LA VALLÉE POUSSIN : Intégrales de Lebesgue. Fonctions d'ensemble. Classes de Baire, 2e éd., 1934

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Charles-Jean de LA VALLÉE POUSSIN

INTÉGRALES DE LEBESGUE

FONCTIONS D'ENSEMBLE

CLASSES DE BAIRE

Leçons professées au Collège de France

Deuxième édition

Paris, Gauthier-Villars
1934

Auteur :
Charles-Jean de LA VALLÉE POUSSIN

Cours du Collège de France

Thème :
MATHÉMATIQUES
Topologie. Mesure. Intégration

Reprint 1995
24,5 x 18 cm, oblong
112 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-159-7

Extrait de la Préface de la première édition

Cet Ouvrage a été divisé en trois Parties.
Dans les deux premières, j'étudie les fonctions additives d'ensemble. J'appelle ainsi les fonctions dont la valeur sur une somme d'ensembles est la somme des valeurs sur chaque terme. Ces termes, deux à deux sans point commun, peuvent être en nombre infini. Je m'étais déjà occupé de ces fonctions dans mes Leçons de Harvard qui ont été partiellement publiées dans les Transactions of the American Mathematical Society, 1915. Mais ici je précise mieux les questions et j'introduis de nouvelles méthodes.
La notion générale de fonction additive d'ensemble est une des plus importantes que l'on doive à Henri Lebesgue (1910). Je me suis proposé dans ces Leçons de pousser aussi loin que possible l'analyse de l'additivité et de dégager les conséquences, singulièrement précises que cette propriété entraîne à elle seule pour la fonction.
La plus simple et la première connue des fonctions additives d'ensemble est la mesure. Émile Borel en a donné la définition dès 1898 et cette définition a été le point de départ de la théorie tout entière. C'est cette fonction que j'étudie, pour commencer, dans la première Partie. La mesure est une fonction, non négative, préalablement définie sur certains ensembles particuliers : les figures élémentaires. Pour obtenir sa définition sur les autres, posons-nous la question suivante : « Trouver tous les autres ensembles sur lesquels la mesure est définie, à partir des précédents, par la seule condition d'être additive. » Ce sont les ensembles mesurables.
On voit que la question de la mesure ainsi posée rentre dans un problème général assez complexe : « Une fonction étant donnée sur certains ensembles particuliers, tels les domaines élémentaires, existe-t-il une fonction additive d'ensemble qui coïncide avec la précédente sur les domaines ? » Cette question fondamentale est résolue dans la seconde Partie de ces Leçons. La conclusion permet de reconnaître qu'il y a complète équivalence entre les définitions d'une fonction d'ensemble additive et d'une fonction de point à variation bornée, sous la condition de continuité.
Parmi les fonctions additives d'ensemble, les plus importantes sont les fonctions absolument continues, qui se confondent avec les intégrales indéfinies de Lebesgue et dont Henri Lebesgue a fait la théorie complète. La dérivation de ces fonctions est étudiée dans la seconde Partie, par la méthode nouvelle des réseaux. Cette méthode, déjà utilisée dans mes Leçons de Harvard, ne montre cependant tous ses avantages que par l'emploi des réseaux conjugués qui interviennent ici pour la première fois. Elle se suffit à elle-même (sans recours au théorème géométrique de Vitali) et les démonstrations auxquelles elle conduit sont plus naturelles et plus simples. Enfin, elle paraît s'imposer dans la dérivation des fonctions additives qui ne sont pas absolument continues.
Toutes ces questions sont surtout d'ordre métrique. Dans la troisième Partie, j'aborde des questions d'ordre plus exclusivement descriptif, étroitement liées cependant aux précédentes. Il s'agit de la répartition des fonctions dans les classes successives de Baire, du théorème de René Baire sur les fonctions de classe 1 et des extensions de ce théorème que l'on doit à HenriLebesgue. Je pense avoir simplifié et complété l'exposition de ces théories si intéressantes par l'introduction de nouvelles méthodes et l'addition de nouveaux résultats.
Les questions traitées dans cet Ouvrage appartiennent à la théorie récente des fonctions dont Émile Borel, René Baire et Henri Lebesgue sont les fondateurs. Au cours de ses profondes recherches, René Baire a limité un domaine fonctionnel réel qui suffit à tous les besoins de l'Analyse et au delà duquel toutes les généralisations paraissent condamnées à être vaines et stériles. Les fonctions de ce domaine jouissent de propriétés communes, bien précises. Les méthodes générales de l'Analyse leur sont applicables ; et leur théorie, déjà riche de résultats, peut être considérée comme la théorie générale des fonctions de variables réelles. C'est là un progrès fondamental au point de vue philosophique et il est dû surtout à HenriLebesgue. Plus qu'aucun autre, Henri Lebesgue a contribué à mettre de l'unité dans la théorie des fonctions de variables réelles et à lui assurer par là le caractère esthétique qui lui manquait. J'aurai atteint mon but si le lecteur retrouve ce caractère dans les pages qui suivent.

