LAGRANGE : Œuvres, t. 11, 1888 et t. 12, 1889 - Mécanique analytique, 4e éd., vol. 1 et 2

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Joseph-Louis LAGRANGE

ŒUVRES

publiées par les soins de Joseph-Alfred Serret et de Gaston Darboux
sous les auspices de M. le Ministre de l'Instruction Publique

Tomes XI et XII

MÉCANIQUE ANALYTIQUE
Volumes 1 et 2

Quatrième édition
d'après la troisième édition de 1853 publiée par Joseph Bertrand

Notes de Joseph Bertrand et Gaston Darboux  

Paris, Gauthier-Villars
1888-1889

 

Auteur :
Joseph-Louis LAGRANGE

Éditeurs :
Joseph-Alfred SERRET
Gaston DARBOUX

Notes :
Joseph BERTRAND
Gaston DARBOUX

Série :
Lagrange - Œuvres

Thème :
MÉCANIQUE
Mécanique des solides et des fluides

Reprint 2006
17 x 24 cm
532 p. et 410 p.
Broché
2 volumes (non vendus séparément)
ISBN : 978-2-87647-245-7



Extrait de l'Avertissement de la deuxième édition

On a déjà plusieurs Traités de Mécanique, mais le plan de celui-ci est entièrement neuf. Je me suis proposé de réduire la théorie de cette Science, et l'art de résoudre les problèmes qui s'y rapportent, à des formules générales, dont le simple développement donne toutes les équations nécessaires pour la solution de chaque problème.
Cet Ouvrage aura d'ailleurs une autre utilité : il réunira et présentera sous un même point de vue les différents principes trouvés jusqu'ici pour faciliter la solution des questions de Mécanique, en montrera la liaison et la dépendance mutuelle, et mettra à portée de juger de leur justesse et de leur étendue.
Je le divise en deux Parties : la Statique ou la Théorie de l'Équilibre, et la Dynamique ou la théorie du Mouvement ; et, dans chacune de ces Parties, je traite séparément des corps solides et des fluides.
On ne trouvera point de Figures dans cet ouvrage. Les méthodes que j'y expose ne demandent ni constructions, ni raisonnements géométriques ou mécaniques, mais seulement des opérations algébriques, assujetties à une marche régulière et uniforme. Ceux qui aiment l'Analyse verront avec plaisir la Mécanique en devenir une nouvelle branche, et me sauront gré d'en avoir ainsi étendu le domaine.
Tel est le plan que j'avais tâché de remplir dans la première édition de ce Traité, publiée en 1788. Celle-ci est, à plusieurs égards, un Ouvrage nouveau, sur le même plan, mais plus ample. On a donné plus de développement aux principes et aux formules générales, et plus d'étendue aux applications, dans lesquelles on trouvera la solution des principaux problèmes qui sont du ressort de la Mécanique.
On a conservé la notation ordinaire du Calcul différentiel, parce qu'elle répond au système des infiniment petits, adopté dans ce Traité. Lorsqu'on a bien conçu l'esprit de ce système, et qu'on s'est convaincu de l'exactitude de ses résultats par la méthode géométrique des premières et dernières raisons, ou par la méthode analytique des fonctions dérivées, on peut employer les infiniment petits comme un instrument sûr et commode pour abréger et simplifier les démonstrations. C'est ainsi qu'on abrège les démonstrations des Anciens par la méthode des indivisibles.



S O M M A I R E

Volume 1

I - LA STATIQUE

I - Sur les différents principes de la Statique.

II - Formules générales de la Statique pour l'équilibre d'un système.

III - Propriétés générales de l'équilibre d'un système de corps, déduites de la formule précédente.
1. Propriétés de l'équilibre d'un système libre relatives au mouvement de translation.
2. Propriétés de l'équilibre d'un système libre relatives au mouvement de rotation.
3. De la composition des mouvements de rotation autour de différents axes, et des moments relatifs à ces axes.
4. Propriétés de l'équilibre, relatives au centre de gravité.
5. Propriétés de l'équilibre, relatives aux maxima et minima.

IV - Manière plus simple et plus générale de faire usage de la formule de l'équilibre, donnée dans la Section deuxième.
1. Méthode des multiplicateurs.
2. Application de la même méthode à la formule de l'équilibre des corps continus, dont tous les points sont tirés par des forces quelconques.
3. Analogie des problèmes de ce genre avec ceux de maximis et minimis.

