HERMITE : Cours d'Analyse de la Sorbonne, 4e éd., 1891


HERMITE : Cours d'Analyse de la Sorbonne, 4e éd., 1891

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Charles HERMITE

COURS D'ANALYSE

DE LA SORBONNE

Rédigé par Henri Andoyer

Quatrième édition, revue et augmentée

Paris, Librairie Scientifique A. Hermann
1891

 

Auteur :
Charles HERMITE

Rédaction :
Henri ANDOYER

Cours de la Sorbonne

Thème :
MATHÉMATIQUES
Analyse

Reprint 2010
21,5 x 28 cm
312 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-343-0


Extrait de la Table des Matières

1 - Définition de l'aire d'un segment et de la longueur d'un arc de courbe plane. – Aire de l'ellipse, de l'hyperbole des courbes unicursales, de la cycloïde.

2 - Expression par les intégrales elliptiques de l'aire des cubiques planes. – Substitution pour faire disparaître dans un polynôme du 4e degré les puissances impaires. – Aire de l'ellipse en coordonnées polaires, et remarque relative aux changements de variables dans les intégrales définies.

3 - Rectification de la parabole, de l'ellipse et de l'hyperbole. – Théorèmes de Fagnano, de Mgr Graves et de Chasles sur les arcs d'ellipse à différence rectifiable. – Réduction à la forme canonique ; théorème de Landen.

4 - Intégrales hyperelliptiques, leurs réduction aux intégrales de 1re, de 2e et de 3e espèce. – Application à la rectification des courbes unicursales.

5 - Définition du volume d'un cylindre compris entre le plan d'une section droite, et une surface quelconque, et de l'aire d'une portion de surface courbe. – Volume de l'ellipsoïde ; volume des corps de révolution, et quadrature des surfaces de révolution. – Applications. – Intégrales doubles prises entre des limites constantes, leur évaluation approchée ; intégrales simples relatives à une courbe.

6 - Représentation géométrique d'une variable imaginaire ; son importance pour l'étude des fonctions. – Proposition sur la variation de l'argument d'un binôme du premier degré, puis d'un polynôme, lorsque la variable décrit un contour fermé. – Étude succinte de la racine carrée d'un polynôme. – Fonctions uniformes et non uniformes. – Étude de log (x  – a).

7 - Intégrales entre des limites réelles des fonctions imaginaires. – Définition donnée par Cauchy de l'intégrale prise entre des limites quelconques, réelles ou imaginaires ; expression qui résulte de cette définition.

8 - Influence du chemin décrit par la variable, dans l'intégrale de Cauchy. – Méthode de Riemann fondée sur le théorème de Green. – Démonstration du théorème de Neumann et notion des aires à plusieurs contours. – L'intégrale d'une fonction continue et uniforme dans une aire donnée, et prise en suivant le contour entier de cette aire, est nulle. – Exemples de détermination d'intégrales relatives à un contour fermé.

9 - Séries de Taylor et de MacLaurin déduites de l'expression d'une fonction f (x) par la formule de Cauchy. – Application aux fonctions uniformes, ex, sin x, cos x ; démonstration élémentaire de l'irrationnalité des puissances entières de e, ,et du rapport de la circonférence au diamètre. – Application aux fonctions non uniformes, arc tg x, log (1 + x) : de l'existence d'une ligne de discontinuité pour chacune de ces fonctions. – L'intégrale de Cauchy conduit à la notion des coupures ; elle donne l'expression analytique d'une fonction qui coïncide dans des aires déterminées avec des fonctions données arbitrairement, et qui est nulle en dehors de ces aires.

10 - Théorème de Laurent ; expression analytique des fonctions uniformes à laquelle il conduit. – Étude des fonctions holomorphes ; propriétés fondamentales ; démonstration par la méthode de Mittag-Leffler du théorème de Weierstrass sur leur décomposition en facteurs primaires. – Application à sin πx, la décomposition en facteurs met en évidence la périodicité de la fonction. – Du genre des fonctions holomorphes, d'après Laguerre.

11 - Étude des fonctions uniformes non holomorphes, lorsqu'elles n'ont de discontinuité qu'en des points isolés, à distance finie. – Leur expression sous forme explicite, dans une portion limitée du plan. – Notion des pôles et des points essentiels. – Leur expression dans tout le plan par le théorème de Mittag-Leffler. – D'une autre forme propre au cas où il n'existe que des discontinuité polaires.

