A reparaître

Paul LÉVY

THÉORIE DE L'ADDITION

DES

VARIABLES ALÉATOIRES

Préface par
Émile BOREL

Deuxième édition

Paris, Gauthier-Villars
1954

Auteur :
Paul LÉVY

Préface :
Émile BOREL

Thème :
MATHÉMATIQUES
Probabilités

Reprint 2003
17 x 24 cm
416 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-207-5

S O M M A I R E

1 - Les fondements de la notion de probabilité.
Probabilité subjective et loi de probabilité.
Principe des probabilités composées.
Les conséquences vérifiables de la théorie.
Valeur objective de la probabilité.
Probabilité et fréquence ; déterminations statistiques.
Critique des définitions empiriques de la probabilité.

2 - Lois de probabilité et partitions.
Cas d'un ensemble dénombrable. Principe des probabilités totales.
Cas d'un ensemble non dénombrable.
La mesure d'un ensemble linéaire.
Définition d'une loi de probabilité dans un ensemble abstrait. La notion de partition.
Remarques complémentaires.

3 - Lois à une ou plusieurs variables.
Lois à une variable. Fonctions de répartition.
Valeur probable et intégrale de Stieltjes.
La fonction caractéristique.
La loi de Gauss.
Dispersion d'une variable aléatoire.
Lois de probabilité variables.
Notions sur les suites de variables aléatoires.
La notion d'ensemble compact.
Application de la notion précédente aux lois de probabilité.
Types de lois et lois réduites.
Lois à deux variables.
La notion de probabilité conditionnelle.

4 - La composition des probabilités et le théorème de Bernoulli.
Formules fondamentales.
Composition des moments et des fonctions caractéristiques.
Démonstration et généralisation du théorème de Bernoulli par la méthode de Tchebycheff.
Le cas de Bernoulli et la méthode de Moivre.
La loi de Poisson, ou des petites probabilités.
L'augmentation de la dispersion.

5 - Théorèmes relatifs à la loi de Gauss.
Premières notions de lois stables.
Le théorème de H. Cramér.
Un corollaire du théorème de H. Cramér.
Le théorème de Liapounoff, ou second théorème limite du calcul des probabilités.
Extension du théorème de Liapounoff.
Le théorème réciproque.
Le domaine d'attraction de la loi de Gauss.
Remarques et cas particuliers.
Conclusion relative au cas général.

6 - Probabilités dénombrables et séries aléatoires à termes indépendants.
Premières notions sur les probabilités dénombrables.
Les lemmes de MM. Borel et Cantelli.
Probabilités égales à zéro ou un.
La dispersion limite pour une série à termes aléatoires indépendants.
Convergence au point de vue de Bernoulli et convergence en probabilité.
Les oscillations de la suite des S_n et la probabilité de la convergence.
La condition de convergence en moyenne.
La condition de MM. Khintchine et Kolmogoroff pour la convergence presque sûre.
Un théorème sur le cas de divergence.
Sommes de termes à dispersions bornées inférieurement.

7 - Les intégrales à éléments aléatoires indépendants.
La position du problème.
La condition de convergence et la réduction au problème des lois indéfiniment divisibles.
Détermination de X(t).
Cas où la fonction X(t) est presque sûrement continue ; rôle de la loi de Gauss.
Le rôle des discontinuités mobiles et la loi de Poisson.
Détermination générale des lois indéfiniment divisibles.
L'arithmétique des lois indéfiniment divisibles.
L'arithmétique générale des lois de probabilité.
Un problème de A. Khintchine.
Application à l'étude des lois stables.
Autres méthodes pour la formation des lois stables.
Lois semi-stables.
Lois quasi-stables.
Conclusion relative au groupe d'une loi donnée.
Intégrales multiples à éléments aléatoires indépendants.
Lois indéfiniment divisibles à plusieurs variables.
Lois stables à plusieurs variables.

8 - Questions diverses relatives aux sommes de variables enchaînées.
Le problème général des probabilités en chaîne.
Les chaînes simples de Markoff.
L'extension du théorème de Bernoulli et de la méthode de Tchebycheff aux sommes de variables enchaînées.
La méthode de M. Lindeberg pour le théorème de Liapounoff.
La convergence des séries à termes non indépendants.
La loi forte des grands nombres.
La loi du logarithme itéré.
Remarques et compléments.
Le cas de Bernoulli et la loi forte des grands nombres.

9 - Application du calcul des probabilités à la théorie des fractions continues.
Rappel de notions classiques.
Les inégalités de M. Borel et les problèmes du premier groupe.
Le problème de Gauss. Premières formules de récurrence.
Nouvelles formules de récurrence et démonstration de la convergence.
Extension de la formule de Gauss à certains cas où la répartition de la probabilité n'est pas uniforme.
Application de la loi forte des grands nombres.
Application des résultats précédents à l'étude des sommes de M. Khintchine.

Note I : Loi faible et loi forte des grands nombres.

Note II : Notions sommaires sur les processus stochastiques.