VOLTERRA : Leçons sur les fonctions de lignes, 1913


VOLTERRA : Leçons sur les fonctions de lignes, 1913

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Vito VOLTERRA

LEÇONS

SUR LES

FONCTIONS DE LIGNES

Paris, Gauthier-Villars
1913

Auteur :
Vito VOLTERRA

Rédaction :
Joseph PÉRÈS

Cours de la Sorbonne

Thème :
MATHÉMATIQUES
Analyse

Reprint 2008
16 x 24 cm
244 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-322-5


S O M M A I R E
 

I - L'évolution des idées fondamentales du calcul infinitésimal.
- Les méthodes infinitésimales.
- Eudoxe de Cnide et Archimède.
- Galilée, Képler, Cavalieri, Descartes, Fermat, Torricelli, Pascal, Wallis.
- Huygens, Neper, Mercator, Roberval, Barrow, Newton, Leibniz.
- Extension des opérations du calcul infinitésimal.
- Calcul différentiel et intégral des substitutions.
- Concept de fonction.
- Passage du fini à l'infini dans le concept de fonction.
- Problèmes qui ressortent du concept de fonction de ligne.
- Différents types d'évolution et différentes sortes d'analyses.

II - Principes de la théorie des fonctions d'une ligne. Exemples.
- Définition, dérivation, calcul de la variation première d'une fonction de ligne.
- Exemples simples : les fonctions de ligne qui généralisent les polynomes homogènes à n variables. Extension de la série de Taylor.
- Les fonctions de lignes introduites par le calcul des variations.
- Définition des fonctions de ligne par des équations différentielles.
- Digression sur les substitutions : l'intégration des équations différentielles linéaires n'est que du calcul intégral appliqué aux substitutions.
- Extension aux fonctions de ligne de la formule de Stokes. Calcul d'une fonction de ligne, sa dérivée étant donnée.

III - La théorie des fonctions de lignes et le calcul des variations.
- Nouvel exemple de théorie qui s'étend aux fonctions de lignes : la théorie des fonctions implicites.
- Les problèmes de variations conduisent à des fonctions de lignes implicites : cas du calcul des variations ordinaires.
- Exemples de problèmes de calcul des variations conduisant à des équations intégrales ou intégro-différentielles.
- Nouvel ordre d'idées : les résultats de Hamilton-Jacobi sur les équations de la Mécanique.
- Nécessité, pour l'extension de ces résultats aux systèmes à infini degrés de liberté, de la considération des fonctions de lignes. Exemples.

IV - Les fonctions de lignes implicites.
- Cas particulier des fonctions définies par une équation intégrale transcendante.
- Par une équation intégrale linéaire à limites constantes (équation de Fredholm), à limites variables (équation de Volterra).
- Résolution de l'équation de Volterra considérée comme cas limite d'un système d'équations linéaires ordinaires.
- Résolution des équations intégrales du type transcendant.
- Extension de la notion de déterminant fonctionnel.
- Cas général des fonctions de lignes implicites.
- Extension de la théorie des parenthèses de Poisson et du théorème de Jacobi sur les fonctions en involution.

V - Étude d'une équation intégro-différentielle du type elliptique.
- Introduction. L'équation intégro-différentielle elliptique type.
- Théorèmes sur l'unicité des intégrales.
- Formule de réciprocité.
- Calcul de la solution fondamentale.
- Application à l'équation de la méthode de Green.

VI - Les équations intégro-différentielles de l'élasticité.
- Rappel de la théorie ordinaire de l'élasticité : étude de la déformation et des tensions.
- Relations entre les déformations et les tensions. Loi de Hooke.
- Application de la méthode de Green.
- L'élasticité en tenant compte de l'hérédité : les nouvelles relations entre les déformations et les tensions, nouvelle forme de la loi de Hooke.
- Nouvelle forme du principe de réciprocité.
- Les solutions fondamentales dans le cas isotrope.
- La résolution dans le cas héréditaire, des problèmes de l'élasticité.
- Étude de problèmes simples de vibration.

