Le présent ouvrage développe les leçons que les deux auteurs ont professées au cours de plusieurs années aux Universités de Szeged et de Budapest sous les titres "Fonctions réelles", "Équations intégrales", "Espace de Hilbert", etc. Le premier manuscrit a été achevé en 1948, mais des difficultés techniques en ayant retardé l'impression on y a ajouté dans l'entre-temps quelques paragraphes traitant des résultats les plus récents.
La première partie, sur les théories modernes de la dérivation et de l'intégration, sert d'introduction à la seconde, qui traite des équations intégrales et des fonctionnelles et transformations linéaires. Cette division en deux parties correspond d'ailleurs à la division du travail entre les deux auteurs : Quoiqu'ils aient travaillé ensemble, la première partie a été rédigée principalement par le premier, et la seconde par le second auteur.
Les deux parties forment une unité organique et se groupent autour de l'idée d'opération linéaire. C'est cette idée qui se reflète aussi dans la méthode selon laquelle on édifie la théorie de l'intégrale de Lebesgue ; cette méthode, qui nous paraît plus simple et plus claire que celle fondée sur la mesure, a été utilisée par le premier auteur dans ses cours depuis plus d'une vingtaine d'années, sans être publiée sous sa forme définitive.
La première partie commence par une démonstration directe du théorème de Lebesgue sur la dérivation des fonctions monotones, et on l'applique en particulier à l"étude des relations entre dérivées et intégrales des fonctions d'intervalle. On édifie ensuite la théorie de l'intégrale de Lebesgue et l'on étudie les espaces L² et L^p et leurs fonctionnelles linéaires. L'intégrale de Stieltjes et ses généralisations sont introduites en termes d'opérations linéaires de l'espace des fonctions continues.
La seconde partie commence par un chapitre sur les équations intégrales, dont la théorie a préparé la voie à la théorie générale des transformations linéaires. On expose plusieurs méthodes pour arriver à l'alternative de Fredholm et on les applique dans le chapitre suivant aux équations fonctionnelles complètement continues, de type général, de l'espace de Hilbert ou d'un espace de Banach. Les transformations linéaires complètement continues symétriques sont étudiées dans un chapitre séparé.
On développe ensuite la théorie spectrale des transformations auto-adjointes, bornées et non bornées, de l'espace de Hilbert. On envisage aussi le problème des prolongements des transformations symétriques non bornées. Un chapitre particulier est consacré aux fonctions des transformations auto-adjointes, ainsi qu'à l'étude du spectre et de ses perturbations. Le théorème de Stone sur les groupes de transformations unitaires et des théorèmes voisins, ainsi que certains théorèmes ergodiques, font l'objet d'un autre chapitre.
Le dernier chapitre jette un coup d'œil sur les débuts, encore fragmentaires, de la théorie spectrale des transformations linéaires non nécessairement normales ; on trouve ici la méthode reposant sur le calcul des résidus, ainsi qu'une étude des résultats tout récents de John von Neumann sur les ensembles spectraux.
Frédéric RIESZ et Béla SZ.-NAGY, Avant-Propos

Il y a deux manières d'écrire un livre destiné aux études : on peut se restreindre aux Programmes officiels et n'en pas franchir le cadre ; on peut aussi, en suivant strictement ces Programmes dans ce qu'ils ont d'obligatoire, aller au delà et essayer de les compléter.
Pour appliquer une science, il ne suffit pas d'en connaître quelques parties, il faut être familier avec toutes ses méthodes, en saisir l'ensemble. Les magnifiques découvertes de la Géométrie moderne n'ont pas pénétré dans l'enseignement ; délaissées par les Programmes, elles n'occupent pas dans la série des études mathématiques la place qui leur est due ; on en parle à peine et accessoirement en Géométrie analytique, où elles semblent bien à tort être une nouvelle conquête de l'admirable instrument créé par Descartes.
Nous sommes loin de reprocher aux Programmes leur silence à cet égard ; ils sont tellement chargés, qu'il serait mal venu à réclamer une addition. Mais ne peut-on apprendre un programme d'examen et essayer en même temps de comprendre la portée de la science que l'on étudie, en prenant une connaissance rapide, une vue générale de ses principales méthodes ? Telle est la pensée qui nous a guidés dans la composition de cet Ouvrage.
Eugène ROUCHÉ et Charles de COMBEROUSSE, Avertissement

