A reparaître

Des différentes parties de l'histoire de la civilisation, aucune ne présente autant d'obscurité que l'apparition, la progression et la diffusion des techniques. Il faut savoir gré à M. Daumas d'avoir, d'un point de vue dialectique, considéré les instruments scientifiques non seulement comme des outils construits pour les astronomes, les naturalistes ou les physiciens et appelés à se démoder plus ou moins vite, mais encore comme les produits successifs de l'activité féconde des constructeurs, souvent ingénieux et toujours attentifs au développement rapide des techniques et de leur industrie. L'auteur a entrepris de mettre en lumière l'évolution des instruments scientifiques de 1608 aux premières années du XIX^e siècle, soit depuis la construction en Hollande de la première lunette astronomique jusqu'à l'affirmation du plein essor de la grande industrie outre-Manche, la naissance de la science des machines et l'apparition de l'électricité voltaïque. Il s'est surtout attaché à retracer l'évolution des moyens techniques utilisés par les constructeurs d'instruments scientifiques durant cette longue période, où d'importantes découvertes transformèrent profondément les conditions de fabrication et la condition des fabricants.
[...]
Relative à un sujet d'une extraordinaire richesse, la thèse de M. Daumas renferme une telle densité de faits élaborés, qu'elle prête à de nombreuses réflexions et qu'on aimerait pouvoir longuement commenter plusieurs épisodes de l'attachante histoire qu'elle retrace.
Arthur BIREMBAUT, A propos d'un important ouvrage concernant l'histoire des instruments scientifiques, Revue d'Histoire des Sciences, 1956

CHAPITRES

Livre I
Notions générales - Albategnius - Alfragan - Thébith - Ebn Jounis - Aboul Wéfa - Alpétrage - Arzachel - Géber - Aboul Hhasan - Persans - Ulugh Beig - Abraham - Verbiest - Ayeen Akbery

Livre II
Sacrobosco et ses commentateurs - Alphonse - Bianchini - Purbach et ses commentateurs - Régiomontan - Digges - Dee - Stoffler - Ricius - Fernel - Fracastor - Apian - Nonius - Peucer - Gemma Frison - Royas - Oronce Finée - Gauricus - Maurolycus - Jordanus - Stadt - Bressius - Schoner - Viète - Magini

Livre III
Gnomonique
Arabes - Aboul Hhasan - Principes généraux de gnomonique - Stoffler - Munster - Schoner - Bénédict - Elie Vinet - Jean de Padoue - Valentin Pini - La Hire - Ozanam

Nous commencerons par Newton, Flamsteed et Halley, qui paraîtraient appartenir au siècle précédent ; mais les découvertes de Newton n'ont porté leur fruit que longtemps après la première apparition du livre des Principes : c'est le dix-huitième siècle qui a vu paraître la Cométographie de Halley et l'Histoire céleste de Flamsteed. Notre histoire sera terminée par l'examen de tous les ouvrages qui ont pour objet la grandeur et la figure de la Terre, et ce dernier livre sera le seul où pourront être compris quelques auteurs encore vivants.
Ainsi notre Histoire de l'Astronomie n'aura pas moins de six volumes. On trouvera sans doute que c'est beaucoup pour une seule science, et c'est ce qui nous avait fait balancer sur le titre que nous devions donner à notre ouvrage. Nous aurions pu lui donner celui de Bibliothèque, à l'exemple de Photius ou de Fabricius.
Nous l'avons rédigé principalement pour les astronomes et pour les mathématiciens en général. Nous avons désiré qu'il contînt le tableau complet des différents âges de l'Astronomie ; qu'il fût un répertoire où l'on trouvât toutes les idées, toutes les méthodes, tous les théorèmes qui ont servi successivement aux calculs des phénomènes.
Jean-Baptiste DELAMBRE, Discours préliminaire de l'Histoire de l'Astronomie moderne, 1821

Nous présentons ces Compléments de Géométrie dans lesquels nous exposons d'une manière substantielle quelques-unes des théories modernes indispensables à quiconque veut connaître la Géométrie et s'intéresser à ses problèmes et à ses progrès.

