Arnaud DENJOY

MÉMOIRE

SUR

LA DÉRIVATION

ET SON CALCUL INVERSE

Paris, Gauthier-Villars
1954

Auteur :
Arnaud DENJOY

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Analyse
Topologie. Mesure. Intégration

Reprint 2008
17 x 24 cm
392 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-307-2



S O M M A I R E

LES NOMBRES DÉRIVÉS

Généralités sur les fonctions et sur les ensembles.
- Notions d'ordre descriptif.
- Continuité sur les ensembles parfaits.
- Notions d'ordre métrique.
- Théorème de l'épaisseur.
- Extension.
Les théorèmes fondamentaux des nombres dérivés.
- Premier théorème (descriptif). Applications.
- Exemples.
- Second théorème (métrique).
- Applications.
Réalisation des quatre cas fondamentaux.
- Exemple d'une fonction en tout point variante et douée d'un dérivé latéral médian ou extrême nul.
Notes.
- Les systèmes stricts d'intervalles.
- Une propriété des résiduels.
- Une propriété générale des ensembles.

LES DÉRIVÉES SOMMABLES

Introduction.
Les fonctions approximativement continues.
- Continuité prépondérante.
L'intégration.
- Selon Riemann.
- Selon Lebesgue.
- La dérivée de la somme besgienne indéfinie.
Exemples de dérivées présentant les deux signes dans tout intervalle.
- Premier exemple ; second ; troisième ; de Köpke.
- Fonctions dérivées partout nulles en dehors d'un ensemble parfait.

TOTALISATION DES NOMBRES DÉRIVÉS NON SOMMABLES

Introduction.

I - La variation des fonctions continues relativement aux ensembles parfaits.
Principe de la gradation des fonctions continues sur les ensembles parfaits.
- Application (fonctions admettant en tout point un dérivé médian ou extrême nul).
La variation simple (d'une fonction continue sur un ensemble parfait).
- Constamment nulle. Décomposition canonique de la fonction. La variation totale.
Fonctions à variations réductibles sur tout ensemble parfait.
- A variation résoluble.
- Application aux nombres dérivés.
- Fonctions ayant en chaque point un dérivé extrême fini.
- Étude complémentaire de la variation sur les ensembles parfaits (ensemble de la valeur de la fonction).
Autres classes de fonctions résolubles.
- Dérivés d'épaisseur.
- Cas de l'épaisseur.

II - Le calcul totalisant.
Théorie des opérations.
- Problème de Lusin généralisé.
- Caractères de la totale, et condition de la totalisée.
- Opérations : première, seconde, troisième.
- Totalisation complète.
- Propriétés de la totalisation.
- Série trigonométrique d'une fonction totalisable.
La suite des opérations totalisantes ne saurait être bornée pour l'ensemble des dérivées.