Jean DIEUDONNÉ

ÉLÉMENTS D'ANALYSE

Tome I

Chapitres I à XI

Fondements de l'Analyse moderne 

Paris, Gauthier-Villars
3^e édition, 1979
Tirage 1990

Auteur :
Jean DIEUDONNÉ

Traduction : Danielle HUET

Avant-propos :
Gaston JULIA

Série : Dieudonné - Éléments d'Analyse
Tome 1   Tome 2   Tome 3   Tome 4   Tome 5   Tome 6   Tome 7   Tome 8   Tome 9

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Algèbre
Analyse
Topologie. Mesure. Intégration

Reprint 2020
17 x 24 cm
420 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-211-2



P R É S E N T A T I O N

Le premier volume de ce Traité a pour but d' exposer de la manière la plus simple les notions élémentaires sur lesquelles repose toute l'Analyse moderne : calcul booléien, nombres réels, espaces métriques et espaces de Banach, calcul différentiel, fonctions analytiques. Sur cette base, les volumes suivants développent, d'une part ce qu'on peut appeler "l'Analyse sur les espaces vectoriels" (chapitres XIII à XV, XXII et XXIII), de l'autre "l'Analyse globale" ou "Analyse sur les variétés" (chap. XVI à XXI et XXIV), non sans interactions réciproques, bien entendu. La conception qui domine ce volume a été de reporter aux volumes suivants toutes les notions secondaires nécessaires au développement de ces théories plus avancées, en se limitant au strict minimum, de manière à mettre en valeur les idées les plus fondamentales (comme celles d'espace compact, d'espace complet et d'espace connexe) et à en faciliter l'assimilation. Mises à part les règles de la logique et les propriétés usuelles des entiers naturels, toute l'Analyse est reprise à la base et n'exige en principe aucune connaissance préliminaire ; quant aux notions d'Algèbre nécessaires, en dehors des définitions les plus élémentaires (groupe, anneau, idéal, corps), elles sont introduites au fur et à mesure dans une Annexe. Toutefois, il n'est pas conseillé d'aborder la lecture de ce volume sans avoir bien assimilé les mathématiques enseignées dans le Premier cycle de l'Université


S O M M A I R E

I - Éléments de la théorie des ensembles.
- Éléments et ensembles.
- Calcul booléen.
- Produit de deux ensembles.
- Applications.
- Images directes et réciproques.
- Applications surjectives, injectives, bijectives.
- Composition d'applications.
- Familles d'éléments. Réunion et intersection de familles d'ensembles.
- Ensembles dénombrables.

II - Nombres réels.
- Axiomes des nombres réels.
- Structure d'ordre des nombres réels.
- Borne supérieure et borne inférieure.

III - Espaces métriques.
- Distances et espaces métriques.
- Exemples de distances.
- Isométries.
- Boules, sphères, diamètre.
- Ensembles ouverts.
- Voisinages.
- Intérieur d'un ensemble.
- Ensembles fermés, points adhérents, adhérence d'un ensemble.
- Parties denses, espaces séparables.
- Sous-espaces d'un espace métrique.
- Applications continues.
- Homéomorphismes. Distances équivalentes.
- Limites.
- Suites de Cauchy, espaces complets.
- Théorèmes élémentaires de prolongement.
- Espaces compacts.
- Ensembles compacts.
- Espaces localement compacts.
- Espaces connexes et ensembles connexes.
- Produit de deux espaces métriques.

IV - Propriétés particulières à la droite réelle.
- Continuité des opérations algébriques.
- Fonctions monotones.
- Logarithmes et exponentielles.
- Les nombres complexes.
- Le théorème de prolongement de Tietze-Urysohn.

V - Espaces normés.
- Espaces normés et espaces de Banach.
- Séries dans un espace normé.
- Séries absolument convergentes.
- Sous-espaces et produits finis d'espaces normés.
- Condition de continuité d'une application multilinéaire.
- Normes équivalentes.
- Espaces d'applications multilinéaires continues.
- Hyperplans fermés et formes linéaires continues.
- Espaces normés de dimension finie.
- Espaces normés séparables.

VI - Espaces de Hilbert.
- Formes hermitiennes.
- Formes hermitiennes positives.
- Projection orthogonale sur un sous-espace complet.
- Somme hilbertienne d'espaces de Hilbert.
- Systèmes orthonormaux.
- Orthonormalisation.

VII - Espaces de fonctions continues.
- Espaces de fonctions bornées.
- Espaces de fonctions continues bornées.
- Le théorème d'approximation de Stone-Weierstrass.
- Applications.
- Ensembles équicontinus.
- Fonctions réglées.

VIII - Calcul différentiel.
- Dérivée d'une application continue.
- Règles formelles de dérivation.
- Dérivées dans des espaces de fonctions linéaires continues.
- Dérivées des fonctions d'une variable.
- Le théorème de la moyenne.
- Applications du théorème de la moyenne.
- Primitives et intégrales.
- Applications : le nombre e.
- Dérivées partielles.
- Jacobiens.
- Dérivée d'une intégrale dépendant d'un paramètre.
- Dérivées d'ordre supérieur.
- Opérateurs différentiels.
- Formule de Taylor.

IX - Fonctions analytiques.
- Séries entières.
- Substitution de séries entières dans une série entière.
- Fonctions analytiques.
- Le principe du prolongement analytique.
- Exemples de fonctions analytiques; la fonction exponentielle; le nombre π.
- Intégration le long d'une route.
- Primitive d'une fonction analytique dans un domaine simplement connexe.
- Indice d'un point par rapport à un circuit.
- La formule de Cauchy.
- Caractérisation des fonctions analytiques de variables complexes.
- Le théorème de Liouville.
- Suites convergentes de fonctions analytiques.
- Ensembles équicontinus de fonctions analytiques.
- La série de Laurent.
- Points singuliers isolés; pôles; zéros; résidus.
- Le théorème des résidus.
- Fonctions méromorphes.

Appendice au Chapitre IX. - Application des fonctions analytiques à la topologie plane.
- Indice d'un point par rapport à un lacet.
- Applications essentielles dans le cercle unité.
- Coupures du plan.
- Arcs simples et courbes fermées simples.

X - Théorèmes d'existence.
- La méthode des approximations successives.
- Fonctions implicites.
- Le théorème du rang.
- Équations différentielles.
- Comparaison des solutions d'équations différentielles.
- Équations différentielles linéaires.
- Dépendance des paramètres.
- Dépendance des conditions initiales.
- Le théorème de Frobenius.

XI - Théorie spectrale élémentaire.
- Spectre d'un opérateur continu.
- Opérateurs compacts.
- La théorie de F. Riesz.
- Spectre d'un opérateur compact.
- Opérateurs compacts dans les espaces de Hilbert.
- L'équation intégrale de Fredholm.
- Le problème de Sturm-Liouville.

Annexe - Éléments d'algèbre linéaire.
- Espaces vectoriels.
- Applications linéaires.
- Sommes directes de sous-espaces.
- Bases. Dimension et codimension.
- Matrices.
- Applications multilinéaires. Déterminants.

Bibliographie

Index