Nicolas LUSIN

LEÇONS

SUR

LES ENSEMBLES ANALYTIQUES

ET LEURS APPLICATIONS

Avec une Note de Waclaw Sierpinski
Préface de Henri Lebesgue

Paris, Gauthier-Villars
1930

[suivi de :]

Henri LEBESGUE

SUR LES FONCTIONS

REPRÉSENTABLES ANALYTIQUEMENT

Journal de Mathématiques pures et appliquées
6^e série, tome I, fasc. II, 1905

Auteurs :
Nicolas LUSIN
Henri LEBESGUE

Préface :
Henri LEBESGUE

Note :
Waclaw SIERPINSKI

Thème :
MATHÉMATIQUES
Topologie. Mesure. Intégration

Reprint 1996
16 x 24 cm
432 p.
Broché
2 titres en 1 volume
ISBN : 978-2-87647-125-2


S O M M A I R E

Nicolas LUSIN
LECONS SUR LES ENSEMBLES ANALYTIQUES ET LEURS APPLICATIONS

I - Notions générales sur les ensembles mesurables B.
- Domaine. Portions. La classe initiale.
- Opérations sur les ensembles.
- La notation algébrique.
- Notion d'ensemble mesurable B. Les idées d'Émile Borel.
- Transformation de la définition d'ensemble mesurable B.
II - Recherches sur la structure des ensembles mesurables B.
- Classification des ensembles mesurables B.
- L'accessibilité.
- Structure des classes.
- Séparabilité.
- Premiers renseignements sur la structure d'un ensemble de points de classe donnée.
- Les ensembles de classes 0 et 1. Recherches de René Baire.
- Existence constructive d'ensembles des classes 1, 2, 3 et 4.
- Notion, due à Arnaud Denjoy, d'ensemble clairsemé.
- Le procédé de Baire dans les classes supérieures.
- Les sous-classes, leur existence.
III - Les ensembles analytiques.
- Définitions et premières propriétés.
- Projections.
- Propriétés des ensembles analytiques.
- Premier principe des ensembles analytiques. Séparabilité B.
- Étude des représentations régulières et semi-régulières des ensembles analytiques.
- Cribles. Le crible binaire de Henri Lebesgue.
- Deuxième principe des ensembles analytiques. Séparabilité (CA).
IV - Fonctions implicites.
- Généralités sur les fonctions implicites.
- Étude des fonctions implicites uniformes. Les recherches de Henri Lebesgue.
- Étude des fonctions implicites multiformes à une infinité dénombrable des valeurs.
- Étude du cas général des fonctions implicites.
V - Les ensembles projectifs.
- Définition d'ensemble projectif, sa transformation.
- Premières propriétés des ensembles projectifs.
- Le théorème de S. Mazurkiewicz; généralisation due à Waclaw Sierpinski.
- Existence des ensembles projectifs de toute classe et de toute espèce. Les ensembles universels.
- Les résolvantes, leur critique au point de vue d'Émile Borel.

Analyse du Mémoire de Henri Lebesgue : Sur les fonctions représentables analytiquement.
- Préliminaires.
- Notion d'ensembles accessibles, leur rôle dans la formation d'ensembles chez Henri Lebesgue.
- La continuité (α).
- Méthode descriptive pour déterminer les ensembles de classes finies.
- Méthode pour démontrer l'existence des fonctions de toute classe.
- Méthode pour nommer une fonction qui échappe à tout mode de représentation analytique.
- Analyse de la fonction nommée par Henri Lebesgue.
- Expression analytique.

Note de Waclaw Sierpinski : Sur la séparabilité des ensembles au moyen des ensembles projectifs

Henri LEBESGUE
SUR LES FONCTIONS REPRÉSENTABLES ANALYTIQUEMENT

- Introduction.
- Définitions.
- Opérations effectuées sur des fonctions de classe α.
- Classification des ensembles mesurables B.
- Étude, sur certains ensembles de points, des fonctions de classe donnée.
- Étude en certains points des fonctions de classe donnée.
- Relations entre différentes familles de fonctions.
- Exemples de fonctions.