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Mes premières études sur les fonctions qui dépendent d'autres fonctions et les fonctions de lignes, ou d'un nombre infini et continu de variables, remontent à l'année 1883. Je suis parti du calcul des variations. Mais je n'ai publié des travaux d'une manière systématique sur ce sujet qu'à partir de 1887. Cependant, en 1884, j'ai communiqué une Note à l'Académie des Lincei où j'ai relié au calcul des variations les équations intégrales à noyau symétrique.
J'ai interrompu les publications sur cette matière pendant les années 1891-1895 où j'ai dû m'occuper d'autres recherches, et je n'ai recommencé qu'en 1896 par les Notes de l'Académie de Turin sur l'inversion des intégrales définies.
Dès la première Note, j'ai envisagé les équations intégrales comme le cas limite d'équations algébriques linéaires. C'est par cette considération que je suis arrivé à l'emploi des déterminants infinis pour l'inversion des intégrales définies (résolution des équations intégrales). J'ai parlé de cet emploi dans des conversations privées à Zurich en 1897. J'ai eu aussi l'occasion de parler de cet emploi dans une conférence que j'ai faite en 1898 sur la question des oscillations des liquides pesants (Problème des Seiches).
Les mêmes conceptions relatives au passage du fini à l'infini m'ont guidé dans l'étude des équations intégro-différentielles et dans celle des fonctions permutables. J'en ai commencé l'exposition en 1909. On trouvera un premier aperçu de ces études dans le dernier Chapitre de ces Leçons.
Vito VOLTERRA, Préface

38,00 *
Référence: 322

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Les nouvelles équations fonctionnelles que M. Vito Volterra a, le premier, considérées et qu'il a dénommées équations intégro-différentielles aux dérivées partielles (1), sont susceptibles de jouer un rôle de la plus haute importance, ainsi que l'a fait voir l'illustre géomètre, en Mécanique et en Physique Mathématique.
En Analyse pure, elles présentent un intérêt tout spécial en raison de leur grand degré de généralité: elles contiennent en effet, comme l'on sait, sous des signes d'intégration (simple ou multiple) non seulement la fonction inconnue - comme cela a lieu pour les équations intégrales - mais encore certaines de ses dérivées partielles de divers ordres par rapport aux variables indépendantes.
De ce fait elles renferment, à titre de cas particuliers, les équations intégrales à une ou plusieurs variables ainsi que les équations différentielles ordinaires - ou aux dérivées partielles - sans d'ailleurs leur être réductibles en général (2).
Par suite, tout résultat les concernant s'applique automatiquement et directement à ces derniers types d'équations.
Or une équation différentielle, par exemple, se montre parfois plus maniable après qu'elle a été transformée par des intégrations convenables et mise sous forme d'une équation intégrale ou intégro-différentielle, comme si l'intégration était en quelque sorte - suivant une remarque de M. Hadamard - un instrument de calcul plus puissant et plus commode que la différentiation.
On voit donc qu'il y aura souvent tout avantage à traiter du premier coup le Cas général des équations intégro-différentielles aux dérivées partielles.
L. POMEY, Équations intégro-différentielles, ICM 1928

(1) Vito VOLTERRA : Leçons sur les fonctions de lignes, 1913
(2) Vito VOLTERRA : Leçons sur les équations intégrales et les équations intégro-différentielles, 1913 

 

50,00 *
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Au cours de l'hiver 1928-1929, M. Émile Borel et la Direction du nouvel Institut Henri Poincaré me firent le grand honneur de me demander quelques conférences. Je choisis comme sujet la théorie mathématique des fluctuations biologiques. Le présent ouvrage a le titre même de ces conférences : Théorie mathématique de la lutte pour la Vie.
En effet le domaine d'application de ces recherches comprend tous les phénomènes de lutte entre les individus d'une collectivité, les gains des uns étant obtenus grâce aux pertes des autres, gains et pertes pouvant s"évaluer numériquement.
Cette étude repose sur celle des intégrales de certaines équations différentielles et intégro-différentielles, qu'il faut examiner très en détail soit d'une manière quantitative, soit, bien souvent, d'une manière seulement qualitative.
Je tiens ici à rendre hommage à la mémoire de Henri Poincaré et à son génie, en rappelant combien il a insisté dans certains de ses travaux classiques, sur le rôle que peut jouer dans la philosophie naturelle l'étude qualitative des intégrales des équations différentielles.
Vito VOLTERRA, Préface

