Paul DU BOIS-REYMOND

THÉORIE GÉNÉRALE

DES FONCTIONS

PREMIÈRE PARTIE
(seule parue)

Métaphysique
et Théorie des Concepts mathématiques fondamentaux
Grandeur, Limite, Argument et Fonction

Titre original
DIE ALLGEMEINE FUNKTIONENTHEORIE
1882

Traduit par G. Milhaud et A. Girot

Inprimerie Niçoise
1887

Auteur :
Paul DU BOIS-REYMOND

Préface :
Gaston MILHAUD

Traduction :
Gaston MILHAUD
A. GIROT

Thème :
MATHÉMATIQUE
Analyse

Reprint 1995
24,5 x 18 cm, oblong
120 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-158-0


S O M M A I R E

Des concepts de grandeur et de limite.
- Remarques préliminaires et énonciation la plus simple du problème principal.
- Des principes et méthodes de l'analyse où le concept de limite forme l'hypothèse essentielle.
- Vue rapide sur la recherche qui va suivre.

Des grandeurs ou quantités mathématiques.
- Quantités mathématiques discontinues.
- Éclaircissements sur la formation du concept.
- Des quantités mathématiques continues.
- Caractères communs aux quantités déjà citées et aux quantités géométriques.
- Introduction du concept de quantité linéaire.
- Ce qui peut se graduer suivant l'étendue où l'intensité appartient aux quantités linéaires.
- Les quantités du monde extérieur.
- Les quantités du monde de la perception interne. Sensations graduées suivant l'intensité.
- Suites de sensations non graduées suivant l'intensité qui sont bien des quantités mathématiques mais non pas linéaires.
- Les dispositions de l'âme en tant qu'elles peuvent être saisies comme quantités mathématiques sont certainement linéaires.
- Les quantités qui apparaissent dans les mathématiques elles-mêmes sont en partie non linéaire.
- Enfin il apparaît dans les relations humaines des quantités mathématiques qui n'ont rien de commun avec celles citées jusqu'ici.
- Tout ce qui précède montre que nous avons surtout à étudier avec le plus de rigueur possible le concept de grandeur linéaire.
- Définition plus précise du concept de quantité linéaire.

Quantité, nombre et formalisme littéral.
- L'unité et le un.
- Des nombres en tant que signes et quantités, et du formalisme.
- Comment il faut entendre en définitive le problème qui a pour objet le concept de limite.

Les deux conceptions Idéaliste et Empiriste de la limite et de la grandeur.
Système idéaliste.
- Concept de limite. L'existence de la limite a besoin d'une démonstration.
- Concept de limite. Des démonstrations de l'existence de la limite.
- L'objet des considérations précédentes va être complété au sens de l'Idéaliste.
- Des concepts de l'illimité et de l'Infini.
- L'Infiniment petit et ses principales propriétés.
- Le concept de limite et les nombres.
- Le zéro et l'infiniment petit.
- Quelques mots encore sur la terminologie de l'Idéaliste.
- Des différentes conceptions de l'infiniment petit en mathématiques.
- Rapide coup d'œil en arrière sur le système de l'Idéaliste.

Critique du Système de l'Idéaliste faite par l'Empiriste.
- De la fraction décimale illimitée qui se développe suivant une certaine loi, et de celle dont le développement n'a pas de loi.
- L'hypothèse fondamentale de l'Idéaliste est mise à nu.
- L'idée de la mesure exacte est soumise à la critique de l'Empiriste.
- L'existence de la mesure exacte est fondée par la théorie de l'Idéaliste.
- Sur le double concept des idéaux géométriques.
- Conclusion de la critique de l'Idéalisme.

Le système empiriste.
- Épuration du système de concepts.
- Application des principes empiristes aux représentations initiales de l'analyse. Remarques préliminaires.
- Représentations empiristes des images géométriques. Le concept de limite.
- La théorie empiriste dans les éléments de la haute analyse.
- L'argument de la variable indépendante.
- Les principes fondamentaux du calcul différentiel dans la théorie empiriste.
- Du calcul à l'aide des différentielles d'après la conception de l'Empiriste et celle de l'Idéaliste.
- Conception intermédiaire de la différentielle.
- Quelques remarques sur les fonctions anorthoïdes.
- Conclusion de l'Empiriste.

Considérations finales sur l'Idéalisme et Empirisme et sur le concept de limite.
- Rapport de l'opposition de l'Idéaliste et de l'Empiriste à l'idée qu'on s'est faite jusqu'ici des concepts analytiques fondamentaux.
- Le mode d'exposition neutre de la théorie des fonctions.
- Vue d'ensemble sur la suite de notre étude.
- Premier degré de développement du concept de limite.
- Le concept scientifique de limite.
- Des limites de suites discontinues et continues.
- Comparaison des limites des suites de valeurs discontinues. -

L'argument.
- Remarques préliminaires et vue générale.
- Partage de l'étendue d'argument.
- La première et la plus générale distinction entre les systèmes de points.
- Répartition des systèmes de points pantachiques.
- Les systèmes de points apantachiques.
- Des propriétés générales des ensembles illimités. Le concept de dénombrement.
- De la puissance relative des ensembles.
- Critique de la Théorie de l'Argument par l'Idéaliste et l'Empiriste.
- Remarques dernières sur l'argument de l'Idéaliste et de l'Empiriste, et sur la détermination du mode d'exposition neutre.
- Vue générale sur les ensembles de points.

La Fonction.
- Notions premières.
- Quelques exemples de fonctions.
- Valeurs de fonctions directes et indirectes.
- Du saut des fonctions.
- De la continuité des fonctions en un point particulier de l'argument.
- De la continuité des fonctions dans un intervalle.
- De la continuité anorthoïde.
- Construction numérique des valeurs de fonction hypothétiques.

Marche finale des fonctions.
- Principe général de convergence et de divergence et marche finale des fonctions dont l'argument croît indéfiniment.
- Principe général de convergence et de divergence. Remarque préliminaire.
- Principe général de convergence avec des propositions complémentaires.
- Limites d'indétermination.
- Principe général de divergence.
- Théorie des enveloppes d'indétermination.
- Marche finale à sens unique des fonctions et pantachie infinitaire.

Considérations finales sur la métaphysique des concepts analytiques fondamentaux.