhelm WIRTINGER

Articles par :
Adolf KNESER
Ernest ZERMELO
Hans HAHN
Maurice LECAT

Série :
Molk - Encyclopédie

Thèmes :
HISTOIRE DES SCIENCES
MATHÉMATIQUES
Analyse

Reprint 1992
24,5 x 18 cm, oblong
152 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-109-2

La publication de l'édition française a été définitivement interrompue en 1916 en raison de la guerre.

Ce reprint a été réalisé avec des volumes obligeamment prêtés par les Bibliothèques de l'École Normale Supérieure, de l'École Polytechnique et du Conservatoire National des Arts et Métiers.

AVIS
Cette Encyclopédie est un exposé concis, mais aussi complet que possible, de l'état actuel des diverses branches de la Science mathématique ; les auteurs ont, plus spécialement, cherché à faire connaître le développement de cette science depuis le commencement du 19e siècle.
Les indications bibliographiques, nombreuses, révisées avec soin, permettent au lecteur de se reporter aux sources et de lire les travaux originaux dont on n'a donné qu'un aperçu. On ne donnera pas, en effet, les démonstrations, mais on insistera sur les définitions et sur l'enchaînement des théories.
L'édition française de l'Encyclopédie est divisée en sept Tomes*, qui paraissent par livraisons.
Dans l'édition française, on a cherché à reproduire dans leurs traits essentiels les articles de l'édition allemande dans le mode d'exposition adopté, on a cependant largement tenu compte des traditions et des habitudes françaises.
Cette édition française offre un caractère tout particulier par la collaboration de mathématiciens allemands et français. L'auteur de chaque article de l'édition allemande a, en effet, indiqué les modifications qu'il jugeait convenable d'introduire dans son article et, d'autre part, la rédaction française de chaque article a donné lieu à un échange de vues auquel ont pris part tous les intéressés ; les additions dues plus particulièrement aux collaborateurs français sont mises entre deux astérisques.
Une Tribune publique annexée à l'édition française de l'Encyclopédie permet à chaque lecteur de contribuer à combler les lacunes que cette édition pourrait encore présenter.
Il serait superflu d'insister davantage sur l'intérêt que présente l'Encyclopédie. Cet ouvrage a sa place marquée dans toutes les bibliothèques scientifiques.
Jules MOLK

* Le Tome VIII : Table des matières - Tribune publique, a été réalisé par les Éditions Jacques Gabay en 1995.

S O M M A I R E

II - 31
CALCUL DES VARIATIONS
A. Kneser - E. Zermelo - H. Hahn - M. Lecat

Position de la question.
1. Objet du calcul des variations.
2. Problèmes fondamentaux.
3. Aperçu historique.
4. Extrémé en un point ; extrémé dans un intervalle ; extrémé faible ; extrémé fort. 

La variation première et les conditions de premier ordre de l'extrémé libre.
5. Considérations infinitésimales d'Euler.
6. Introduction des variations par Lagrange.
7. Formule fondamentale d'Euler.
8. Variation spéciale résultant de l'introduction d'un paramètre variable.
9. Conditions du premier ordre.
10. Objection de P. du Bois-Reymond.
11. Intégrabilité.
12. Représentation paramétrique ; généralités. Équation d'Euler sous forme paramétrique. 

La variation seconde dans le problème de l'extrémé libre.
13. La variation seconde.
14. La condition de Legendre.
15. Transformations de Jacobi.
16. Autres transformations de Jacobi.
17. La condition de Jacobi.
18. Conditions de Legendre et de Jacobi pour Jp.
19. La variation seconde en représentation paramétrique. 

La méthode de Weierstrass et les conditions suffisantes de l'extrémé libre.
20. Critique de la méthode de Jacobi-Clebsch. Méthode Weirstrass-Scheeffer pour les conditions suffisantes de l'extrémé faible.
21. Champ d'extrémales.
22. La méthode fondamentale de Weierstrass.
23. Méthode de Hilbert.
24. Conditions de Weierstrass.
25. Conditions nécessaires. Conditions suffisantes.
26. Condition de Jacobi. Compléments.
27. Existence d'une extrémale passant par un point dans une direction donnée, ou joignant deux points.
28. Le théorème d'Osgood.
29. Méthode de Darboux-Kneser.
30. Généralisations de la théorie de Darboux-Kneser.
31. Invariants. 

Limites variables.
32. Premières recherches.
33. Un seul point extrême variable. Recherches récentes.
34. Deux limites variables. Recherches récentes.
35. Ligne d'intégration fermée.

Solutions discontinues.
36. La condition de Weierstrass-Erdmann. Famille d'extrémales brisées.
37. Points conjugués sur les extrêmales brisées.
38. Champ d'extrêmales brisées. Conditions suffisantes.
39. Problèmes de variations unilatérales.
40. Problèmes de variations discontinus.

Le problème isopérimétrique.
41. Condition du premier ordre. Règle d'Euler.
42. Conditions de Legendre et de Weierstrass.
43. Points conjugués. Condition de Jacobi.
44. Le théorème fondamental de Weierstrass et les conditions suffisantes dans le problème isopérimétrique.
45. Problème isopérimétrique avec une limite variable.
46. Solutions discontinues et autres recherches sur le problème isopérimétrique.

Le problème de Lagrange.
47. Position du problème.
48. La méthode des multiplicateurs. Cas particuliers.
49. La méthode des multiplicateurs et les conditions du premier ordre. Cas général.
50. Le problème de Mayer.
51. La variation seconde dans le problème de Lagrange.
52. Conditions de Clebsch. Conditions de Jacobi.
53. La condition de Weierstrass.
54. Théorie de Kneser sur les points conjugués.
55. Les conditions suffisantes dans le problème de Lagrange.
56. Limites variables. Théorème d'Osgood.

Intégrales doubles et multiples.
57. Généralités.
58. La variation première et l'équation différentielle de Lagrange.
59. Représentation paramétrique. Invariants.
60. Limite variable.
61. La variation seconde. Conditions qui en résultent.
62. Conditions suffisantes pour extrêmer une intégrale double.
63. Le théorème d'Osgood.
64. Extrémés liés des intégrales doubles.

L'extrémé absolu. Théorèmes d'existence.
65. Généralités.
66. Théorème d'existence de Hilbert.
67. Problèmes de Dirichlet.
68. Théorème de Darboux.

Propriétés des équations du calcul des variations.
69. La méthode de Jacobi-Hamilton.
70. Les équations canoniques de Hamilton-Volterra.
71. Invariants intégraux et autres invariants du calcul des variations.
72. Autres recherches sur les équations du calcul des variations.

Le problème inverse.
73. Le problème inverse pour les équations différentielles du second ordre.
74. Le problème inverse pour les équations différentielles d'ordre supérieur au second.
75. Le problème inverse pour les intégrales doubles ou multiples.

Applications du calcul des variations.
76. Généralités.
77. Applications analytiques ; équations différentielles, aux dérivées partielles, équations intégrales, équations intégro-différentielles.
78. Lignes géodésiques.
79. Surfaces minimées.
80. La plus petite surface de révolution.
81. Les problèmes isopérimétriques.
82. Problème de Newton et questions analogues. Surfaces propulsives.
83. Solides de plus grande attraction. Moments d'inertie.
84. Brachistochrones.
85. Applications à la statique.
86. Conditions d'existence du potentiel cinétique.
87. Applications à la dynamique. L'action. Principes de Maupertuis, de Hamilton.
88. Variation seconde de l'action.
89. Applications à l'optique.

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