35,00 *
Référence: 323

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Les théories développées dans cet Ouvrage avaient déjà été abordées dans deux volumes précédemment parus de cette collection : mes Leçons sur les équations intégrales et les équations intégro-différentielles, et mes Leçons sur les fonctions de lignes.
C'est en effet, pour résoudre le premier problème qui se présente dans la théorie des équations intégrales linéaires que j'ai introduit l'opération de composition en formant les puissances entières de composition du noyau de l'équation intégrale et en démontrant que ces puissances sont des fonctions permutables entre elles ; le noyau résolvant apparaît alors comme une série de composition, c'est à dire une fonction de composition. Les trois concepts fondamentaux d'opération de composition, de permutabilité et de fonctions de composition, concepts qui seront étudiés dans ces Leçons, ont donc pour commune origine la méthode que j'ai donnée pour la résolution des équations intégrales.
Aussi, dès le second Chapitre du premier volume déjà cité, les deux premiers concepts apparaissent sous leur forme primitive limitée aux puissances entières du noyau ; dans le dernier Chapitre ils sont envisagés d'un point de vue plus général.
Dans le second volume, la théorie de la composition et des fonctions permutables est beaucoup plus développée, spécialement en vue des applications à la résolution d'équations intégrales et intégro-différentielles qui interviennent dans certaines théories de la Physique mathématique ; on y envisage d'autre part des classes plus étendues de fonctions de composition.
Mais l'opération de composition et la permutabilité n'apparaissent dans les deux volumes précédents que d'une manière indirecte et en fonction de leur utilité pour résoudre certains problèmes. En outre, quoiqu'on y emploie plusieurs fois des fonctions de composition on ne leur donne pas de dénomination spéciale, et l'on n'en expose pas une théorie générale.
Or, par divers travaux qui ont suivi la publication de ces Ouvrages, la théorie de la composition de première espèce s'est beaucoup développée. Il a donc paru utile de dégager cette théorie des recherches auxquelles elles avaient servi d'auxiliaire et d'en donner un exposé autonome, plus systématique et complet : c'est ainsi que fut conçu le plan de ces Leçons.
Vito VOLTERRA, Préface

42,00 *
Référence: 263

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Les résultats fondamentaux de la science mathématique ont souvent été obtenus bien avant qu'on puisse les établir d'une manière entièrement rigoureuse, et il en a été ainsi, pour la mécanique, dans une mesure bien plus grande que pour l'arithmétique ou l'analyse infinitésimale. Peut-être pourrait-on comparer l'état actuel de la mécanique, dans sa partie proprement rationnelle, à celui de l'analyse infinitésimale avant A. L. Cauchy ; les réflexions que M. Hertz a présentées sur la première s'appliquent presque textuellement à la seconde.
L'exposition que nous nous proposons de donner ici des principes de la mécanique, avec le développement qu'ils possèdent à notre époque, n'a pas la prétention de faire disparaître partout les difficultés logiques actuelles ; elle a plutôt pour but de contribuer à une unification progressive de ces principes, qui est certainement désirable, et à l'extension du domaine où la mécanique peut recevoir l'exactitude, l'universalité et la nécessité absolues qui appartiennent aux vérités mathématiques.
Aurel VOSS, Eugène COSSERAT et François COSSERAT, Introduction