Cette quatrième édition de mon Algèbre supérieure est divisée en cinq Sections, composées chacune de plusieurs Chapitres.
La première Section renferme la théorie générale des équations et les principes sur lesquels repose leur résolution numérique ; on trouvera en particulier dans cette première Section une théorie très développée des fractions continues.
La deuxième Section comprend la théorie des fonctions symétriques, celle des fonctions alternées et des déterminants, et les nombreuses questions qui s'y rattachent, avec des applications importantes à la théorie générale des équations.
La troisième Section a pour objet l'ensemble des propriétés des nombres entiers qui sont indispensables dans la théorie de la résolution algébrique des équations ; on trouvera dans cette Section une étude complète et nouvelle des fonctions entières d'une variable prises relativement à un module premier.
La quatrième Section renferme la théorie des substitutions ; elle comprend tous les faits principaux acquis à la science, dans cette partie difficile de l'analyse algébrique.
Enfin j'ai réuni dans la cinquième Section tout ce qui se rapporte directement à la résolution algébrique des équations.
Joseph-Alfred SERRET, Avertissement

Les nombres transfinis ne sont pas une nouveauté pour les lecteurs de la Collection de Monographies sur la Théorie des Fonctions. Il en a été question dès le premier Volume, mes Leçons sur la théorie des fonctions, dont la première édition remonte à 1898 ; il en a été question également dans les livres de René Baire sur les fonctions discontinues et de Henri Lebesgue sur la théorie de l'intégration. Mais dans ces Ouvrages, les nombres transfinis sont étudiés comme un moyen de résoudre divers problèmes de théorie des fonctions ; W. Sierpinski les étudie en eux-mêmes ; il regarde la théorie des ensembles comme ayant son intérêt et son objet propre, indépendamment de ses applications. Ce n'est pas seulement cette différence de point de vue, après tout secondaire, qui caractérise l'Ouvrage de W. Sierpinski. Ce qui le distingue surtout, c'est le fait que W. Sierpinski croit effectivement à la réalité de tous les nombres transfinis, et admet sans restriction les raisonnements tels que celui par lequel E. Zermelo a « démontré » que le continu peut être bien ordonné. Ce n'est pas ici le lieu de rappeler les objections que j'ai faites par ailleurs à l'encontre des déductions du genre de celles de E. Zermelo. Il m'a paru que ces divergences de point de vue ne devaient pas m'empêcher — au contraire — d'accueillir dans cette collection l'Ouvrage de W. Sierpinski. J'espère, d'ailleurs, pouvoir y accueillir bientôt un Ouvrage d'un éminent géomètre russe, Nicolas Lusin qui, dans cette controverse, a pris une attitude analogue à la mienne. Les lecteurs fidèles de cette collection auront ainsi entre les mains tous les éléments nécessaires pour se faire une opinion personnelle sur ces questions délicates, qui sont aux confins des Mathématiques et de la Philosophie. Ils ne seront pas moins reconnaissants que moi-même à l'égard de W. Sierpinski pour son exposé si élégant et si complet.
Émile BOREL, Préface

A reparaître

Le présent traité est un ouvrage de mathématiques pures, destiné à tous ceux qui doivent appliquer l'algèbre linéaire.
On sait que ces applications jouent un rôle essentiel dans des disciplines très diverses : calcul différentiel et intégral, mécanique des systèmes et des milieux continus, physique classique (optique et électricité notamment) et moderne (relativité et physique quantique), calcul des probabilités, statistique, recherche opérationnelle, art de l'ingénieur, etc.
Le lecteur trouvera ici un exposé complet du point de vue logique, qui ne suppose pas d'autres connaissances que celles de l'enseignement secondaire. Les exercices proposés lui permettront d'acquérir l'aisance indispensable dans le maniement des notions théoriques, et dans leur application aux problèmes concrets.
Nous avons cherché à donner de l'unité aux diverses théories présentées, en considérant directement les opérateurs linéaires, aussi bien dans les raisonnements géométriques que dans les calculs; c'est ce que veut rappeler le titre de l'ouvrage.
D'autre part, ce souci d'unité nous a amené à réduire le plus possible le nombre des définitions axiomatiques, en les remplaçant par des constructions directes; à éviter les théorèmes d'invariance, qui deviennent évidents par l'emploi de méthodes intrinsèques ; à apporter un soin particulier au choix des notations. En la matière, les habitudes courantes dans les diverses théories linéaires sont souvent contradictoires ; il a fallu parfois innover ; l'expérience nous a montré que les notations proposées facilitent la compréhension et les calculs, tout en permettant de lire les traités et ouvrages classiques.
Jean-Marie SOURIAU, Avertissement

