DIEUDONNÉ : Éléments d'Analyse, t. 5, (chap. XXI), Groupes de Lie, 1976

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Jean DIEUDONNÉ

ÉLÉMENTS D'ANALYSE

Tome V

Chapitre XXI

Groupes de Lie compacts
Groupes de Lie semi-simples

Paris, Gauthier-Villars
1971
Tirage 1976

Auteur :
Jean DIEUDONNÉ

Série :
Dieudonné - Éléments d'Analyse
Tome 1
   Tome 2   Tome 3   Tome 4   Tome 5   Tome 6    Tome 7   Tome 8   Tome 9

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Algèbre
Analyse
Topologie. Mesure. Intégration


Reprint 2006
17 x 24 cm
230 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-215-0



P R É S E N T A T I O N

Contrairement à beaucoup d'exposés classiques, dans ce chapitre, la théorie des groupes de Lie semi-simples est, autant que possible, axée sur son aspect global, les algèbres de Lie n'intervenant que comme outils de démonstration. C'est pourquoi le chapitre débute par une analyse de la structure des groupes de Lie compacts et connexes, où la géométrie riemannienne permet une étude directe complète des tores maximaux (objets beaucoup plus "naturels" que les sous-algèbres de Cartan de la théorie classique). En outre, cette méthode à l'avantage de mettre dès le début l'accent sur l'une des notions les plus fondamentales des mathématiques, celle de représentation linéaire d'un groupe : c'est en effet des propriétés générales des représentations linéaires d'un groupe compact (non nécessairement de Lie), étudiées dès les premiers paragraphes du chapitre, que sont déduites, par la considération de la représentation adjointe, toutes les propriétés des "racines" et des "poids", qui paraissent toujours quelque peu miraculeuses quand on les aborde d'un point de vue strictement algébrique.

Une fois étudiés les groupes semi-simples compacts, les propriétés de leurs complexifications et des formes réelles (non compactes) de ces complexifications s'obtiennent presque sans effort. Il faut malheureusement montrer qu'on obtient ainsi tous les groupes de Lie semi-simples complexes (resp. réels), ce qui nécessite une étude de type classique des algèbres de Lie semi-simples complexes (où toutefois la connaissance préalable de ce qui se passe pour les groupes compacts réduit l'allure arbitraire de la méthode suivie). On peut toutefois abréger cette étude en se dispensant entièrement de considérations sur les algèbres de Lie nilpotentes et résolubles, qui alourdissent inutilement beaucoup d'exposés ; ces notions ne sont introduites que postérieurement, au moment où elles sont réellement utiles (décompositions d'Iwasawa et de Lévi).


S O M M A I R E

XXI -Groupes de Lie compacts et groupes de Lie semi-simples.

- Représentations unitaires continues de groupes localement compacts.

- L'algèbre hilbertienne d'un groupe compact.
- Caractères d'un groupe compact.
- Représentations unitaires continues des groupes compacts.
- Formes bilinéaires invariantes; forme de Killing.
- Groupes de Lie semi-simples; critère de semi-simplicité d'un groupe de Lie compact.
- Tores maximaux des groupes de Lie compacts connexes.
- Racines et sous-groupes presque simples de rang un.
- Représentations linéaires de SU(2).
- Propriétés des racines d'un groupe compact semi-simple.
- Bases d'un système de racines.
- Exemples : groupes compacts classiques.
- Représentations linéaires des groupes de Lie compacts connexes.
- Éléments anti-invariants.
- Les formules de H. Weyl.
- Centre, groupe fondamental et représentations irréductibles des groupes compacts connexes semi-simples.
- Complexifiés des groupes compacts connexes semi-simples.
- Formes réelles des complexifiés des groupes compacts connexes semi-simples et espaces symétriques.
- Racines d'une algèbre de Lie semi-simple complexe.
- Bases de Weyl.
- La décomposition d'Iwasawa.
- Critère de résolubilité de E. Cartan.
- Le théorème de E. E. Lévi.

 

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