BRILLOUIN : Les tenseurs en mécanique et en élasticité, 1938


BRILLOUIN : Les tenseurs en mécanique et en élasticité, 1938

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Léon BRILLOUIN

LES TENSEURS

EN MÉCANIQUE ET EN ÉLASTICITÉ

Paris, Masson
1938

Auteur :
Léon BRILLOUIN

Thèmes :

MATHÉMATIQUES
Géométrie analytique et différentielle
MÉCANIQUE
Mécanique des solides et des fluides
Relativité
PHYSIQUE

Mécanique quantique et ondulatoire

Reprint 2012

19 x 27 cm
382 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-348-5



S O M M A I R E

I - Remarques générales.
- Introduction.
- Le rôle des tenseurs et leur utilité.
- Quelques exemples de tenseurs.
- Le tenseur des efforts en élasticité .
- Comment se transforme le tenseur des efforts, lors d'un changement d'axes cartésiens.
- Tenseurs du second ordre; symétrie ou antisymétrie; cas de dégénérescence.
- Qu'est-ce qu'une matrice ?
- Différentes sortes d'espaces de référence : espace vectoriel affine, espace métrique.
- Les diagrammes thermodynamiques, comme exemples de géométrie affine.

II - Géométrie vectorielle. Définition des tenseurs.
- Les axiomes de la géométrie vectorielle.
- Changements d'axes rectilignes.
- Covariance et contravariance (axes rectilignes) .
- Sommations et indices muets.
- Vecteur covariant et forme linéaire; espace dualistique.
- Définition générale d'un tenseur.
- Modes de formation des tenseurs; opérations d'algèbre élémentaire.
- La multiplication contractée; un critérium du caractère tensoriel.
- Exemples : force, quantité de mouvement, vitesse.
- Distinction entre tenseurs et matrices.
- Axes curvilignes .
- Symétrie et antisymétrie.
- Exemples de tenseurs antisymétriques formés au moyen de produits de vecteurs; produits extérieurs.
- Remarques sur l'emploi des tenseurs de symétrie définie.

III - Les pseudo-tenseurs en géométrie vectorielle. Densités et capacités tensorielles.
- Utilité et rôle des pseudo-tenseurs.
- Réduction des tenseurs antisymétriques à des pseudo-tenseurs d'ordre différent; pseudo-scalaires.
- Autre exemple de pseudo-scalaire; densités et capacités scalaires.
- Densités et capacités tensorielles.
- Exemple de pseudo-tenseurs; l'élément de volume représente le type des capacités scalaires.
- Le tenseur antisymétrique à deux indices, dans l'espace trididimensionnel, se ramène à un pseudo-tenseur.
- Résumé des résultats généraux.
- Les pseudo-tenseurs redonnent les vecteurs axiaux, pour l'espace euclidien tridimensionnel.
- Méthode générale de formation des pseudo-tenseurs des deux types, capacités ou densités.
- Exemples de ces transformations.

IV - Les principaux opérateurs différentiels utilisables en géométrie vectorielle.
- Introduction.
- Définitions usuelles des opérateurs : gradient, rotationnel, divergence, laplacien.
- Nature des précautions à prendre.
- Gradient et rotationnel.
- Sens géométrique du rotationnel pour trois dimensions.
- Le rotationnel, pour un nombre quelconque de dimensions.
- L'opération de divergence.
- Confirmation algébrique du rôle de l'opérateur divergence.
- La divergence appliquée à des densités tensorielles d'ordre supérieur à 1.
- Exemples de divergence; autre mode d'écriture.

V - Postulat de transport parallèle; dérivée covariante en géométrie affine.
- Méthode de H. Weyl.
- Postulat de transport parallèle; coordonnées géodésiques.
- Dérivée covariante d'un vecteur contravariant ou covariant.
- Dérivée covariante d'un tenseur quelconque.
- Dérivées covariantes des pseudo-tenseurs.
- Remarques sur les divergences de densités tensorielles d'ordre quelconque.
- Dérivée absolue d'un vecteur ; lignes géodésiques.
- Le transport d'une quantité à distance finie et les conditions d'intégrabilité.
- Transport en circuit fermé d'un tenseur quelconque ou d'un pseudo-tenseur.
- Signification géométrique de ces formules; courbures de l'espace.
- Un espace à courbure nulle est linéaire.

VI - Géométrie métrique, espace de Riemann.
- Définitions élémentaires.
- Définition générale, tenseur métrique fondamental.
- Exemples simples; coordonnées curvilignes dans l'espace euclidien à trois dimensions.
- Déplacements d'indices; composantes covariantes ou contravariantes d'un même vecteur ou tenseur; valeur absolue; produit scalaire.
- Sens géométrique de ces opérations; composantes d'un vecteur suivant le contour des axes et projections normales.
- Espace euclidien tangent.
- Comment se transforme le déterminant g lors d'un changement d'axes ?
- Types des densités et capacités scalaires.

VII - Les opérateurs différentiels et la dérivée covariante en géométrie métrique.
- Extension des formules du chapitre IV.
- L'opérateur laplacien.
- Exemples d'application.
- Comparaison entre les notations vectorielles usuelles et les notations tensorielles; différences essentielles des définitions.
- Le problème du transport des étalons de longueur; invariance de jauge.
- Dérivées covariantes en géométrie métrique, dans l'espace de Riemann. Symboles de Christoffel.
- Toutes les densités ou capacités scalaires ont des dérivées covariantes nulles.
- Conséquences géométriques et signification des règles de transport parallèle. Coordonnées géodésiques
- Propriétés des géodésiques, longueur minima
- Exemples
- La courbure d'un espace de Riemann. Tenseur de Riemann-Christoffel.
- Le tenseur contracté de Ricci et Einstein et le transport des pseudo-tenseurs en circuit fermé.
- Les identités de Bianchi.
- Coordonnées normales de Riemann; un espace à courbure nulle est euclidien.
- Courbure riemannienne; courbure moyenne de Ricci.

