CHASLES : Traité des sections coniques, 1865


CHASLES : Traité des sections coniques, 1865

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Michel CHASLES

TRAITÉ

DES

SECTIONS CONIQUES

faisant suite au

TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE

Première (et unique) partie

Paris, Gauthier-Villars
1865

Auteur :
Michel CHASLES


Série : Chasles - Géométrie
Aperçu historique   Dualité et homographie   Géométrie supérieure   Sections coniques   Porismes d'Euclide   Progrès de la Géométrie

Thème :
MATHÉMATIQUES
Géométrie élémentaire et moderne

Reprint 2007

17 x 24 cm
432 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-282-2



SOMMAIRE

I. Propriétés fondamentales des sections coniques.

1. Définition des sections coniques - Propriété unique d'où doit dériver toute la théorie de ces courbes.
2. Deux propriétés fondamentales des coniques.
3. Réciproque des deux propositions fondamentales.
4. Conséquences immédiates des deux propositions.

II. Théorèmes généraux déduits de deux propriétés fondamentales.
1. Théorèmes relatifs aux points d'une conique.
Théorème de Pappus - Théorème de Desargues - Théorème de Pascal - Théorème de Carnot - Relation homogène entre les distances de chaque point d'une conique à trois droites fixes - Équation de Descartes.
2. Théorèmes concernant les tangentes d'une conique.
Théorème corrélatif de celui de Pappus. - Théorème corrélatif de celui de Desargues - Théorème corrélatif de celui de Pascal (théorème de Brianchon) - Théorème corrélatif de celui de Carnot - Relation homogène entre les distances de chaque tangente d'une conique à trois points fixes.
3. Systèmes de deux droites, ou de deux points, considérés comme représentant une conique.

III. Corollaires des théorèmes généraux - Construction d'une conique déterminée par cinq conditions (points et tangentes).
1. Propriétés relatives aux points d'une conique.
2. Propriétés relatives aux tangentes d'une conique.

IV. Extension des théorèmes généraux - Description organique des coniques - Théorèmes de Newton, de MacLaurin et Braikenbridge - Généralisations de ces théorèmes.

V. Théorie des pôles et polaires - points conjugués ; droites conjuguées - quadrilatères inscrits ou circonscrits - cordes issues d'un même point - angles circonscrits ayant leurs sommets sur une droite.
1. Polaire d'un point - Pôle d'une droite - Propriété relative à un point et à sa polaire.
2. Points conjugués - Droites conjuguées - Systèmes de trois points conjugués, et de trois droites conjuguées.
3. Propriétés des polaires de quatre points situés en ligne droite.
4. Quadrilatère inscrit à une conique - Quadrilatère circonscrit - Quadrilatère inscrit, ou circonscrit, imaginaire.
5. Quadrilatère, et triangle, dans le plan d'une conique.
6. Propriétés relatives aux cordes d'une conique qui passent par un même point.
7. Propriétés relatives à des angles circonscrits à une conique, et dont les sommets sont en ligne droite.
8. Problèmes.

VI. Diamètres et centre d'un conique - diamètres conjugués.
1. Diamètres et centre.
2. Diamètres conjugués.
3. Équation d'une conique rapportée à deux diamètres conjugués - Relation entre les segments qu'une tangente fait sur deux diamètres conjugués - Relation entre les coordonnées des extrémités de deux demi-diamètres conjugués - Relation entre les grandeurs de deux diamètres conjugués - Aires des parallélogrammes construits sur deux diamètres quelconques, ou sur deux diamètres conjugués -Aires des secteurs - Équation de la parabole.

VII. Conséquence de l'égalité entre le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite, et celui des polaires de ces points - Normales et obliques à une conique, menées d'un point donné.
1. Génération d'une conique.
2. Deux systèmes de trois points conjugués par rapport à une conique.
3. Normales et obliques à une conique, menées par un point donné.

VIII. Divisions homographiques sur une conique.
1. Divisions homographiques sur une conique.
2. Polygones inscrits ou circonscrits à une conique.

IX. Courbes polaires réciproques - Coniques homographiques ; homologiques.
1. Polaires réciproques.
2. Coniques homographiques.
3. Coniques homologiques.
4. Deux coniques homologiques, dont l'une a son centre de figure au centre d'homologie.

X. Foyers des sections coniques.

XI. Perspective, et figure homologique d'une conique, de manière qu'un ou deux points donnés deviennent les foyers de la nouvelle courbe.
1. Perspective.
2. Conique homologique.

XII. Propriétés d'involution relatives à plusieurs coniques circonscrites ou inscrites à un quadrilatère.
1. Deux ou trois coniques circonscrites à un quadrilatère.
2. Faisceau de coniques circonscrites à un quadrilatère.
3. Deux et trois coniques inscrites dans un quadrilatère.
4. Systèmes de coniques inscrites dans un quadrilatère.
5. Rapport anharmonique de quatre coniques circonscrites ou inscrites à un quadrilatère.

XIII. Des cordes communes à deux coniques - Système de trois points conjugués communs aux deux courbes.
1. Cordes communes à deux coniques.
2. Système de trois points conjugués.
3. Réalité d'un système de deux cordes communes à deux coniques quelconques.
4. Construction des cordes communes.

XIV. Des points de concours des tangentes communes à deux coniques, ou points ombilicaux.
1. Points ombilicaux de deux coniques.
2. Construction des points ombilicaux.

XV. Relations entre les cordes communes et les ombilics de deux coniques - Coniques homothétiques - Perspective de deux coniques transformées en coniques homofocales.
1-2. Relations entre les cordes communes et les ombilics.
3. Coniques homothétiques.
4. Propriétés relatives à trois coniques qui ont une corde commune, ou un ombilic commun.
5. Perspective de deux coniques qui deviennent deux coniques homofocales, ou deux cercles.

XVI. Propriétés de trois et de quatre coniques passant par quatre points, ou tangentes à quatre droites.
1-2. Trois coniques passant par quatre points.
3. Trois coniques inscrites dans un quadrilatère.
4. Propriété générale de quatre coniques ayant les mêmes points d'intersection.
5. Propriété relative à quatre coniques inscrites dans un même quadrilatère.

XVII. Théorèmes généraux relatifs aux points d'intersection de trois coniques quelconques, et aux tangentes communes à ces courbes prises deux à deux.
1-2. Théorèmes relatifs aux points d'intersection de trois coniques.
3. Théorèmes relatifs aux tangentes communes à trois coniques, prises deux à deux.

XVIII. Nouvelles propriétés relatives à des coniques circonscrites ou inscrites à un quadrilatère.
1. Trois coniques circonscrites ou inscrites à un quadrilatère.
2. Quatre coniques circonscrites ou inscrites à un quadrilatère.

XIX. Coniques ayant un double contact.
1-3. Coniques ayant un double contact.
4. Coniques inscrites à deux coniques.
Pôles et polaires relatifs à un système de coniques inscrites à deux coniques - Corollaires des théorèmes précédents - Quatre coniques inscrites ou circonscrites à un quadrilatère - Théorèmes corrélatifs - Problèmes.
5. Propriétés relatives à trois coniques C, C', C' inscrites dans une autre conique W. Construction d'une conique inscrite dans W et tangente aux trois C, C', C'.
6. Analogies entre des systèmes de coniques inscrites à une conique W, et des systèmes de cercles - Procédé de démonstration applicable également à ces deux genres de questions.

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