Charles-Jean de LA VALLÉE POUSSIN


S O M M A I R E

I - ENSEMBLES MESURABLES ET INTÉGRALE DE LEBESGUE
1 - Notions générales sur les ensembles de points.

Définitions et théorèmes fondamentaux.
Opérations sur les ensembles.
Ensembles ouverts et fermés sur un domaine.
2 - Mesure des ensembles et fonctions mesurables.
Ensembles mesurables.
Fonctions mesurables.
Ensembles et fonctions mesurables (B). - Classification des fonctions et des ensembles mesurables (B). Classes de Baire.
3 - Intégrale de Lebesgue.
Intégrale d'une fonction bornée.
Intégrale d'une fonction sommable.
Réduction des intégrales doubles.
Comparaison avec l'intégrale de Riemann.

II - FONCTIONS ADDITIVES D'ENSEMBLE
4 - Notions générales sur les dérivées et les réseaux.

Généralités sur les fonctions additives.
Dérivées des fonctions d'ensemble.
Dérivées sur un réseau.
Réseaux conjugués.
5 - Fonctions d'ensemble absolument continues et additives. Intégrales indéfinies.
Propriétés des dérivées sur un réseau.
Dérivation des intégrales indéfinies.
Majorante et minorante.
Fonction absolument continue d'une variable x. Fonction d'ensemble qu'elle définit.
Fonction absolument continue de deux variables x, y.
6 - Fonctions additives d'ensemble normal.
Théorèmes généraux sur les fonctions additives.
Dérivation des fonctions continues et additives d'ensemble linéaire normal.
Fonctions additives d'ensemble spatial normal. Dérivation sur un réseau.
Fonction de point continue et à variation bornée.
Extension aux fonctions discontinues.

III - CLASSES DE BAIRE
7 - Fonctions de classe 1. Théorème et problème de Baire.

Nombres transfinis et structure des ensembles de points.
Ensembles ouverts, fermés.
Théorème et problème auxiliaires.
Condition nécessaire et suffisante de Lebesgue. Solution du problème de Baire.
Théorème de Baire.
8 - Fonctions de classe α. Conditions généralisées de Lebesgue et de Baire.
Théorèmes généraux sur les fonctions de classe α.
Ensembles O et F de Lebesgue.
Condition généralisée de Lebesgue.
Condition généralisée de Baire.
Existence des classes.

NOTES
1 - Représentation paramétrique régulière des ensembles mesurables (B).

Ensembles parfaits linéaires non denses.
Théorème direct de Lusin : Représentation paramétrique régulière des ensembles mesurables (B).
Théorème réciproque de Lusin. Ensembles analytiques.
Extension à un nombre quelconque de dimensions.
2 - L'intégrale de Stieltjes et sa généralisation.

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