DIEUDONNÉ : Panorama des mathématiques pures. Le choix bourbachique, 1979


DIEUDONNÉ : Panorama des mathématiques pures. Le choix bourbachique, 1979

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Jean DIEUDONNÉ

PANORAMA

DES MATHÉMATIQUES PURES

Le choix bourbachique

Second tirage corrigé

Paris, Gauthier-Villars
1979

Auteur :
Jean DIEUDONNÉ

Thèmes :

MATHÉMATIQUES
HISTOIRE DES SCIENCES


Reprint 2010
17 x 24 cm
334 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-210-5




P R É S E N T A T I O N

Depuis 1948, à raison de 18 exposés par an, les conférenciers du Séminaire Bourbaki décrivent les résultats les plus marquants obtenus chaque année dans les branches des mathématiques pures qui paraissent les plus importantes aux collaborateurs de N. Bourbaki. Presque tous ces exposés ont été publiés, et constituent donc un ensemble de textes que l'on peut à juste titre considérer comme l'Encyclopédie d'une grande partie des mathématiques de notre temps.

Toutefois deux exposés consécutifs chronologiquement traitent en général de sujets complètement différents, ce qui rend à peu près impossible à un mathématicien de les utiliser pour se mettre au courant de questions n'appartenant pas à sa spécialité. Ce volume se propose de pallier cet inconvénient en groupant les exposés du Séminaire Bourbaki sous un nombre assez restreint de rubriques, pour chacune desquelles on résume de façon succinte les principales notions, les méthodes et les résultats les plus notables de la théorie correspondante.

Aux références aux exposés du Séminaire Bourbaki, on a ajouté une bibliographie complémentaire assez fournie pour chaque rubrique, qui doit permettre à un lecteur possédant des connaissances mathématiques suffisantes (celles qui sont enseignées dans les 2 ou 3 premières années de l'Université) de s'initier à la théorie qui y est décrite.


S O M M A I R E

A I - Topologie algébrique et différentielle
.
- Les techniques.
- Les résultats.

A II - Variétés différentielles ; géométrie différentielle.
- La théorie générale.
- Les G-structures.
- La topologie des variétés différentielles.
- Variétés différentielles de dimension finie.

A III - Équations différentielles.
- La théorie algébrique.
- Les équations différentielles dans le domaine complexe.
- L'étude qualitative des équations différentielles.
- Le problème de classification.
- Problèmes aux limites.

A IV - Théorie ergodique.
- Le théorème ergodique.
- Les problèmes de classification.

A V - Équations aux dérivées partielles.
- L'étude locale des systèmes différentiels.
- Systèmes complètement intégrables et feuilletages.
- Équations aux dérivées partielles linéaires : I. Théorie générale.
- Problèmes aux limites pour les équations linéaires : II. Théorie spectrale des opérateurs elliptiques.
- Problèmes aux limites pour les équations linéaires : les équations d'évolution.
- Opérateurs pseudo-différentiels sur les variétés compactes.
- Équations aux dérivées partielles non linéaires.

A VI - Analyse harmonique non commutative.
- Les cas élémentaires : groupes compacts et groupes commutatifs.
- Les problèmes fondamentaux.
- L'analyse harmonique sur les groupes de Lie réductifs réels.
- L'analyse harmonique sur les groupes réductifs p-adiques.
- L'analyse harmonique sur les groupes de Lie nilpotents ou résolubles.
- Représentations linéaires des extensions de groupes.

A VII - Formes automorphes et formes modulaires.
- L'aspect analytique.
- L'intervention des groupes de Lie.
- L'intervention des groupes adéliques.
- Applications à la théorie des nombres.
- Formes automorphes, variétés abéliennes et corps de classes.
- Relations avec la théorie arithmétique des formes quadratiques.

A VIII - Géométrie analytique.
- Fonctions de plusieurs variables complexes et espaces analytiques.
- Espaces analytiques compacts; variétés kähleriennes.
- Variations de structures complexes et variétés de dimension infinie.
- Espaces analytiques réels et p-adiques.

A IX - Géométrie algébrique.
- Le cadre moderne de la Géométrie algébrique.
- Les notions fondamentales de la théorie des schémas.
- L'étude des singularités.
- La théorie "transcendante" des variétés algébriques.
- La cohomologie des schémas.
- Problèmes de classification.
- Groupes algébriques.
- Schémas formels et groupes formels.

A X - Théorie des nombres.
- Le point de vue moderne en Théorie des nombres.
- La théorie du corps de classe.
- Approximations diophantiennes et nombres transcendants.
- Géométrie diophantienne.
- Groupes linéaires arithmétiques.

B I - Algèbre homologique.
- Foncteurs dérivés dans les catégories abéliennes.
- Cohomologie des groupes.
- Cohomologie des algèbres associatives.
- Cohomologie des algèbres de Lie.
- Structures simpliciales.
- La K-théorie.

B II - Groupes de Lie.
- Les théorèmes de structure.
- Groupes de Lie et groupes de transformation.
- Topologie des groupes de Lie et des espaces homogènes.

B III - Groupes abstraits.
- Générateurs et relations.
- Groupes de Chevalley et systèmes de Tits.
- Représentations linéaires et caractères.
- La recherche des groupes simples finis.

B IV - Analyse harmonique commutative.
- Les problèmes de convergence.
- Algèbres normées de l'Analyse harmonique.
- Ensembles parfaits symétriques en Analyse harmonique : relations avec l'arithmétique.
- Fonctions presque périodiques et fonctions moyenne-périodiques.
- Applications de l'Analyse harmonique commutative.

B V - Algèbres de von Neumann.
- La théorie de Tomita et les invariants de Connes.
- Applications aux algèbres stellaires.

B VI - Logique mathématique.
- Non contradiction et indecidabilité.
- Procédés effectifs uniformes et relations récursives.
- La technique des ultraproduits.

B VII - Calcul des probabilités.
- Fluctuations dans les suites de variables aléatoires indépendantes.
- Inégalités sur les martingales.
- Trajectoires des processus.
- Processus généralisés.
- Variables aléatoires à valeurs dans les groupes localement compacts.

C I - Catégories et faisceaux.
- Catégories et foncteurs.
- Foncteurs représentables.
- Catégories abéliennes.
- Faisceaux et espaces annelés.
- Sites et topos.

C II - Algèbre commutative.
- Les principales notions.
- Problèmes de la théorie des corps.

C III - Théorie spectrale des opérateurs.
- La théorie de Riesz-Fredholm.
- Algèbres de Banach.
- La théorie spectrale de Hilbert-von Neumann.

Bibliographie.

Index.

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