Ernest DUPORCQ

PREMIERS PRINCIPES

DE

GÉOMÉTRIE MODERNE

A l'usage des élèves de Mathématiques Spéciales
et des candidats à la Licence et à l'Agrégation

Deuxième édition, revue et augmentée,
par Raoul Bricard

Paris, Gauthier-Villars
1912
 

Auteurs :
Ernest DUPORCQ
Raoul BRICARD

Thème :
MATHÉMATIQUES
Géométrie élémentaire et moderne

Reprint 1995
24,5 x 18 cm, oblong
96 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-160-3


S O M M A I R E

I - PRÉLIMINAIRES.
Emploi des imaginaires.
- Aperçu historique.
- Rôle des imaginaires.
- Définitions.
- Coordonnées barycentriques.
- Plan tangent. Points multiples.
- Application aux quadriques.
- Intersection de deux surfaces.
- Plan de l'infini.
- Caractère analytique de la Géométrie moderne.

Premières notions sur les transformations.
- Transformations.
- Aperçu historique.
- Transformations ponctuelles.
- Transformations de contact dans le plan. Exemples.
- Transformations de contact dans l'espace.

II - DIVISIONS ET FAISCEAUX HOMOGRAPHIQUES
Divisions et faisceaux homographiques.
- Rapport anharmonique.
- Divisions homographiques.
- Conservation du rapport anharmonique.
- Divisions semblables.
- Rapport anharmonique de quatre plans.
- Application aux quadriques.
- Divisions en perspective.
- Faisceaux homographiques.
- Points doubles.
- Application.
- Angle de deux droites.

Involution.
- Divisions en involution.
- Faisceaux en involution.
- Classe des courbes du second degré.
- Théorème de Frégier.
- Rayons communs à deux involutions.

Génération des courbes et des surfaces du second degré.
- Génération des coniques.
- Rapport anharmonique de quatre points d'une conique.
- Génération des quadriques.
- Cubiques gauches.

III - TRANSFORMATIONS HOMOGRAPHIQUES ET CORRÉLATIVES
Transformations homographiques.
- Définition et propriétés générales.
- Homographie plane.
- Figures en perspective.
- Figures homologiques planes.
- Points doubles.
- Homographie dans l'espace.
- Homologie.
- Cas particuliers de l'homographie.
- Points doubles.
- Coniques homographiques.
- Expression analytique.

Transformations corrélatives.
- Définition et propriétés générales.
- Détermination d'une corrélation.
- Groupe homographique et corrélatif.
- Points doubles de deux corrélations.
- Expression analytique.
- Classe des surfaces du second degré.
- Applications.

IV - PRINCIPALES PROPRIÉTÉS DES CONIQUES
Théorème de Desargues-Sturm et ses conséquences.
- Théorème de Desargues-Sturm.
- Coniques circonscrites à un quadrangle et tangentes à une droite.
- Propriétés corrélatives.
- Foyers.
- Propriétés des foyers.
- Théorèmes de Pascal et Brianchon.
- Construction des coniques données par des points et des tangentes.

Pôles et polaires.
- Définitions et propriétés des pôles et des polaires.
- Centres et diamètres. Axes.
- Triangle conjugué à deux coniques.
- Polaires d'un point par rapport aux coniques d'un faisceau ponctuel et propriétés corrélatives.
- Tangentes communes à deux coniques.
- Transformation par polaires réciproques. Application.

Problèmes et théorèmes divers.
- Cercle orthoptique. Théorème de Steiner.
- Quadrilatères inscrits à une conique et circonscrits à une autre.
- Faisceaux d'hyperboles équilatères.
- Coniques circonscrites à un quadrangle inscriptible à un cercle.
- Lieu des centres des coniques d'un faisceau ponctuel.
- Hyperboles d'Apollonius. Normales.
- Théorème de Joachimsthal.

Coniques harmoniquement circonscrites ou inscrites à une conique.
- Définition.
- Propriétés de deux triangles conjugués, inscrits ou circonscrits à une conique.
- Coniques harmoniquement inscrites.
- Application.
- Faisceau de coniques harmoniquement circonscrites. Applications.

Extension aux cônes du second degré.

V - PRINCIPALES PROPRIÉTÉS DES QUADRIQUES
Pôles et plans polaires.
- Définitions et propriétés des pôles et des plans polaires.
- Droites et tétraèdres conjugués.
- Centre, diamètres, axes.
- Transformation par polaires récoproques.

Intersection de deux quadriques.
- Détermination des quadriques par des points ou des plans tangents.
- Génératrices communes.
- Quadriques bitangentes et inscrites l'une à l'autre.

Faisceaux et réseaux de quadriques.
- Quadriques d'un faisceau ponctuel tangentes à un plan. Propriétés corrélatives.
- Quadriques homofocales.
- Cônes d'un faisceau ponctuel et coniques d'un faisceau tangentiel.
- Foyers et focales.
- Lieu des centres des quadriques d'un faisceau tangentiel.
- Réseaux de quadriques.
- Théorèmes relatifs à quatre coniques d'un réseau.
- Propriétés des focales des quadriques d'un faisceau tangentiel.
- Lieu des droites conjuguées d'une droite par rapport aux quadriques d'un faisceau.
- Centres des quadriques d'un faisceau ponctuel.
- Cubique des normales.

Quadriques harmoniquement circonscrites et inscrites.
- Définitions.
- Théorème de Hesse et application.
- HyperboloÏdes équilatères circonscrits à un tétraèdre orthocentrique.
- Quadriques menées par cinq points.
- Construction linéaire d'une quadrique.
- Théorème de Faure et applications.
- Théorèmes de Picquet.
- Cubiques gauches harmoniquement circonscrites à une quadrique.

VI - ÉTUDE DE QUELQUES TRANSFORMATIONS
Applications des transformations homographiques et corrélatives.
- Procédé de généralisation.
- Généralisation de théorèmes relatifs à des cercles.
- Autres applications.
- Transformation par polaires réciproques relativement à une sphère ou à un cercle.
- Applications.

Représentation plane des quadriques.
- Projection d'une quadrique sur un plan.
- Applications. Théorème de Frégier. Analogie entre les neuf points communs à deux cubiques et les huit points communs à trois quadriques.

Inversion.
- Définition.
- Surfaces inverses. Conservation des angles.
- Inverse de figures inverses.
- Courbes anallagmatiques.
- Cycliques planes.
- Transformation anallagmatique. Cycliques homofocales.
- Cas particuliers de décomposition des cycliques.
- Sections planes du tore.
- Tangentes à une sphère rencontrant deux tangentes fixes.
- Rapport entre les transformations par inversion, par podaires et par polaires réciproques.

Transformations quadratiques planes.
- Transformation quadratique.
- Transformation du second ordre.
- Cas particulier. Applications.
- Points doubles de deux transformations.
- Transformations quadratiques dont on donne cinq couples de points conjugués.
- Application à l'étude d'un déplacement remarquable.
- Transformations birationnelles.

Transformation de Lie.
- Complexes et congruences.
- Remarques préliminaires.
- Transformation de Lie.

VII - LES RELATIONS DOUBLEMENT QUADRATIQUES ET LES CORRESPONDANCES (2, 2)
Généralités.
- Variétés unicursales.
- Définition et propriétés fondamentales de la correspondance (2, 2). Exemples.

Éléments critiques.
- Homographie des éléments critiques.
- Applications.

Correspondances (2, 2) involutives et théorèmes de Poncelet.
- Premier théorème de Poncelet.
- Deuxième théorème de Poncelet.