VII - La condition du cycle fermé.
- Introduction.
- Postulat de la dissipation de l'action héréditaire.
- Invariabilité de l'hérédité. Condition du cycle fermé.
- Principe du cycle fermé.
- Conséquences et applications de ce principe à des cas tant linéaires que non linéaires.
- Il est utile d'introduire l'hérédité non linéaire pour rendre compte des particularités de certains phénomènes.
- Les équations fondamentales de l'électromagnétisme en tenant compte de l'hérédité.
- Cas statique : importance de l'équation intégro-différentielle du Chapitre V.

VIII - Le problème de la sphère élastique isotrope avec hérédité.
- Les équations de l'élasticité héréditaire dans le cas d'un corps isotrope.
- Théorème d'Almansi sur les fonctions biharmoniques. Grâce à ce théorème le problème de la sphère élastique (déplacements au contour donnés) est réduit à l'intégration d'une équation intégro-différentielle.
- La nouvelle transcendante entière V(z | x, y). Son théorème d'addition.
- Intégration de l'équation  intégro-différentielle précédente.
- Résolution du problème de la sphère élastique (déplacements au contour donnés).

IX - La composition et la permutabilité de première espèce.
- Définitions et règles de calcul.
- Recherche des fonctions permutables avec l'unité. Elles forment le groupe du cycle fermé.
- Extensions diverses de la composition.
- Les séries de fonctions permutables.
- Application de la théorie à la résolution générale des équations intégrales.
- Résolution de quelques équations particulières. Unicité de la solution.
- Application au problème de la sphère isotrope, les tensions au contour étant données.

X - Application de la théorie précédente à la solution des équations intégro-différentielles.
- Généralisation d'un résultat précédent.
- Il permet de déduire d'une équation différentielle dont on connaît une solution, une équation intégro-différentielle dont on connaît une solution.
- Application à l'équation considérée dans le Chapitre V.
- Autre application aux fonctions elliptiques.
- Transformations des théorèmes d'addition.
- Le théorème d'addition de la fonction V(z | x, y).
- Relation de la théorie avec d'autres ordres de recherches.

XI - Étude des fonctions permutables de première espèce.
- Détermination de toutes les fonctions permutables avec une fonction du premier ordre.
- Propriétés des fonctions permutables. Définition des fonctions des divers ordres entiers supérieurs à 1.
- Détermination des fonctions permutables avec une fonction du deuxième ordre.
- Application des résultats précédents à la résolution des équations intégrales à points critiques.

XII - La permutabilité de deuxième espèce.
- Définition.
- Différences entre les deux permutabilités. Les fonctions permutables de deuxième espèce avec l'unité.
- Relations avec la théorie des substitutions ; application à la résolution d'une équation intégrale.

XIII - La résolution des équations intégrales et intégro-différentielles à limites fixes.
- La permutabilité de deuxième espèce considérée comme cas limite d'une permutabilité de quantités à deux indices.
- Les séries de fonctions permutables.
- Application de la théorie à la résolution des équations intégrales ou intégro-différentielles : le problème corrélatif de la résolution d'une équation algébrique ou différentielle.
- Le problème corrélatif relatif à la permutabilité de première espèce (cf. Chap. IX et X).
- Applications. Transformation des théorèmes d'addition.
- Application à l'étude de l'équation intégro-différentielle à limites constantes analogue à celle du Chapitre V.

XIV - L'application du calcul aux phénomènes d'hérédité.
- Introduction.
- Développement de la Mécanique classique.
- Développement de la Physique mathématique classique.
- Mécanique et Physique héréditaire.
- Objections à la Mécanique et à la Physique héréditaire.
- Les méthodes analytiques qui s'appliquent à l'étude de l'hérédité.
- Applications de la théorie de l'hérédité.
- Conclusions.

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