V - Solution des différentes problèmes de Statique.
Ch. I : De l'équilibre de plusieurs forces appliquées à un même point, de la composition et de la décomposition des forces.
1. De l'équilibre d'un corps ou point tiré par plusieurs forces.
2. De la composition et de la décomposition des forces.
Ch. II : De l'équilibre de plusieurs forces appliquées à un système de corps, considérés comme des points et liés entre eux par des fils ou par des verges.
1. De l'équilibre de trois ou plusieurs corps attachés à un fil inextensible ou extensible et susceptible de contraction.
2. De l'équilibre de trois ou plusieurs corps attachés à une verge inflexible et raide.
3. De l'équilibre de trois ou plusieurs corps attachés à une verge à ressort.
Ch.  III : De l'équilibre d'un fil dont tous les points sont tirés par des forces quelconques, et qui est supposé flexible, ou inflexible, ou élastique, et en même temps extensible ou non.
1. De l'équilibre d'un fil flexible et inextensible.
2. De l'équilibre d'un fil, ou d'une surface flexible et en même temps extensible et contractible.
3. De l'équilibre d'un fil ou lame élastique.
4. De l'équilibre d'un fil raide et de figure donnée.
Ch. IV : De l'équilibre d'un corps solide et de grandeur sensible et de figure quelconque, dont tous les points sont tirés par des forces quelconques.

VI - Sur les principes de l'hydrostatique.

VII - De l'équilibre des fluides incompressibles.
1. De l'équilibre d'un fluide dans un tuyau très étroit.
2. Où l'on déduit les lois générales de l'équilibre des fluides incompressibles de la nature des particules qui les composent.
3. De l'équilibre d'une masse fluide avec un solide qu'elle recouvre.
4. De l'équilibre des fluides incompressibles contenus dans des vases.

VIII - De l'équilibre des fluides compressibles et élastiques.

II - LA DYNAMIQUE

I - Sur les différents principes de la Dynamique.

II - Formule générale de la Dynamique pour le mouvement d'un système de corps animés par des forces quelconques.

III - Propriétés générales du mouvement déduites de la formule précédente.
1. Propriétés relatives au centre de gravité.
2. Propriétés relatives aux aires.
3. Propriétés relatives aux rotations produites par des forces d'impulsion.
4. Propriétés des axes fixes de rotation d'un corps libre de figure quelconque.
5. Propriétés relatives aux forces vives.
6. Propriétés relatives à la moindre action.

IV - Équations différentielles pour la solution de tous les problèmes de Dynamique.

V - Méthode générale d'approximation pour les problèmes de Dynamique, fondée sur la variation des constantes arbitraires.
1. Où l'on déduit des équations données dans la Section précédente une relation générale entre les variations des constantes arbitraires.
2. Où l'on donne les équations différentielles les plus simples pour déterminer les variations des constantes arbitraires, dues à des forces perturbatrices.
3. Où l'on démontre une propriété importante de la quantité qui exprime la force vive dans un système troublé par des forces perturbatrices.

VI - Sur les oscillations très petites d'un système quelconque de corps.
1. Solution générale du problème des oscillations très petites d'un système de corps autour de leurs points d'équilibre.
2. Des oscillations d'un système linéaire de corps.
3. Où l'on applique les formules précédentes aux vibrations d'une corde tendue et chargée de plusieurs corps, et aux oscillations d'un fil inextensible, chargé d'un nombre quelconque de poids et suspendu par ses deux bouts ou par un seulement.
4. Sur les vibrations des cordes sonores, regardées comme des cordes tendues, chargées d'une infinité de petits poids infiniment proches l'un de l'autre ; et sur la discontinuité des fonctions arbitraires.

Notes
1. Sur un point fondamental de la Mécanique analytique de Lagrange ; par Poinsot.
2. Sur la stabilité de l'équilibre ; par Lejeune-Dirichlet.
3. Sur l'équilibre d'une ligne élastique ; par  J. Bertrand.
4. Sur la figure d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation ; par  J. Bertrand.
5. Sur une équation signalée par Lagrange comme impossible ; par J. Bertrand.
6. Sur les équations différentielles des problèmes de Mécanique, et la forme que l'on peut donner à leurs intégrales ; par J. Bertrand.
7. Sur un théorème de Poisson ; par J. Bertrand.
8. Sur les oscillations infiniment petites d'un système de corps ; par G. Darboux.