VIII - La mécanique rationnelle et l'emploi des géométries de Riemann.
- Utilité de la géométrie de Riemann en mécanique classique.
- Principe de d'Alembert.
- Équations de Lagrange.
- Cas des liaisons indépendantes du temps.
- Interprétation géométrique.
- Liaisons indépendantes du temps avec énergie potentielle; comment ramener le problème mécanique à une recherche de géodésiques ?
- Utilisation de géodésiques dans l'espace-temps; allusion à la mécanique relativiste.
- Liaisons holonomes dépendant du temps, ou systèmes de référence en mouvement.
- Les systèmes à liaisons variables; interprétation géométrique dans l'espace-temps.
- Discussion et exemples.
- Principe de moindre action de Lagrange.
- Systèmes conservatifs à liaisons holonomes indépendantes du temps.
- La mécanique rationnelle comparée à une optique géométrique; principe de Maupertuis et principe de Fermat.
- Équations de Hamilton; forme générale.
- Équations de Hamilton; systèmes conservatifs.
- Discussion et exemples.
- Quelques conséquences et extensions du principe de moindre action.
- Une analogie thermo-dynamique; distinction entre chaleur et travail mécanique.
- Une très lente transformation conduit à la formule de Boltzmann.
- Transformation adiabatique; invariant adiabatique d'Ehrenfest.
- Pressions de radiation.

IX - Le passage à la mécanique ondulatoire.
- L'introduction des quanta en physique.
- Énergie, fréquence et masse.
- Ondes de Hamilton, longueur d'onde et quantité de mouvement.
- Optique physique et optique géométrique; principe de Fermat.
- Formation d'une équation ondulatoire pour la mécanique.
- Méthode générale de formation de l'équation de l'onde, en mécanique de Schrödinger.
- Les règles de commutation.
- Propagation d'un groupe d'ondes; vitesse de phase et vitesse de groupe.
- Groupes d'ondes dans l'espace.
- Groupes d'ondes en mécanique ondulatoire.

X - Élasticité.
- Les tenseurs en élasticité.
- Rappel de quelques définitions.
- Les tensions élastiques.
- Force résultante sur un élément de volume.
- Étude des déformations, en axes cartésiens.
- Les déformations, définition générale.
- Corps isotrope; invariants de la déformation.
- Définition d'une énergie potentielle, pour un solide déformé.
- Les coefficients d'élasticité, coefficients de Voigt; notations de Lamé; relations de Cauchy.
- Relation entre les forces et les déformations.
- Le milieu solide en mouvement; coordonnées d'Euler.
- Exemple d'étude d'un corps initialement déformé; rôle d'une pression initiale interne ou externe sur les propriétés élastiques.
- Équations de mouvement en coordonnées de Lagrange; formules de Boussinesq.
- Un principe général de minimum.

XI - Ondes élastiques dans les solides.
- Propagation des ondes élastiques dans un cristal.
- Vibrations propres d'un volume parallélépipédique rectangle; conditions cycliques.
- Réflexions d'une onde élastique sur une paroi plane.
- Dénombrement des vibrations propres d'un volume solide limité.
- Étude directe des interférences et ondes stationnaires dans la réflexion sur des miroirs orthogonaux.
- Vibrations propres d'un solide, enfermé dans une enceinte parallélépipédique rectangle, à parois rigides lisses.
- Influence des termes d'ordre supérieur et perturbations dans la propagation des ondes.
- Exemples de ces effets secondaires sur des ondes libres.
- Cas des ondes stationnaires.
- Pression de radiation pour les ondes stationnaires.
- Le calcul des pressions de radiation par la formule de Boltzmann-Ehrenfest.
- Le tenseur des tensions de radiation dans une onde libre.
- Exemples d'application de ces tenseurs .
- Valeurs moyennes, pour ondes élastiques complètement diffusées.
- Ondes élastiques dans un fluide: le liquide considéré comme cas particulier des solides.
- Les conditions de mesure des pressions de radiation; pression sur une palette immergée.
- Que peut-on dire sur les coefficients d'élasticité A, B, C de la seconde approximation ?

XII - La théorie des solides et les quanta.
- Introduction, analyse de l'agitation thermique des solides.
- Interprétation de la dilatation thermique des solides.
- Vibrations d'une corde à structure discontinue; fréquence limite.
- Diverses extensions possibles; exemple de vibrations d'une file d'atomes .
- Dénombrement des vibrations propres; passage au réseau à deux dimensions.
- Réseau cristallin à trois dimensions; ses vibrations propres.
- Hypothèses simplificatrices pour un solide isotrope; méthode de Debye.
- Les quanta et l'énergie d'agitation thermique d'un solide.
- Discussion; comparaisons avec l'expérience.
- Les pressions de radiation et la dilatation thermique du solide .
- Comparaison avec l'expérience; dilatation thermique.
- Thermodynamique du solide idéal.
- Discussion et rappel des points essentiels.
- Essai d'extension de la théorie au cas des liquides.

 

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