Ce livre contient des développements de mathématiques pures, qui peuvent être lus indépendamment du reste ; cette lecture ne demande pas d'autres connaissances que celles du premier cycle des Facultés des Sciences.
Le chapitre I est un exposé des résultats essentiels de la géométrie différentielle ; nous ne donnons que les démonstrations qui servent directement à la compréhension des questions abordées ; le lecteur pourra trouver les autres dans les traités spécialisés.
Le chapitre II, consacré à la géométrie symplectique, contient, non seulement les résultats classiques de la théorie, mais aussi l'étude détaillée des théorèmes de type cohomologique mis en jeu par la notion abstraite de groupe dynamique ; ainsi que la génération réciproque de variétés symplectiques à partir des groupes de Lie.
Le § 16 (Chap. IV) est consacré à la notion de mesure sur une variété ; les démonstrations qui ne sont pas données se trouvent dans le traité de Bourbaki. Le texte est illustré d'exemples variés : convolution sur un groupe de Lie, variables aléatoires, moments, loi normale de Gauss, ensemble de Gibbs d'un groupe dynamique, photométrie classique.
Le § 18 est, lui aussi, purement mathématique ; il semble d'ailleurs que la « quantification géométrique » qui y est exposée puisse servir dans les problèmes de représentation unitaire des groupes. Nous en profitons d'ailleurs pour énoncer les définitions essentielles de cette théorie, espaces de Hilbert et C*-algèbres notamment.
Jean-Marie SOURIAU, Introduction

C'est à Hamilton qu'était réservée la découverte de l'emploi de √-1 comme d'une réalité géométrique, apte à représenter une direction quelconque dans l'espace, mais non liée à une seule d'entre elles ; et sur cette application il fonda la méthode très élégante et en même temps très puissante connue maintenant sous le nom de Calcul des Quaternions.
Tandis que les systèmes différents du sien font choix d'une direction particulière dans l'espace pour la faire servir à la représentation des quantités réelles, réservant les expressions imaginaires pour la représentation de toutes les directions situées en dehors de la première, Hamilton trouve qu'il peut rendre imaginaires, ou plutôt géométriquement réelles, toutes les directions sans aucune exception, et par ce moyen il donne à son calcul la faculté de traiter l'espace d'après des règles qui sont les mêmes, quelle que soit l'orientation des constructions relativement aux différentes directions dans l'espace.
Nous verrons en effet que la méthode des Quaternions est indépendante d'un emploi quelconque d'axes de coordonnées ou d'autres directions données a priori ; au contraire, elle ne prend pour repères que les seules lignes dont la définition fait partie des problèmes à traiter.
[...]
Nous consacrerons la dernière Partie de cet Ouvrage à la résolution de quelques questions de Physique mathématique, dans le but de montrer avec quelle facilité la méthode des Quaternions s'applique à des problèmes de ce genre.
Nous sommes convaincu que c'est dans le domaine des questions de Physique que la méthode des Quaternions est appelée à rendre de vrais services, mieux encore que dans les problèmes de la Géométrie et de la Cinématique.
Nous ne serons peut-être contredit que par ceux des mathématiciens pour lesquels la théorie des transversales et celle des faisceaux anharmoniques ont un charme auquel nous ne sommes pas sensible. Il est clair que nous ne pouvons pas donner ici des applications pour toutes les branches de la Physique mathématique, ni même pousser nos investigations bien loin dans l'une quelconque de ces branches ; cet Ouvrage n'est pas destiné à enseigner les résultats de la Physique, mais seulement à montrer, par des exemples, combien la méthode des Quaternions semble expressément inventée pour s'adapter aux exigences des problèmes qui se présentent dans cette Science.
Peter-Guthrie TAIT, Extraits de l'Ouvrage

