SOURIAU : Structure des systèmes dynamiques, 1970

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Jean-Marie SOURIAU

STRUCTURE

DES

SYSTÈMES DYNAMIQUES

Paris, Dunod
1970

Auteur :
Jean-Marie SOURIAU

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Géométrie analytique et différentielle
MÉCANIQUE
Mécanique des solides et des fluides
Relativité

PHYSIQUE
Mécanique quantique et ondulatoire
Chaleur. Thermodynamique

Reprint 2008
17 x 24 cm
454 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-321-8

S O M M A I R E

I - GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
Variétés.

- Définition des variétés.
- Ouverts. Applications différentiables.
- Espace vectoriel tangent.
- Variétés plongées.
- Revêtements.
- Connexité.
- Homotopie.
Dérivations.
- Variables.
- Champs de vecteurs. Dérivations.
- Images d'un champ de vecteurs.
- Crochet de Lie.
Équations différentielles.
- Exponentielle d'un champ de vecteurs.
- Image d'une équation différentielle.
Formes différentielles.
- Champs covariants.
- Dérivée de Lie.
- Champs de tenseurs covariants.
- p-formes
- Dérivée extérieure.

Variétés feuilletées.
- Feuilletages.
- Quotient d'une variété par un feuilletage.
- Invariants intégraux.
- Feuilletage caractéristique d'une forme.
Groupes de Lie.
- Définition.
- Groupe de Lie opérant sur une variété.
- Algèbre de Lie d'un groupe de Lie.
- Orbites.
- Représentation adjointe.
- Sous-algèbres et sous-groupes de Lie.
- Stabilisateur.
- Exemples classiques de groupes de Lie.
Calcul des variations.
- Problèmes variationnels classiques.
- Variables canoniques.
- Formalisme hamiltonien.
- Interprétation géométrique des équations canoniques.
- Transformations d'un problème variationnel.
- Théorème de Noether.

II - GÉOMÉTRIE SYMPLECTIQUE                    
2-formes.

- Orthogonalité.
- Bases canoniques.
- Groupe symplectique.
Variétés symplectiques.
- Variétés symplectiques et pré-symplectiques.
- Structures symplectiques définies par une 1-forme.
- Crochets de Poisson.
- Structures symplectiques induites.

Transformations canoniques (symplectomorphismes).
- Cartes canoniques.
- Transformations canoniques.
- Similitudes canoniques.
- Revêtements de variétés symplectiques.
- Transformations canoniques infinitésimales.
Groupes dynamiques.
- Définition d'un groupe dynamique.
- Cohomologie d'un groupe dynamique.
- Cohomologie d'un groupe de Lie.
- Cohomologie d'une algèbre de Lie.
- Variétés symplectiques défilies par un groupe de Lie.

III -  MÉCANIQUE            
Structure géométrique de la mécanique classique.

- Point matériel.
- Systèmes de points matériels.
- Liaisons.
- Expression des forces.
- Espace d'évolution.
- Espace de phases et espace des mouvements.
- Forme de Lagrange.
- Forme de Lagrange pour les systèmes liés.
- Changement de référentiel.
- Principe de relativité galiléenne.
- Principe de Maxwell.
- Potentiels et formalisme variationnel.
- Conséquences géométriques du principe de Maxwell.
- Application : variation des constantes.
- Moments galiléens.
- Exemples de groupes dynamiques.
Principes de la mécanique symplectique.
- Mécanique symplectique non relativiste.
- Moments, masse et barycentre.
- Décomposition barycentrique.
- Espace de Minkowski et groupe de Poincaré.
- Mécanique relativiste.
Description mécaniste des particules élémentaires.
- Systèmes élémentaires.
- Cas I : particules à spin.
- Cas II : particules sans spin.
- Cas III : particules de masse nulle.
- Particules non relativistes.
- Masse et barycentre d'un système relativiste.
- Inversions d'espace et de temps.
Dynamique des particules.
- Point matériel dans un champ électromagnétique.
- Particule à spin dans un champ électromagnétique.
- Systèmes de particules sans interaction.
- Interactions.
- Théorie de la diffusion.
- Diffuseurs bornés.
- Optique géométrique.
- Miroir plan.
- Collisions de particules libres.

IV - MÉCANIQUE STATISTIQUE           
Mesures sur une variété.

- Variétés composées.
- Ensembles compacts.
- Espaces de Riesz.
- Mesures.
- Produit tensoriel de mesures.
- Exemples de mesures.
- Mesures complètement continues.
- Support d'une mesure.
- Mesures bornées.
- Fonctions intégrables.
- Images d'une mesure. Exemples.
- Variables aléatoires.
- Valeurs moyennes.
- Entropie. Loi de Gibbs.
- Ensemble de Gibbs d'un groupe dynamique.
Les principes de la mécanique statistique.
- États statistiques.
- Hypothèses de la théorie statistique des gaz.
- Équilibres d'un système conservatif.
- Gaz parfaits.
- Thermomètre à gaz parfait.
- Chaleur et travail.
- Chaleurs spécifiques.
- Mécanique statistique covariante.
- Équilibre statistique d'un système isolé.
- Mécanique statistique relativiste.
- Gaz parfait relativiste.
- Équilibres statistiques de photons.

V - UNE MÉTHODE DE QUANTIFICATION                 
Quantification géométrique.

- Variétés quantiques.
- Quantification d'une variété symplectique.
- Quantification d'une variété potentielle.
- Quantification d'une sphère S2.
- Quantification par fusion.
- Quantification d'un produit direct.
- Quantification de la particule relativiste de spin 1/2.
- Quantification de la particule de masse nulle (spin 1/2).
- Quantification de la particule de masse nulle (spin 1).
- Variétés de Planck.
- Quantomorphismes.
- Homotopie et quantification.
- Quantomorphismes infinitésimaux.
- Quantification des groupes dynamiques.
- Espace de Hilbert d'une variété quantique.
Quantification de systèmes dynamiques.
- Le principe de correspondance.
- Vecteurs d'état ; observables.
- Formulation de la condition de Planck.
- États stationnaires.
- Formation des équations d'onde.
- Point matériel non relativiste.
- Point matériel relativiste.
- Particule non relativiste de spin 1/2.
- Particule relativiste de spin 1/2.
- Particule de masse nulle, de spin 1/2.
- Particule de masse nulle, de spin 1.
- Assemblées de particules.
- Créateurs et annihilateurs.
- États quantiques.
- Exemples.

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