Volume 2

II - LA DYNAMIQUE (Suite)

VII - Sur les mouvements d'un système de corps libres, regardés comme des points et animés par des forces d'attraction.
Ch. I : Du mouvement d'un corps regardé comme un point et attiré vers un centre fixe par des forces proportionnelles à une fonction de la distance, et en particulier du mouvement des planètes et des comètes autour du Soleil.
1. Du mouvement des planètes et des comètes autour du Soleil supposé fixe.
2. Détermination des éléments du mouvement elliptique ou parabolique.
3. Sur la détermination des orbites des comètes.
Ch. II : Sur la variation des éléments des orbites elliptiques produites par une force d'impulsion ou par des forces accélératrices.
1. Du changement produit dans les éléments de l'orbite d'une planète, lorsqu'elle est supposée recevoir une impulsion quelconque.
2. Variations des éléments des planètes produites par des forces perturbatrices.
Ch. III : Sur le mouvement d'un corps attiré vers deux centres fixes par des forces réciproquement proportionnelles aux carrés des distances.
Ch. IV : Du mouvement de deux ou plusieurs corps libres qui s'attirent mutuellement et en particulier du mouvement des planètes autour du Soleil, et des variations séculaires de leurs éléments.
1. Équations générales pour le mouvement relatif des corps qui s'attirent mutuellement.
2. Formules générales pour les variations séculaires des éléments des orbites des planètes autour du Soleil.
3. Sur les équations séculaires des éléments des planètes, produites par la résistance d'un milieu très rare.
4. Du mouvement autour du centre commun de gravité de plusieurs corps qui s'attirent mutuellement.

VIII - Du mouvement des corps non libres et qui agissent les uns sur les autres d'un manière quelconque.
Ch. I : Formule générales pour la variation des constantes arbitraires, dans le mouvement d'un système quelconque de corps, produites par des impulsions finies et instantanées ou par des impulsions infiniment petites et continuelles.
Ch. II : Du mouvement d'un corps sur une surface ou ligne donnée.
1. Des oscillations d'un pendule simple de longueur donnée.
2. Du mouvement d'un corps pesant sur une surface quelconque de révolution.

IX - Sur le mouvement de rotation.
Ch. I : Sur la rotation d'un système quelconque de corps.
1. Formules générales relatives au mouvement de rotation.
2. Équations pour le mouvement de rotation d'un corps solide animé par des forces quelconques.
3. Détermination du mouvement d'un corps grave de figure quelconque.

X - Sur les principes de l'Hydrodynamique.

XI - Du mouvement des fluides incompressibles.
1. Équations générales pour le mouvement des fluides incompressibles.
2. Du mouvement des fluides pesants et homogènes dans des vases ou canaux de figure quelconque.
2a. Application de ces formules au mouvement d'un fluide qui coule dans un vase étroit et presque vertical.
2b. Applications des mêmes formules au mouvement d'un fluide contenu dans un canal peu profond et presque horizontal, et en particulier au mouvement des ondes.

XII - Du mouvement des fluides compressibles et élastiques.

Notes    
1. Sur la convergence des séries ordonnées suivant les puissances de l'excentricité qui se présentent dans la théorie du mouvement elliptique ; par Puiseux.
2. Sur la solution particulière que peut admettre le problème du mouvement d'un corps attiré vers deux centres fixes par des forces réciproquement proportionnelles aux carrés des distances ; par J-A. Serret.
3. Sur le même sujet ; par Gaston Darboux.
4. Sur un théorème de Mécanique ; par Ossian Bonnet
5. Sur la plus courte distance entre deux points d'une surface ; par J. Bertrand.
6. Note sur la formule de Lagrange relative au mouvement pendulaire ; par A. Bravais.
7. Sur la propagation des ondes ; par J. Bertrand.
8. Sur un théorème de M. Gauss ; par J. Bertrand.

Fragments         
1. Sur la détermination des orbites des comètes ; par Lagrange.
2. Sur le mouvement de rotation ; par Lagrange.
3. Fragment sur les équations générales du mouvement de rotation d'un système quelconque ; par Lagrange.
4. Autre fragment sur la rotation d'un système quelconque ; par Lagrange.

- Rapport de Lacroix sur les manuscrits laissés par Lagrange.

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