Le livre de Paul Tannery, comme l'indique un sous-titre, va de Thalès à Empédocle. Il débute cependant par une Introduction sur les quatre âges de la Science antique et fait une part intéressante aux « doxographes » c'est à dire aux descripteurs d'opinions plus occupés de faire l'histoire des pensées émises avant eux que d'augmenter le bagage. Puis viennent la chronologie des « physiologues » et de prodigieux chapitres consacrés à Thalès de Milet, Anaximandre de Milet, Xénophane de Colophon, Anaximène, Héraclite d'Ephèse, Hippasos et Alcméon, Parménide d'Elée, Zénon d'Elée, Mélissos de Samos, Anaxagore de Clazomène, Empédocle d'Agrigente, tous traités d'ailleurs tant au point de. vue doxographique qu'à celui de leur génie propre. Que de comparaisons à faire avec les idées modernes ! Combien, par exemple, le « tout dans tout » d'Anaxagore fait penser à la compénétration de toutes choses en Mécanique ondulatoire ! Deux appendices intitulés «Théophraste sur les Sensations» et « Sur l'Arithmétique pythagoricienne » terminaient la première édition. Il faut maintenant y adjoindre deux comptes rendus à propos de Mélissos et une lettre à Gaston Milhaud.
Adolphe BUHL, L'Enseignement Mathématique, Vol.29 (1930) 

La veuve de Paul Tannery, Marie Tannery, que rien ne semblait préparer à cette tâche, entreprit de réunir toutes les études : mémoires, notes érudites, articles de synthèse, comptes rendus d'ouvrages, ainsi que la volumineuse correspondance scientifique de Paul Tannery, afin de regrouper cet ensemble en volumes et le rendre ainsi plus aisément utilisable. Aidée dans sa tâche par d'éminents savants français ou étrangers, amis de son mari comme J. L. Heiberg, H. G. Zeuthen, ou G. Loria, ou continuateurs de son œuvre, comme A. Diès, J. Pérès et P. Louis, elle sacrifia de longues années et la totalité de sa fortune à la publication des Mémoires scientifiques de Paul Tannery, monument grandiose qui permet d'apprécier à sa juste valeur et d'utiliser de la façon la plus commode l'œuvre du plus grand historien des sciences que la France ait connu.
René TATON, Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, 1954, Vol. 7, N° 7-4

La veuve de Paul Tannery, Marie Tannery, que rien ne semblait préparer à cette tâche, entreprit de réunir toutes les études : mémoires, notes érudites, articles de synthèse, comptes rendus d'ouvrages, ainsi que la volumineuse correspondance scientifique de Paul Tannery, afin de regrouper cet ensemble en volumes et le rendre ainsi plus aisément utilisable. Aidée dans sa tâche par d'éminents savants français ou étrangers, amis de son mari comme J. L. Heiberg, H. G. Zeuthen, ou G. Loria, ou continuateurs de son œuvre, comme A. Diès, J. Pérès et P. Louis, elle sacrifia de longues années et la totalité de sa fortune à la publication des Mémoires scientifiques de Paul Tannery, monument grandiose qui permet d'apprécier à sa juste valeur et d'utiliser de la façon la plus commode l'œuvre du plus grand historien des sciences que la France ait connu.
René TATON, Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, 1954, Vol. 7, N° 7-4

La veuve de Paul Tannery, Marie Tannery, que rien ne semblait préparer à cette tâche, entreprit de réunir toutes les études : mémoires, notes érudites, articles de synthèse, comptes rendus d'ouvrages, ainsi que la volumineuse correspondance scientifique de Paul Tannery, afin de regrouper cet ensemble en volumes et le rendre ainsi plus aisément utilisable. Aidée dans sa tâche par d'éminents savants français ou étrangers, amis de son mari comme J. L. Heiberg, H. G. Zeuthen, ou G. Loria, ou continuateurs de son œuvre, comme A. Diès, J. Pérès et P. Louis, elle sacrifia de longues années et la totalité de sa fortune à la publication des Mémoires scientifiques de Paul Tannery, monument grandiose qui permet d'apprécier à sa juste valeur et d'utiliser de la façon la plus commode l'œuvre du plus grand historien des sciences que la France ait connu.
René TATON, Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, 1954, Vol. 7, N° 7-4

