HALPHEN : Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications, t. I, II et III, 1886-1891

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Georges-Henri HALPHEN

TRAITÉ

DES

FONCTIONS ELLIPTIQUES

ET DE

LEURS APPLICATIONS

Partie I
Théorie des fonctions elliptiques
et de leurs développements en séries

Paris, Gauthier-Villars
1886

Partie II
Applications à la Mécanique, à la Physique, à la Géodésie,
à la Géométrie et au Calcul intégral

Paris, Gauthier-Villars
1888

Partie III
Fragments
Paris, Gauthier-Villars
1891

Auteur :
Georges-Henri HALPHEN

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Analyse

Reprint 2003
17 x 24 cm
510 p., 674 p. et 298 p.
Broché
3 volumes (non vendus séparément)
ISBN : 978-2-87647-220-4

 

D E S C R I P T I O N

Extrait de la Notice sur Halphen, par Henri Poincaré, "Journal de l'École Polytechnique", 60e Cahier, ,1890

« Le premier Volume est consacré tout entier à la théorie ; dans les treize premiers Chapitres, elle est exposée complètement et sans faire appel à la théorie générale des fonctions ; dans le quatorzième, l'auteur retrouve les mêmes résultats en s'appuyant sur les principes de l'Analyse moderne. A-t-il voulu par là montrer, par un exemple éclatant, la puissance de cette analyse qui conduit, en si peu de pages, à un but que l'on ne pouvait atteindre sans elle qu'à l'aide de tant de génie et au prix de tant d'efforts ? Non, son but est tout différent et il l'explique lui-même dans sa Préface ; ses premiers chapitres n'ont pas été écrits pour les géomètres de profession ; sans doute, ils trouveront beaucoup à y apprendre et ils se réjouiront d'y rencontrer le spectacle de nombreuses difficultés vaincues et d'une sorte de gageure gagnée. Mais cette première partie de ce grand Ouvrage est avant tout destinée aux savants qui veulent devenir capables d'appliquer ces transcendantes à la Mécanique et à la Physique, et qui ne sont pas au courant des travaux de Cauchy. Ils pourront y étudier la théorie des fonctions elliptiques, réduites à une sorte de Trigonométrie, un peu plus compliquée que celle qu'on enseigne aux élèves d'élémentaires, et n'auront besoin que de connaître la définition des intégrales réelles. »

« Le second Volume a pour objet les principales applications des fonctions elliptiques. L'auteur commence par les applications mécaniques, et il traite successivement de la rotation d'un corps solide soustrait à l'action de toute force et tournant autour d'un point fixe, de celle d'un corps grave de révolution suspendu par un point de son axe, du mouvement d'un corps solide dans un liquide parfait indéfini en l'absence de force accélératrice, de la courbe élastique, de l'attraction de l'anneau elliptique de Gauss.
Viennent ensuite les applications géométriques aux lignes géodésiques des ellipsoïdes de révolution, auxquelles se rattachent divers problèmes pratiques de Géodésie, aux polygones de Poncelet, inscrits à une conique et circonscrits à une autre conique, aux cubiques planes et enfin aux biquadratiques gauches.
Puis les applications au Calcul intégral, la quadrature des intégrales pseudo-elliptiques, l'intégration de l'équation d'Euler, l'étude approfondie de l'équation de Lamé, si intimement liée à tant de problèmes importants de Physique et d'Astronomie, et enfin l'intégration de plusieurs classes étendues d'équations différentielles linéaires.
Qu'on me pardonne cette longue énumération ; j'ai voulu faire voir à quelle variété de sujets s'appliquent ces transcendances remarquables et montrer, en même temps, qu'Halphen n'en avait négligé aucun. Chacun de ces Chapitres peut être regardé comme un véritable Mémoire original. Tantôt l'auteur a tout à créer, tantôt il renouvelle la question par un mode nouveau d'exposition. »

Avis au lecteur du troisième Volume

« Madame Halphen a confié les manuscrits laissés par son mari aux membres de la section de Géométrie de l'Académie des Sciences, en exprimant le désir que tout ce qui semblerait pouvoir être publié soit communiqué au monde mathématique.
Nous remplissons ses intentions, et nous faisons paraître, avec le concours dévoué de M. Stieltjes, ces quelques pages, où l'illustre géomètre a laissé ses dernières pensées.
Elles seront accueillies par les amis d'Halphen et les admirateurs de son talent avec les sentiments de tristesse et de regrets que nous laisse à jamais sa mort prématurée. »


S O M M A I R E

I - Théorie des fonctions elliptiques et de leurs développements en série
- Fonctions elliptiques à discriminant positif, avec un argument réel.
- Arguments imaginaires ; double périodicité.
- Discriminants négatifs. Propriétés communes aux fonctions elliptiques, quel que soit le signe du discriminant ; multiplication ; inversion.
- Décompositions en éléments simples et en facteurs.
- Dérivées par rapport aux invariants et aux périodes.
- Développement des périodes en séries hypergéométriques.
- Développement des fonctions elliptiques en séries à doubles indices.
- Développements en séries trigonométriques.
- Application de la théorie générale des fonctions à celle des fonctions elliptiques.

II - Applications à la Mécanique, à la Physique, à la Géodésie, à la Géométrie et au Calcul Intégral
- Formules elliptiques pour la rotation des corps.
- Les mouvements à la Poinsot.
- Rotation d'un corps grave de révolution, suspendu par un point de son axe ; la courbe élastique gauche.
- Mouvement d'un corps solide dans un liquide indéfini, en l'absence de force accélératrice.
- La courbe élastique plane sous pression normale uniforme.
- Lignes géodésiques des surfaces de révolution du second degré.
- Problèmes de Géodésie.
- Attraction d'un anneau elliptique.
- Équation d'Euler.
- Les polygones de Poncelet.
- Les courbes du premier genre ; la cubique plane.
- Équation de Lamé.
- Équations différentielles linéaires.
- Fractions continues et intégrales pseudo-elliptiques.

III - Fragments
- Division des périodes par 5 ; résolution de l'équation du cinquième degré par les fonctions elliptiques.
- Division des périodes par 7.
- Sur la multiplication complexe dans les fonctions elliptiques et, en particulier, sur la multiplication par (- 23)1/2.
- Parties aliquotes de périodes ; leur répartition en groupes, quand le diviseur est un nombre premier.
- Fragments relatifs à la transformation.

 

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