Jean DIEUDONNÉ

ÉLÉMENTS D'ANALYSE

Tome IV

Chapitres XVIII à XX 

Paris, Gauthier-Villars
2^e édition, 1971
Tirage 1977

Auteur :
Jean DIEUDONNÉ

Série : Dieudonné - Éléments d'Analyse
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Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Algèbre
Analyse
Topologie. Mesure. Intégration

Reprint 2007
17 x 24 cm
436 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-214-3



P R É S E N T A T I O N

Le chapitre XVIII est le dernier des trois chapitres qui posent les bases de l'Analyse sur les variétés différentielles, en précisant ce qu'il faut entendre dans cette théorie par équation différentielle ou aux dérivées partielles. Déjà dans les espaces Rⁿ, il est clair que la notion classique d'équations aux dérivées partielles est liée au système d'axes choisi, et cela n'a pas laissé de causer bien des difficultés aux mathématiciens qui, au XIX^e siècle, ont cherché à classer les équations aux dérivées partielles suivant leurs propriétés, même du point de vue purement local. Ce n'est qu'en ne perdant jamais de vue le sens géométrique d'un système différentiel (donnée d'un "élément tangent" en chaque point) qu'on a pu, à la suite de Élie Cartan, parvenir à des conceptions pleinement satisfaisantes à ce sujet ; la théorie générale est d'ailleurs loin d'être achevée, et nous n'en donnons que les premiers rudiments.

C'est également le point de vue local qui prédomine dans les chapitres XIX et XX, où sont exposés les premiers résultats d'Analyse "intrinsèque". Le chapitre XIX est entièrement consacré à l'exploitation de l'idée fondamentale de Lie, l'existence d'un "dictionnaire" qui traduit en termes algébriques les propriétés infinitésimales d'un groupe de Lie. La méthode suivie diffère un peu de la plupart des exposés, en prenant d'emblée comme objet algébrique fondamental l'algèbre de tous les opérateurs différentiels invariants par translation à gauche, d'ordre quelconque. Cela a l'avantage de faire correspondre à une structure associative une autre qui l'est également ; le fait (spécial à la caractéristique 0) que la connaissance des opérateurs invariants d'ordre 1 et de leur structure d'algèbre de Lie détermine tous les autres, n'est présenté que postérieurement, fournissant d'ailleurs aussitôt l' "algèbre enveloppante" dont on donne souvent une définition abstraite tout à fait inutile

La plus grande partie du chapitre XX est elle aussi consacrée à une étude locale, celle des variétés riemanniennes, envisagée dans le contexte plus général des "G-structures", forme moderne de la méthode du "repère mobile" de Élie Cartan, qui exploite la richesse de la structure d'espace fibré principal, grâce à la théorie de Lie

On a toutefois pu aborder dans les chapitres XVIII et XX un aspect de la géométrie différentielle "globale", l'étude des géodésiques d'une connexion inaugurée par Jacobi, qui constitue la partie la plus élémentaire du Calcul des variations.


S O M M A I R E

XVIII - Calcul différentiel sur une variété différentielle.
II.Théorie globale élémentaire des équations différentielles du premier et du second ordre. Théorie locale élémentaire des systèmes différentiels.
- Équations différentielles du premier ordre sur une variété différentielle.
- Coulée d'un champ de vecteurs.
- Équations différentielles du second ordre sur une variété.
- Champs isochrones et équations du second ordre isochrones.
- Propriétés de convexité des équations différentielles isochrones.
- Géodésiques d'une connexion.
- Familles de géodésiques à un paramètre et champs de Jacobi.
- Champs de p-directions, systèmes de Pfaff et systèmes d'équations aux dérivées partielles.
- Systèmes différentiels.
- Éléments intégraux d'un système différentiel.
- Position du problème d'intégration.
- Le théorème de Cauchy-Kowalewska.
- Le théorème de Cartan-Kähler.
- Systèmes de Pfaff complètement intégrables.
- Variétés intégrables singulières; variétés caractéristiques.
- Caractéristiques de Cauchy.
- Exemples : I. Équations aux dérivées partielles du premier ordre.
- Exemples : II. Équations aux dérivées partielles du second ordre.

XIX - Groupe de Lie et algèbres de Lie.
- Opérations équivariantes d'un groupe de Lie sur les espaces fibrés.
- Opérations d'un groupe de Lie G sur les fibrés de base G.
- Algèbre infinitésimale et algèbre de Lie d'un groupe de Lie.
- Exemples.
- La formule de Taylor dans un groupe de Lie.
- Algèbre enveloppante de l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie.
- Groupes de Lie immergés et sous-algèbres de Lie.
- Connexions invariantes, sous-groupes à un paramètre et application exponentielle.
- Propriétés de l'application exponentielle.
- Sous-groupes fermés des groupes de Lie.
- Représentation adjointe. Normalisateurs et centralisateurs.
- Algèbre de Lie du groupe des commutateurs.
- Groupes d'automorphismes des groupes de Lie.
- Produits semi-directs de groupes de Lie.
- Différentielle d'une application dans un groupe de Lie.
- Formes différentielles invariantes et mesure de Haar sur un groupe de Lie.
- Groupes de Lie complexes.

XX - Connexions principales et géométrie riemannienne.
- Le fibré des repères d'un espace fibré vectoriel.
- Connexions principales sur les fibrés principaux.
- Différentiation extérieure covariante attachée à une connexion principale et forme de courbure d'une connexion principale.
- Exemples de connexions principales.
- Connexions linéaires associées à une connexion principale.
- La méthode du repère mobile.
- G-structures.
- Généralités sur les variétés pseudo-riemanniennes.
- La connexion de Levi-Civita.
- Le tenseur de Riemann-Christoffel.
- Exemples de variétés riemanniennes et pseudo-riemanniennes.
- Métrique riemannienne induite sur une sous-variété.
- Courbes dans les variétés riemanniennes.
- Hypersurfaces dans les variétés riemanniennes.
- Le problème d'immersion.
- La structure d'espace métrique d'une variété riemannienne. Étude locale.
- Boules strictement géodésiquement convexes.
- La structure d'espace métrique d'une variété riemannienne. Étude globale. Variétés riemanniennes complètes.
- Géodésiques périodiques.
- Première et seconde variation de la longueur d'arc et champs de Jacobi d'une variété riemannienne.
- Courbure bidimensionnelle.
- Variétés à courbure bidimensionnelle positive ou à courbure bidimensionnelle négative.
- Variétés riemanniennes à courbure constante.