D. P. PARENT

EXERCICES

DE

THÉORIE DES NOMBRES

Préface de Charles Pisot

Paris, Gauthier-Villars
1978

Auteurs :
D. P. PARENT, nom collectif de

Daniel BARSKY
Françoise BERTRANDIAS
Gilles CHRISTOL
Annette DECOMPS
Hubert DELANGE
Jean-Marc DESHOUILLERS
Khyra GÉRARDIN
Jean LAGRANGE
Jean-Louis NICOLAS
Martine PATHIAUX
Gérard RAUZY
Michel WALDSCHMIDT

Préface :
Charles PISOT

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Théorie des nombres
Problèmes

Reprint 1999
17 x 24 cm
320 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-139-9
 

S O M M A I R E

1 - Nombres premiers, fonctions arithmétiques, crible de Selberg.
- Nombres premiers.
- Un lemme souvent utile.
- Notion de fonction arithmétique. Fonctions arithmétiques usuelles.
- Fonctions additives et fonctions multiplicatives.
- Structure d'algèbre sur l'ensemble des fonctions arithmétiques.
- Première formule d'inversion de Möbius.
- Fonctions arithmétiques comme opérateurs sur un espace vectoriel.
- Deuxième formule d'inversion de Möbius.
- Fonction sommatoire d'une fonction arithmétique.
- Produits euleriens.
- Fonction génératrice d'une fonction arithmétique.
- Théorème de Ikehara.
- Le crible de A. Selberg.

2 - Théorie additive.
- Définitions.
- Résultats.

3 - Séries rationnelles.
- Caractérisations. Déterminants de Hankel. Déterminants de Kronecker.

4 - Théorie algébrique.
Extensions de corps :
- Extension finie, extension algébrique.
- Polynôme irréductible d'un élément algébrique.
- Corps de décomposition. Clôture algébrique.
- Corps conjugués.
- Norme, trace, polynôme caractéristique.
Théorie de Galois :
- Extension galoisienne.
- Théorème fondamental de la théorie de Galois.
- Extensions de corps finis.
- Norme et trace.
Entiers :
- Élément entier sur un anneau.
- Entiers algébriques. Exemple des corps quadratiques.
- Discriminant.
Idéaux :
- Anneaux de Dedekind.
- Idéaux d'un anneau de Dedekind.
- Décomposition des idéaux premiers dans une extension.
- Décomposition dans une extension galoisienne.
- Exemple : décomposition dans un corps quadratique.
Classes d'idéaux et unités des corps de nombres algébriques :
- Les entiers r₁ et r₂.
- Classes d'idéaux de B.
- Les unités de K.

5 - Répartition modulo 1.
- Discrépance. Équirépartition.
- Critères d'équirépartition modulo 1.
- Suites particulières.
- Suites de croissance supérieure à une croissance polynômiale.
- Construction de suites à partir de suites données.
- Théorème ergodique.

6 - Nombres transcendants.
- Notations.
- Théorème d'Hermite-Lindemann.
- Théorème de Gel'fond-Schneider.
- Théorème de Baker.

7 - Congruence modulo p, formes modulaires.
Formes modulaires.
- Sous-groupes du groupe modulaire.

8 - Formes quadratiques.
- Notations.
- Propriétés.
- Théorème de Minkowski-Hasse..

9 - Fractions continues.
- Définition.
- Calcul des réduites.
- Formules.
- Critère de Lagrange.

10 - Analyse p-adique.
- Propositions.
- Lemme de Hensel.
- Critère d'Eisenstein.