12 - Application du théorème de Mittag-Leffler à cot x . Définition des nombres de Bernouilli. – Démonstration, d'après Picard, du théorème de Riemann que deux fonctions uniformes ne peuvent coïncider le long s'une ligne de grandeur finie, sans être identiques. – Démonstration du théorème de Cauchy sur l'intégrale d'une fonction uniforme prise le long d'un contour fermé. – Définition des résidus et applications de ce théorème.

13 - Applications du théorème de Cauchy. – Intégrales des fractions rationnelles entre les limites – ∞ et + ∞. Expression des polynômes de Legendre par des intégrales définies. – Théorème de Wallis. – Décomposition en éléments simples des fonctions rationnelles se sin x et cos x, etc.

14 - Définition et propriétés fondamentales des intégrales eulériennes de première et seconde espèce. Détermination de l'intégrale de Raabe d'après Lerch. – Formule d'Euler. pour le développement en série de J ; expressions de Cauchy et de Schaar, du reste de la série. – Détermination, d'après Linbourg, du nombre de termes à employer pour obtenir l'approximation la plus grande que peut donner la série d'

15 - L'intégrale eulérienne de seconde espèce considérée comme une fonction uniforme dans tout le plan. – Expression de Prim. – Définition de Gauss. – Propriétés fondamentales déduites de la considération de la seconde dérivée de log Γ(a).

16 - Exemples de détermination d'intégrales définies par la considération des coupures. – L'extension de l'intégrale d'une fonction uniforme prise entre des limites réelles, à des valeurs imaginaires de ces limites, donne naissance à une fonction ayant un faisceau de droites comme coupures.

17 - Série de Jules Tannery, ayant pour coupure la circonférence dont le centre est à l'origine, et le rayon égal à l'unité. – Résultats analogues et d'une grande généralité obtenus par Paul Appell ; développements en série dans des aires limitées par des arcs de cercle. – Exemple donné par Henri Poincaré d'une fonction définie dans tout le plan, à l'exception d'une certaine région.

18 - Expression par une intégrale définie, du nombre des racines d'une équation, dans un contour fermé. – Expression d'une racine et d'une fonction quelconque d'une racine, lorsque elle existe seule, dans un contour. – Théorème de Cauchy, sur le nombre des racines d'une équation contenues dans un contour fermé. – Algorithme analogue à celui du théorème de Sturm, pour obtenir ce nombre dans le cas des équations algébriques, lorsque le contour est donné par une courbe unicursale.

19 - Série de Lagrange. – Applications à l'équation d'Euler. – Exposé de la méthode de Laplace pour obtenir la condition de convergence. – Indication succinte des propriétés des polynômes de Legendre. – Théorème d'Eisenstein, sur les séries tirées d'une équation algébrique, et dont les coefficients commensurables. – Énoncé d'un théorème de Tchebychef, sur les séries à coefficients commensurables, lorsqu'elles représentent une fonction  explicite de la variable.

20 - Déterminations multiples, suivant les divers chemins parcourus par la variable, de l'intégrale d'une fonction uniforme présentant des discontinuités. – Comment les valeurs multiples amènent en général une complète indétermination. – Proposition de Tchebychef, sur les minima successifs de xay – α, pour des valeurs entières de x et y. – Comment Riemann transforme ces intégrales à déterminations multiples, en fonctions uniformes affectées de coupures. – Transformation analogue de la racine carrée d'un polynôme en fonction uniforme.

21 - Étude d'une intégrale à déterminations multiples.

22 - Théorie des fonctions elliptiques. – Définition du parallélogramme des périodes. – Recherche de l'expression des fonctions doublement périodiques par le quotient de deux fonctions holomorphes. – Décomposition en éléments simples et propriétés générales.

23 - Des fonctions doublement périodiques de seconde espèce ; leur expression analytique lorsqu'elles n'ont que des discontinuités polaires. – Décomposition en éléments simples et propriétés générales. 

24 - Définition et propriétés fondamentales des fonctions de Jacobi Θ(x), H(x), Θ1(x), H1(x). Définition et propriétés fondamentales de snx, cnx, dnx. – Addition des arguments. Des quantités J et J'.

25 - Formes en nombre infini des fonctions Θ(x), H(x), Θ1(x), H1(x). Expressions de snx, cnx, dnx, lorsqu'on remplace K et iK', par L = aK + ibK', et iL'  = cK = idK', a, b, c, dadbc = 1, ad ≡ 1 et  bc ≡ 0 mod 2. – Démonstration du théorème de Riemann sur la partie réelle de K' / K, lorsque le module est imaginaire. Application du théorème de Mittag-Leffler, aux fonctions snx, cnx, dnx.
 

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