Avertissement

Le but du présent Ouvrage est d'initier le lecteur à ce puissant courant de la pensée contemporaine qui s'est centré sur la logique mathématique. Ce courant a eu sa source dans le besoin d'établir les mathématiques sur une base solide ; mais, dans son état actuel, il doit viser des objectifs plus vastes, et, notamment, celui de créer un appareil conceptuel fournissant un fondement commun pour l'ensemble du savoir humain, et de perfectionner la méthode déductive qui, dans tout domaine de l'activité intellectuelle, est un instrument indispensable pour tirer des conclusions de suppositions préalables.
Pour réaliser ce dessein dans les limites d'un ouvrage relativement court sans supposer chez le lecteur des connaissances spéciales en mathématiques ou un entraînement particulier à penser d'une manière abstraite, l'Auteur a adopté un langage qui diffère aussi peu que possible du langage de tous les jours, et il n'a fait qu'un usage restreint d'un symbolisme logique spécial. En même temps, il a essayé de combiner la plus grande intelligibilité possible avec la concision nécessaire, et d'éviter tout ce qui serait, du point de vue scientifique, une erreur ou une inexactitude grossière.
L'Ouvrage consiste en deux parties. La première constitue une introduction générale à la logique. La deuxième montre, sur un exemple concret, la manière dont la logique et la méthodologie sont appliquées dans la construction des théories mathématiques; elle permet au lecteur d'assimiler et d'approfondir les connaissances acquises par l'étude de la première partie. Chacun des 12 chapitres se termine par une série d'exercices.

Pour chaque courbe ou famille de courbes étudiées, il y a, en sus d'aperçus historiques fouillés, au moins autant que le sujet s'y prête, donc très fréquemment :
- des définitions « géométriques » avec constructions de points et de tangentes ;
- des recherches d'équations de courbes : cartésiennes, polaires, éventuellement bipolaires, intrinsèques, paramétriques, tangentielles, sphériques,…
- la mise en évidence de multiples propriétés relatives - s'il y a lieu - aux foyers, asymptotes, tangentes, courbure ;
- un plongement dans une famille de courbes plus générales ;
- des rapprochements avec des courbes « voisines » ;
- des études de transformations par inversion, polaires réciproques, homographie,…
- des recherches de développées, développantes, podaires, caustiques,…
- des rectifications et des calculs d'aires ou de volumes ;
- l'étude de problèmes, lieux géométriques, enveloppes, faisant intervenir les courbes étudiées, ou issus de variations de leurs caractères (paramètres, foyers, asymptotes, rayon de courbure, points d'inflexion ou de rebroussement,…)
Sur l'ensemble des trois tomes, naissent et se développent ainsi, se confrontent, des milliers d'études et de théorèmes avec - souvent - des références pour aller plus loin,…
Loin de peser, cette exubérante érudition, canalisée en d'intelligents exposés à base de problèmes, émerveille, séduit, retient… On ne se lasse pas…
[...]
Voilà donc un ouvrage à avoir à portée de main, et pas seulement pour notre plaisir… A mettre au moins dans toute bibliothèque de lycée ou d'enseignement supérieur !
Henri BAREIL, Bulletin de l'APMEP, n° 398, avril-mai 1995

Comme certaines recherches sur les propriétés des solutions des équations différentielles analytiques nécessitent la connaissance de quelques points de la théorie des fonctions algébriques, j'ai été amené à consacrer deux chapitres à cette théorie et à celle des intégrales abéliennes. Cela m'a permis de donner la démonstration de quelques théorèmes relatifs aux courbes algébriques planes, qui ne sont plus enseignés dans les cours de mathématiques spéciales, et de mettre ainsi en évidence, une fois de plus, l'unité des mathématiques.
Trois sortes d'équations définissant des fonctions sont ainsi étudiées dans ce livre : les équations algébriques à deux variables, les équations différentielles et les équations aux dérivées partielles. Toutes ces équations sont des équations fonctionnelles. Ainsi se trouve justifiée la première partie du titre donné à ce volume : équations fonctionnelles. Quant aux applications, ce sont les applications de l'analyse à la géométrie, y compris quelques applications du théorème d'Abel sur les intégrales abéliennes.
Georges VALIRON, Préface

Le but de la théorie de Galois n'est pas de fournir des formules pour la résolution des équations, mais de rechercher une chaîne d'équations auxiliaires dont les racines, si elles étaient connues, permettraient de calculer les racines de l'équation donnée par des opérations rationnelles. Même non résolues, ces équations auxiliaires peuvent, par certaines de leurs propriétés, révéler des propriétés importantes des racines de l'équation donnée. Pour construire cette chaîne d'équations auxiliaires, Galois ne suit pas, comme ses devanciers l'avaient tenté, infructueusement d'ailleurs, la voie directe ; son trait de génie est d'avoir découvert une voie parallèle, aisée et sans embûches, qui part non pas de l'équation donnée mais de son groupe et dont chaque étape fournit sans peine l'une des équations auxiliaires.
Gustave VERRIEST