CHASLES : Traité de géométrie supérieure, 2e éd., 1880

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Cours de la Sorbonne

Michel CHASLES

TRAITÉ

DE

GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE

Deuxième édition

Paris, Gauthier-Villars
1880

Auteur :
Michel CHASLES


Série : Chasles - Géométrie
Aperçu historique   Dualité et homographie   Géométrie supérieure   Sections coniques   Porismes d'Euclide  
Progrès de la Géométrie

Cours de la Sorbonne

Thème :
MATHÉMATIQUES
Géométrie élémentaire et moderne


Reprint 2007
17 x 24 cm
718 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-257-0



SOMMAIRE

Première section

PRINCIPES FONDAMENTAUX.
THÉORIE DU RAPPORT ANHARMONIQUE ; DE LA DIVISION HOMOGRAPHIQUE ET DE L'INVOLUTION.

I. Avertissement relatif à l'usage des signes + et -, pour déterminer la direction des segments rectilignes ou des angles.

II. Rapport anharmonique de quatre points, de quatre droites et de quatre plans.
1. Premières notions
2. Propriétés géométriques du rapport anharmonique.
3. Propriétés des quatre points situés en ligne droite et d'un faisceau de quatre droites.
4. Formules pour le changement d'origine des segments rectilignes ou des angles.
5. Propriétés de quatre points situés sur une circonférence de cercle - Formules fondamentales de la Trigonométrie - Propriétés du quadrilatère inscriptible au cercle.
6. Relations entre les trois rapports anharmoniques d'un système de quatre points ou d'un faisceau de quatre droites.
7. Nouvelles expressions du rapport anharmonique de quatre points ou d'un faisceau de quatre droites.

III. Propriétés relatives à deux systèmes de quatre points situés sur deux droites, ou à deux faisceaux de quatre droites, qui ont un même rapport anharmonique.
1. Deux systèmes de quatre points.
2. Deux faisceaux de quatre droites.
3. Manières d'exprimer l'égalité des rapports anharmoniques de deux systèmes de quatre points.
4. Manières d'exprimer l'égalité des rapports anharmoniques de deux faisceaux de quatre droites.
5. Manières d'exprimer qu'un faisceau de quatre droites a son rapport anharmonique égal à celui de quatre points.

IV. Rapport harmonique de quatre points ou d'un faisceau de quatre droites.
1. Rapport harmonique de quatre points.
2. Manières d'exprimer que quatre points sont en rapport harmonique.
3. Relations où entre un point arbitraire.
4. Relations où entrent les points milieux de deux segments en rapport harmonique.
5. Relations où entrent deux points arbitraires.
6. Connaissant, dans une proportion harmonique, deux points conjugués et le milieu des deux autres, trouver ceux-ci.
7. Faisceau de quatre droites en rapport harmonique.
8. Relations entre quatre droites en rapport harmonique.

V. Du système de deux points ou de deux droites imaginaires.
1. Manière de déterminer simultanément deux points sur une droite - points imaginaires.
2. Relations entre des points réels et des points imaginaires.
3. Autres éléments par lesquels on peut déterminer deux points imaginaires.
4. Du système de deux points imaginaires en rapport harmonique avec deux points réels.
5. Manière de déterminer simultanément deux droites conjuguées passant par un point donné - droites imaginaires.

VI. Théorie de la division homographique.
1. Divisions homographiques de deux droites - Faisceaux homographiques.
2. Propriétés géométriques de deux droites divisées homographiquement, et de deux faisceaux homographiques.
3. Construction d'un quatrième point ou d'un quatrième rayon, dans deux systèmes de quatre points, ou deux faisceaux de quatre droites, dont les rapports anharmoniques sont égaux.

VII. Différentes manières d'exprimer la division homographique de deux droites ou l'homographie de deux faisceaux.
1. Division homographique de deux droites.
2. Faisceaux homographiques.

VIII. Divisions homographiques formées sur une même droite - Faisceaux homographiques ayant le même centre.
1. Divisions homographiques formées sur une même droite - Points doubles - Point milieu des deux points doubles.
2. Diverses manières d'exprimer deux divisions homographiques sur même droite.
3. Cas où les deux points doubles coÏncident.
4. Propriétés de deux divisions homographiques dont les points doubles sont imaginaires.
5. Cas particulier des divisions homographiques sur une même droite - Divisions en involution.
6. Faisceaux homographiques qui ont le même centre - Rayons doubles.
7. Propriétés de deux faisceaux homographiques dont les rayons doubles sont imaginaires.

