DIEUDONNÉ : Éléments d'Analyse, t. 6, (chap. XXII), Analyse harmonique, 1976

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Jean DIEUDONNÉ

ÉLÉMENTS D'ANALYSE

Tome VI

Chapitre XXII

Analyse harmonique

Paris, Gauthier-Villars
1975
Tirage 1976

Auteur :
Jean DIEUDONNÉ

Série :
Dieudonné - Éléments d'Analyse
 
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Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Algèbre
Analyse
Topologie. Mesure. Intégration


Reprint 2006
17 x 24 cm
216 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-216-7



P R É S E N T A T I O N

On entend de nos jours par Analyse harmonique (commutative) la généralisation aux groupes commutatifs localement compacts de la théorie classique des séries et intégrales de Fourier, qui correspondent au cas des groupes
Rn, Tn et Zn. Bien que, dans la suite de ce Traité, ce soit cette théorie classique qui est presque constamment utilisée, notamment comme outil fondamental dans la théorie des équations linéaires aux dérivées partielles (chap. XXIII), la théorie générale de l'Analyse harmonique a aujourd'hui tant d'autres applications, notamment en Arithmétique, qu'il serait contraire à l'esprit des mathématiques de notre temps de se borner au cadre classique de la théorie de Fourier, qui masque la nature des idées essentielles dominant l'Analyse harmonique, comme celle de convolution ou celle de fonction de type positif.
En fait, ces idées ont une portée bien plus grande encore, car elles se rattachent en réalité à la théorie générale des représentations linéaires (de dimension infinie) des groupes localement compacts quelconques, dite encore Analyse harmonique non commutative. Sans pouvoir aborder dans cet ouvrage l'essentiel d'une théorie aussi difficile, on en a cependant traité un aspect particulier, la théorie élémentaire des fonctions sphériques ; grâce à un théorème fondamental de Gelfand, elle repose en réalité sur une étude d'algèbres de fonctions involutives et commutatives, bien que liée aux représentations linéaires de groupes non commutatifs. Non seulement cette théorie englobe-t-elle celle de nombreuses "fonctions spéciales" et met-elle en lumière la notion essentielle de représentation induite, mais elle permet de mieux comprendre la nature de la "dualité de Pontrjagin" qui caractérise le cas particulier des groupes commutatifs
La dernière partie du chapitre revient à la transformation de Fourier classique, mais étendue aux distributions tempérées sur Rn ou In. C'est seulement dans ce cadre que disparaissent les aspects "pathologiques" de la théorie classique, trop étroitement liée à la notion de convergence "ponctuelle", alors que c'est en fait dans l'application de la transformation de Fourier à la théorie des opérateurs différentiels et à leurs généralisations que réside son principal intérêt en Analyse moderne.



S O M M A I R E

XXII - Analyse harmonique.

- Fonctions continues de type positif.

- Mesures de type positif.
- Représentations induites.
- Représentations induites et restrictions de représentations à des sous-groupes.
- Traces partielles et représentations induites dans les groupes compacts.
- Groupes de Gelfand et fonctions sphériques.
- Transformation de Plancherel et transformation de Fourier.
- Les espaces P(G) et P'(Z).
- Fonctions sphériques de type positif et représentations irréductibles.
- Analyse harmonique commutative et dualité de Pontrjagin.
- Dual d'un sous-groupe et d'un groupe quotient.
- Formule de Poisson.
- Dual d'un produit.
- Exemples de dualité.
- Représentations unitaires continues des groupes commutatifs localement compacts.
- Fonctions déclinantes sur Rn.
- Distributions tempérées.
- Convolution des distributions tempérées et théorème de Paley-Wiener.
- Distributions périodiques et séries de Fourier.
- Les espaces de Sobolev.

 

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