VOLTERRA et PÉRÈS : Leçons sur la composition et les fonctions permutables, 1924


VOLTERRA et PÉRÈS : Leçons sur la composition et les fonctions permutables, 1924

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Vito VOLTERRA et Joseph PÉRÈS

LEÇONS

SUR LA

COMPOSITION

ET LES

FONCTIONS PERMUTABLES

Paris, Gauthier-Villars
1924 

Auteurs :
Vito VOLTERRA
Joseph PÉRÈS

Thème :
MATHÉMATIQUES
Analyse

Reprint 2008
16 x 24 cm
200 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-323-2

 

S O M M A I R E

I - La notion de composition et les fonctions permutables.
- Tableaux permutables et fonctions permutables.
- La composition de première espèce.
- Polynomes de composition.
- Les fonctions permutables avec l'unité.
- Ordres, diagonales et leurs propriétés.

II - Fonctions permutables et équations intégrales.
- Les séries de composition.
- Exemples.
- Le théorème général sur la résolution des équations intégrales.
- Généralisations diverses.
- Passage à un ensemble infini et continu d'équations intégrales.

III - Recherche des fonctions permutables avec une fonction donnée.
- Réduction de la fonction donnée du premier ordre à la forme canonique.
- L'équation intégro-différentielle du problème.
- Les fonctions f12 et f21 sont égales.
- Résolution de l'équation précédente et détermination des fonctions cherchées.
- Extension de la méthode précédente à la recherche des fonctions permutables avec une fonction donnée d'ordre n + 1.
- Cas de n + 1 = 2.
- Remarques sur le cas général.
- Domaines d'existence des fonctions obtenues.
- Cas où les zéros de α(x) ne sont pas des singularités des fonctions permutables avec F(x, y).
- Généralisation de la remarque du paragraphe 4.

IV - Les transformations qui conservent la composition.
- La forme la plus générale du noyau d'une transformation Ω engendrant un corps de fonctions permutables.
- Recherche des transformations Ω qui conservent la composition.
- Autre méthode pour la recherche des mêmes transformations.
- Représentation, par une Ω du type précédent, du groupe des fonctions permutables avec F(x, y).
- Applications de la représentation précédente.
- Comparaison entre les deux méthodes pour la recherche des Ω qui conservent la composition.
- Groupes réguliers de fonctions permutables.
- Quelques formules relatives à ces groupes.
- Groupes isomorphes de fonctions permutables.
- Remarques sur le domaine de définition des fonctions envisagées.

V - Puissances positives de composition.
- Puissances fractionnaires de composition.
- Résolution de quelques équations intégrales.
- Règles de calcul.
- Puissances quelconques (positives) de composition.
- Exemple tiré du cycle fermé.
- Application des transformations de Joseph Pérès.

VI - Fractions de composition et puissances négatives de composition.
- Fractions de composition.
- Égalité et forme réduite des fractions de composition.
- Opérations sur les fractions de composition. Ordres négatifs.
- Extension de la notion de limite.
- Restrictions non indispensables.
- Extension de théorèmes généraux sur la résolution des équations intégrales.

VII - Complément à la théorie précédente. Applications.
- Autre méthode pour introduire la notion de fonction d'ordre quelconque.
- Relations entre équations intégrales de première espèce et équations différentielles ; la notion d'adjointe.
- Recherche d'un noyau f tel que le noyau résolvant correspondant soit une expression linéaire et à coefficients constants de dérivées et intégrales de f.
- Démonstration de quelques formules de Whittaker en vue de la résolution numérique d'équations intégrales.

VIII - La théorie des logarithmes de composition.
- Progressions de composition et extension des logarithmes arithmétiques.
- Base népérienne et logarithmes népériens de composition.
- Propriétés des logarithmes népériens de composition.
- Logarithmes de base quelconque.
- Quelques exemples de détermination de logarithmes de composition.

IX - Les équations intégrales à noyaux logarithmiques et leur application à la théorie des logarithmes de composition.
- Un nouveau type d'équation intégrale de première espèce.
- Étude d'un cas particulier simple.
- Autre méthode et passage à un cas un peu plus général.
- Formules définitives et résolution des équations envisagées au paragraphe 1.
- Application des résultats précédents à la théorie des logarithmes de composition.

X - Fonctions de composition. Dérivées et intégrales de composition.
- Exemples de fonctions de composition.
- La notion de dérivée de composition.
- Définition générale des fonctions de composition.
- Une propriété fondamentale des fonctions de composition ; remarques sur leur définition.
- Cas particuliers.
- Propriétés des fonctions de composition.
- Intégrales de composition.
- Analogies avec la théorie des fonctions de variable complexe.
- Applications : une autre méthode pour définir et calculer les logarithmes de composition.

XI - Fonctions permutables et sommation des séries divergentes.
- Fonction associée d'Émile Borel.
- Remarques d'Henri Lebesgue.
- Une extension de la méthode de sommation exponentielle.
- Cas particuliers.
- Recherches de Nörlund sur la définition de la limite en moyenne d'une fonction.

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