IX. Théorie de l'involution.
1. Involution de six points - Relations à six et huit segments.
2. Cas particuliers de l'involution de six points.
3. Propriétés de six points en involution - Point central - Points doubles.
4. Construction du point central, des deux points doubles et du sixième point d'une involution.
5. Relation entre six points en involution, dans laquelle entre un point arbitraire.
6. Manières d'exprimer l'involution par les éléments ou les équations de trois couples de points conjugués.
7. Relations où entrent les points milieux des trois couples de points en involution.
8. Relations diverses.
9. Relations où entrent deux points arbitraires.
10. De trois segments en involution, deux étant donnés avec le point milieu du troisième, déterminer celui-ci.

X. Divisions homographiques en involution.

XI. Faisceaux en involution.
1. Faisceau de six droites en involution.
2. Faisceaux homographiques en involution.
3. Manières d'exprimer que deux faisceaux homographiques sont en involution.

XII. Des deux points qui divisent harmoniquement deux segments donnés.

XIII. Propositions relatives à deux divisions homographiques formées sur une même droite, et à l'involution.
1. Divisions homographiques sur une même droite - Construction des deux points doubles et de leur point milieu.
2. Propositions relatives à l'involution.

Deuxième section

PROPRIÉTÉS DES FIGURES RECTILIGNES. APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES.

XIV. Problème de la section déterminée.

XV. Questions dont la solution se ramène à la construction des points doubles de deux divisions homographiques sur une même droite.
1. Exposé de la méthode.
2. Questions où l'on considère deux divisions homographiques sur deux droites - Problèmes de la section de raison et de la section de l'espace.
3. Questions où l'on considère deux systèmes de deux divisions homographiques.
4. Questions diverses.
5. Résolution d'un système d'équations du premier ou du second degré.

XVI. Propriétés relatives à deux systèmes de points situés en ligne droite - application à la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.
1. Systèmes de points en ligne droite.
2. Décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.

XVII. Divers modes de description d'une droite par points - Système de droites passant toutes par un même point.
1. Description d'une droite par points.
2. Propositions dans lesquelles on considère des droites concourantes en un même point.

XVIII. Propriétés du quadrilatère relatives à l'involution et à la division harmonique.

XIX. Propriétés du triangle.
1. Théorèmes généraux.
- Triangle coupé par une transversale.
- Triangle dans lequel trois droites menées par les sommets concourent en un même point.
- Théorèmes dans lesquels on considère à la fois un point et une droite dans le plan d'un triangle.
- Triangles inscrit et circonscrit l'un à l'autre respectivement.
- Réflexions sur le caractère des démonstrations fondées sur les théories exposées dans cet ouvrage.
- Triangles homologiques.
2. Applications des théorèmes précédents à la démonstration de diverses propriétés du triangle.

XX. Propriétés des polygones en général, du quadrilatère et de l'hexagone.
1. Propriétés des polygones.
2. Propriétés du quadrilatère.
3. Quadrilatère gauche - hyperboloïde à une nappe.
4. Propriétés de l'hexagone.

XXI. Équations d'une droite, ou relations de segments servant à déterminer tous les points d'une ligne droite.
1. Équations entre les segments faits sur deux droites par des rayons tournant autour de deux points fixes.
2. Équations entre des segments faits sur plusieurs axes par des rayons tournant autour de points fixes situés en ligne droite.
3. Équations entre des segments faits sur un ou plusieurs rayons tournant autour de pôles fixes quelconques.

XXII. Équations d'un point, ou relations de segments servant à déterminer une infinité de droites assujetties à passer toutes par un même point - centre de gravité d'un système de points - centre des moyennes harmoniques.
1. Équation entre les segments q'une droite tournant autour d'un point fait sur deux axes fixes.
2. Équation entre les segments faits par une droite tournant autour d'un point fixe sur plusieurs droites concourantes en un même point.
3. Relation constante entre les perpendiculaires abaissées de plusieurs points sur une droite qui tourne autour d'un point fixe - centre de gravité d'un système de points.
4. Centre des moyennes harmoniques d'un système de points.

Troisième section

SYSTÈMES DE COORDONNÉES SERVANT A DÉTERMINER DES POINTS OU DES DROITES.
FIGURES HOMOGRAPHIQUES, ET MÉTHODE GENERALE DE DÉFORMATION DES FIGURES.
FIGURES CORRÉLATIVES, ET MÉTHODE GÉNÉRALE DE TRANSFORMATION DES FIGURES EN D'AUTRES DE GENRE DIFFÉRENT.

