Les nouvelles équations fonctionnelles que M. Vito Volterra a, le premier, considérées et qu'il a dénommées équations intégro-différentielles aux dérivées partielles (¹), sont susceptibles de jouer un rôle de la plus haute importance, ainsi que l'a fait voir l'illustre géomètre, en Mécanique et en Physique Mathématique.
En Analyse pure, elles présentent un intérêt tout spécial en raison de leur grand degré de généralité: elles contiennent en effet, comme l'on sait, sous des signes d'intégration (simple ou multiple) non seulement la fonction inconnue - comme cela a lieu pour les équations intégrales - mais encore certaines de ses dérivées partielles de divers ordres par rapport aux variables indépendantes.
De ce fait elles renferment, à titre de cas particuliers, les équations intégrales à une ou plusieurs variables ainsi que les équations différentielles ordinaires - ou aux dérivées partielles - sans d'ailleurs leur être réductibles en général (²).
Par suite, tout résultat les concernant s'applique automatiquement et directement à ces derniers types d'équations.
Or une équation différentielle, par exemple, se montre parfois plus maniable après qu'elle a été transformée par des intégrations convenables et mise sous forme d'une équation intégrale ou intégro-différentielle, comme si l'intégration était en quelque sorte - suivant une remarque de M. Hadamard - un instrument de calcul plus puissant et plus commode que la différentiation.
On voit donc qu'il y aura souvent tout avantage à traiter du premier coup le Cas général des équations intégro-différentielles aux dérivées partielles.
L. POMEY, Équations intégro-différentielles, ICM 1928

(¹) Vito VOLTERRA : Leçons sur les fonctions de lignes, 1913
(²) Vito VOLTERRA : Leçons sur les équations intégrales et les équations intégro-différentielles, 1913 

Les théories développées dans cet Ouvrage avaient déjà été abordées dans deux volumes précédemment parus de cette collection : mes Leçons sur les équations intégrales et les équations intégro-différentielles, et mes Leçons sur les fonctions de lignes.
C'est en effet, pour résoudre le premier problème qui se présente dans la théorie des équations intégrales linéaires que j'ai introduit l'opération de composition en formant les puissances entières de composition du noyau de l'équation intégrale et en démontrant que ces puissances sont des fonctions permutables entre elles ; le noyau résolvant apparaît alors comme une série de composition, c'est à dire une fonction de composition. Les trois concepts fondamentaux d'opération de composition, de permutabilité et de fonctions de composition, concepts qui seront étudiés dans ces Leçons, ont donc pour commune origine la méthode que j'ai donnée pour la résolution des équations intégrales.
Aussi, dès le second Chapitre du premier volume déjà cité, les deux premiers concepts apparaissent sous leur forme primitive limitée aux puissances entières du noyau ; dans le dernier Chapitre ils sont envisagés d'un point de vue plus général.
Dans le second volume, la théorie de la composition et des fonctions permutables est beaucoup plus développée, spécialement en vue des applications à la résolution d'équations intégrales et intégro-différentielles qui interviennent dans certaines théories de la Physique mathématique ; on y envisage d'autre part des classes plus étendues de fonctions de composition.
Mais l'opération de composition et la permutabilité n'apparaissent dans les deux volumes précédents que d'une manière indirecte et en fonction de leur utilité pour résoudre certains problèmes. En outre, quoiqu'on y emploie plusieurs fois des fonctions de composition on ne leur donne pas de dénomination spéciale, et l'on n'en expose pas une théorie générale.
Or, par divers travaux qui ont suivi la publication de ces Ouvrages, la théorie de la composition de première espèce s'est beaucoup développée. Il a donc paru utile de dégager cette théorie des recherches auxquelles elles avaient servi d'auxiliaire et d'en donner un exposé autonome, plus systématique et complet : c'est ainsi que fut conçu le plan de ces Leçons.
Vito VOLTERRA, Préface

A reparaître

Dans la théorie des fonctions de variables réelles, qui forme les onze premiers chapitres de ce livre, j'ai considéré plus particulièrement les fonctions qui sont en général continues ; ce sont celles que l'on rencontre le plus souvent dans les applications. Aussi ai-je donné la place principale à l'intégrale au sens de Riemann, et n'ai-je introduit l'intégrale de Stieltjes que dans les cas les plus simples. Mais j'ai exposé brièvement, à titre de complément, les premiers éléments de la théorie de Lebesgue : théorie de la mesure des ensembles linéaires et théorie des fonctions mesurables d'une variable (Chap. V). C'est également comme complément que je donne des indications sur les fractions continues arithmétiques (Chap. I, § III), la démonstration de la transcendance de e et de π (n° 50), une théorie indépendante des fonctions analytiques d'une variable réelle (Chap. VI, II), des considérations sur certaines intégrales curvilignes planes (n° 58) et sur les notions d'aire et de volume (n° 158).
J'ai insisté un peu plus qu'on ne le fait ordinairement sur les procédés de calcul numérique des intégrales définies ; la formule d'Euler et Mac-Laurin et la méthode de Gauss sont données en détail. La théorie de la série de Fourier, déjà connue en partie des étudiants de mathématiques générales, a été traitée par la méthode des moyennes arithmétiques ; elle est appliquée au problème des cordes vibrantes.
Dans la théorie des fonctions d'une variable complexe, j'ai fait jouer un rôle important à la représentation géométrique, c'est à dire à la représentation conforme. La transformation homographique est étudiée avec quelques détails et des indications sont données sur la géométrie de Poincaré, image de la géométrie de Lobatchewsky. J'ai apporté quelques compléments aux questions habituellement traitées dans les cours de calcul différentiel et intégral : théorème d'Hadamard sur la partie réelle (n° 184), théorème de Laguerre sur les polynômes à zéros réels (n° 193), théorème de Poincaré et Volterra sur le prolongement analytique (n° 201), formules de Jensen, Poisson et Nevanlinna (n°^s 207-208), théorème d'Hadamard sur la décomposition en facteurs des fonctions entières d'ordre fini (n° 210).
D'autre part, j'ai amorcé l'étude de quelques théories dont l'exposition, grâce aux efforts de nombreux mathématiciens contemporains, se présente désormais sous une forme simple et n'exigeant pas de longs développements. Je donne au Chapitre XV la démonstration du théorème sur la représentation conforme des aires simplement connexes à partir de théorèmes sur les suites de fonctions holomorphes ; j'en déduis les propositions les plus simples sur la représentation conforme d'un demi-plan sur un polygone ou sur un triangle circulaire (théorèmes de Schwarz), puis à l'aide de la fonction modulaire elliptique des théorèmes de Picard, Landau, Schottky, Julia. Dans la théorie des fonctions elliptiques (Chap. XVI), les fonctions de Jacobi sont introduites à la suite de l'étude des fonctions qui restent invariantes par la multiplication de la variable par un facteur fixe. Dans le dernier chapitre, je donne d'abord les théorèmes de Borel et de Mittag-Leffler sur le prolongement analytique, comme applications des propriétés de la fonction eulérienne gamma et de théorèmes de Lindelöf et Phragmén ; puis, après avoir étudié les fonctions introduites par Riemann dans la théorie analytique des nombres, je termine ce premier volume par la démonstration, d'après Hadamard et Landau, de la formule donnant l'expression asymptotique du n^ième nombre premier.
Georges VALIRON, Préface