45,00 *
Référence: 349

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Dans la théorie des fonctions de variables réelles, qui forme les onze premiers chapitres de ce livre, j'ai considéré plus particulièrement les fonctions qui sont en général continues ; ce sont celles que l'on rencontre le plus souvent dans les applications. Aussi ai-je donné la place principale à l'intégrale au sens de Riemann, et n'ai-je introduit l'intégrale de Stieltjes que dans les cas les plus simples. Mais j'ai exposé brièvement, à titre de complément, les premiers éléments de la théorie de Lebesgue : théorie de la mesure des ensembles linéaires et théorie des fonctions mesurables d'une variable (Chap. V). C'est également comme complément que je donne des indications sur les fractions continues arithmétiques (Chap. I, § III), la démonstration de la transcendance de e et de π (n° 50), une théorie indépendante des fonctions analytiques d'une variable réelle (Chap. VI, II), des considérations sur certaines intégrales curvilignes planes (n° 58) et sur les notions d'aire et de volume (n° 158).
J'ai insisté un peu plus qu'on ne le fait ordinairement sur les procédés de calcul numérique des intégrales définies ; la formule d'Euler et Mac-Laurin et la méthode de Gauss sont données en détail. La théorie de la série de Fourier, déjà connue en partie des étudiants de mathématiques générales, a été traitée par la méthode des moyennes arithmétiques ; elle est appliquée au problème des cordes vibrantes.
Dans la théorie des fonctions d'une variable complexe, j'ai fait jouer un rôle important à la représentation géométrique, c'est à dire à la représentation conforme. La transformation homographique est étudiée avec quelques détails et des indications sont données sur la géométrie de Poincaré, image de la géométrie de Lobatchewsky. J'ai apporté quelques compléments aux questions habituellement traitées dans les cours de calcul différentiel et intégral : théorème d'Hadamard sur la partie réelle (n° 184), théorème de Laguerre sur les polynômes à zéros réels (n° 193), théorème de Poincaré et Volterra sur le prolongement analytique (n° 201), formules de Jensen, Poisson et Nevanlinna (n°s 207-208), théorème d'Hadamard sur la décomposition en facteurs des fonctions entières d'ordre fini (n° 210).
D'autre part, j'ai amorcé l'étude de quelques théories dont l'exposition, grâce aux efforts de nombreux mathématiciens contemporains, se présente désormais sous une forme simple et n'exigeant pas de longs développements. Je donne au Chapitre XV la démonstration du théorème sur la représentation conforme des aires simplement connexes à partir de théorèmes sur les suites de fonctions holomorphes ; j'en déduis les propositions les plus simples sur la représentation conforme d'un demi-plan sur un polygone ou sur un triangle circulaire (théorèmes de Schwarz), puis à l'aide de la fonction modulaire elliptique des théorèmes de Picard, Landau, Schottky, Julia. Dans la théorie des fonctions elliptiques (Chap. XVI), les fonctions de Jacobi sont introduites à la suite de l'étude des fonctions qui restent invariantes par la multiplication de la variable par un facteur fixe. Dans le dernier chapitre, je donne d'abord les théorèmes de Borel et de Mittag-Leffler sur le prolongement analytique, comme applications des propriétés de la fonction eulérienne gamma et de théorèmes de Lindelöf et Phragmén ; puis, après avoir étudié les fonctions introduites par Riemann dans la théorie analytique des nombres, je termine ce premier volume par la démonstration, d'après Hadamard et Landau, de la formule donnant l'expression asymptotique du nième nombre premier.
Georges VALIRON, Préface

80,00 *
Référence: 324

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La Géométrie infinitésimale, dotée à Paris d'une chaire magistrale, est enseignée dans plusieurs Universités des départements ; à Lille notamment, M. Demartres, donne depuis de longues années un enseignement de Géométrie, très original et très personnel, dans lequel il a formé des disciples nombreux et enthousiastes. Cet enseignement, quoique très élevé, peut être considéré comme une sorte d'introduction aux hautes recherches que M. Darboux a exposées successivement dans son Cours et qu'il a résumées dans son beau Traité*.
Sans doute, depuis la création des certificats d'études supérieures, l'accroissement des programmes d'Analyse a donné lieu a une extension notable, quoique insuffisante, des applications géométriques ; mais l'ordre où dans les Traités d'Analyse, ces notions sont présentées est, non leur ordre logique et nécessaire tel qu'il résulte des définitions géométriques, mais l'ordre des théories analytiques auxquelles elles servent d'application ; c'est ainsi, pour ne prendre qu'un exemple, que la définition des lignes géodésiques, qui devrait logiquement être donnée dès le début de la théorie des surfaces, est rejetée le plus souvent au Chapitre où l'on traite du calcul des variations.
M. Demartres a cherché à combler ces lacunes, à remédier à ces imperfections, en rédigeant, dans l'ordre logique, le développement des questions qui forment le fond essentiel du certificat de Géométrie supérieure. Il a réussi, tout en conservant à ce Cours une forme relativement élémentaire à le conduire assez loin pour que ses lecteurs puissent ensuite aborder l'étude des Mémoiree originaux.

Paul APPELL, Préface

* Gaston DARBOUX, Leçons sur la théorie générale des surfaces, Reprint Jacques Gabay, 1993

69,00 *
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