XXIII. Systèmes de coordonnées servant à représenter par une équation tous les points d'une courbe.

XXIV. Systèmes de coordonnées servant à représenter par une équation toutes les tangentes d'une courbe.

XXV. Théorie des figures homographiques.
1. Définition et construction générale des figures homographiques.
2. Développements relatifs aux propriétés métriques des figures homographiques - nouvelles définitions de ces figures.
3. Figures homologiques.
4. Expression analytique des figures homographiques.
5. Figures homographiques ayant deux droites homologues coïncidentes à l'infini.
6. Propriétés relatives au système de deux figures homographiques placées d'une manière quelconque l'une par rapport à l'autre.
- De la courbe lieu des points d'intersection des rayons homologues de deux faisceaux homographiques.
- De la courbe enveloppe des droites qui joignent deux à deux les points homologues de deux divisions homographiques.

- Propriétés relatives à deux figures homographiques.
- Où l'on démontre que deux figures homographiques quelconques peuvent être placées de manière à être homologiques ou perspectives l'une de l'autre.
- Figures homographiques dans lesquelles il existe deux droites homologues à l'infini.

XXVI. Théorie des figures corrélatives.
1. Définition et construction des figures corrélatives.
2. Développements relatifs aux propriétés métriques des figures corrélatives - nouvelles définitions de ces figures.
3. Expression analytique des figures corrélatives.
4. Propriété de situation de deux figures corrélatives.

XXVII. Applications de la théorie des figures homographiques et de celles des figures corrélatives, regardées comme méthodes de démonstration.
1. Considérations sur l'usage des deux méthodes - Principe de dualité.
2. Pourquoi l'on ne fait pas usage, dans le cours de cet ouvrage, des méthodes de transformation.
3. Applications diverses des deux méthodes de transformation.
- Transformation des relations de segments.
- Transformation des relations d'angles.
- Usage de la théorie des figures homologiques et de celle des polaires réciproques pour les transformations d'angles.

Quatrième section

DES CERCLES.

XXVIII. Propriétés relatives à un cercle.
1. Du rapport anharmonique de quatre points d'un cercle.
2. Du rapport anharmonique de quatre tangentes à un cercle.
3. Propriétés diverses.
4. Des pôles et polaires dans le cercle.
- Polaire d'un point ; pôle d'une droite.
- Autre manière de démontrer les propositions précédentes.
- Propositions relatives à la théorie des pôles et polaires.
- Quadrilatère circonscrit au cercle.
- Quadrilatère inscrit au cercle.
- Propriétés relatives à trois cordes passant par un même point.
- Propriétés relatives à trois angles circonscrits qui ont leurs sommets en ligne droite.
- Figures polaires réciproques.

XXIX. Propriétés relatives à deux cercles.
1. Des centres de similitude de deux cercles.
2. Corde commune à deux cercles, ou axe radical.
3. Des cercles considérés comme figures homologiques.
4. Propriétés de deux cercles relatives à l'axe radical.
5. Propriétés relatives au quadrilatère circonscrit à deux cercles.
6. Cas où un cercle se réduit à un point.

XXX. Système de trois ou plusieurs cercles ayant le même axe radical.

XXXI. Propriétés de deux cercles, relatives aux deux points dont chacun a la même polaire dans les deux cercles.

XXXII. Système de trois cercles quelconques - Contact des cercles.
1. Propriétés relatives aux trois cercles.
2. Cercle tangent à trois autres.

XXXIII. Cercle imaginaire.
1. Ce qu'on entend par cercle imaginaire.
2. Propriétés relatives à un cercle imaginaire.

XXXIV. Application des théorèmes relatifs à un cercle imaginaire aux propriétés des cônes à base circulaire.
1. Considérations préliminaires.
2. Propriétés relatives aux plans cycliques d'un cône à base circulaire.
3. Propriétés de deux cônes homocycliques.
4. Propriétés relatives aux lignes focales d'un cône.
5. Cônes supplémentaires.

XXXV. Propriétés de deux cercles, relatives à la théorie des fonctions elliptiques.
1. Théorème général.
2. Représentation géométrique des équations relatives aux fonctions elliptiques.
3. Autre mode de représentation, dans le cercle, des équations relatives aux fonctions elliptiques.
4. Transformation des fonctions elliptiques.

 

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