Notre tâche a été grandement facilitée par l'introduction des éléments imaginaires qui éclaire la représentation des faits géométriques au moyen des méthodes de la Géométrie analytique classique. Tout en conservant en effet aux exposés purement géométriques la priorité qui leur était due dans un ouvrage de cette nature, nous n'avons pas cru devoir nous interdire l'emploi du calcul quand il apparaît plus efficace ; nous avons pensé, selon les termes d'un brillant géomètre de notre temps, qu'en la circonstance la seule règle du jeu, c'est de raisonner juste.
L'ouvrage se divise en trois parties d'importance à peu près égale ; Géométrie métrique, Géométrie projective, Géométrie anallagmatique.
Le texte en caractères courants concerne les matières du niveau des classes de Mathématiques Supérieures et de Mathématiques Spéciales ; dans les parties composées en caractères plus petits, nous avons voulu simplement satisfaire la juste curiosité des meilleurs élèves de ces classes et faciliter la tâche des candidats aux Concours de recrutement du personnel enseignant. On ne saurait d'ailleurs trop répéter combien la connaissance des théories générales des transformations, complétée par leur application à des problèmes même fort simples, éclaire à la fois la solution de ces problèmes et l'enseignement élémentaire en leur retirant tout caractère artificiel ou arbitraire. Un souci des choses concrètes que nous croyons pédagogiquement utile nous a conduit à multiplier les figures plus, semble-t-il qu'il n'est coutume en la matière.
Robert DELTHEIL et Daniel CAIRE

La géométrie analytique ne consiste pas simplement (comme on le dit quelquefois trop légèrement) dans l'application de l'algèbre à la géométrie : cette application avait déjà été faite par Archimède et par bien d'autres, et elle était devenue la façon usuelle d'opérer dans les ouvrages des mathématiciens du seizième siècle.
Le grand progrès accompli par Descartes tient à ce qu'il vit nettement, d'une part que la position d'un point dans un plan, peut être complètement déterminé par ses distances x et y, à deux droites fixes tracées à angle droit dans le plan, avec la convention qui nous est familière pour l'interprétation des valeurs positives et négatives ; il montra d'autre part que bien qu'une équation telle que f(xy) = 0 soit indéterminée et puisse être satisfaite par une infinité de valeurs de x et y, cependant ces valeurs de x et y déterminent les coordonnées d'un certain nombre de points dont l'ensemble forme une courbe et que l'équation f(xy) = 0 exprime les propriétés géométriques, communes à tous les points de la courbe.
Descartes vit aussi qu'un point de l'espace pouvait être déterminé d'une manière identique par trois coordonnées, mais il ne s'occupa que des courbes planes.
Il était dès lors évident que pour rechercher les propriétés d'une courbe il suffisait de choisir comme définition, une propriété géométrique caractéristique de cette courbe et de l'exprimer au moyen d'une équation entre les coordonnées (ordinaires) d'un point quelconque de la courbe, c'est à dire de traduire la définition dans la langue spéciale à la géométrie analytique. L'équation ainsi obtenue contient implicitement chacune des propriétés de la courbe, et une propriété particulière quelconque peut s'en déduire par l'algèbre ordinaire sans s'inquiéter de la forme de la courbe.
Tout cela peut avoir été entrevu d'une façon confuse par les anciens auteurs, mais Descartes alla plus loin et mit en évidence ces faits très importants que deux ou plusieurs courbes peuvent être rapportées à un seul et même système de coordonnées et que les points d'intersection de deux courbes se déterminent en cherchant les racines communes aux deux équations.
W. W. Rouse BALL, Histoire des mathématiques, t. I, 1906

Le premier volume de ce Traité a pour but d' exposer de la manière la plus simple les notions élémentaires sur lesquelles repose toute l'Analyse moderne : calcul booléien, nombres réels, espaces métriques et espaces de Banach, calcul différentiel, fonctions analytiques. Sur cette base, les volumes suivants développent, d'une part ce qu'on peut appeler "l'Analyse sur les espaces vectoriels" (chapitres XIII à XV, XXII et XXIII), de l'autre "l'Analyse globale" ou "Analyse sur les variétés" (chap. XVI à XXI et XXIV), non sans interactions réciproques, bien entendu. La conception qui domine ce volume a été de reporter aux volumes suivants toutes les notions secondaires nécessaires au développement de ces théories plus avancées, en se limitant au strict minimum, de manière à mettre en valeur les idées les plus fondamentales (comme celles d'espace compact, d'espace complet et d'espace connexe) et à en faciliter l'assimilation. Mises à part les règles de la logique et les propriétés usuelles des entiers naturels, toute l'Analyse est reprise à la base et n'exige en principe aucune connaissance préliminaire ; quant aux notions d'Algèbre nécessaires, en dehors des définitions les plus élémentaires (groupe, anneau, idéal, corps), elles sont introduites au fur et à mesure dans une Annexe. Toutefois, il n'est pas conseillé d'aborder la lecture de ce volume sans avoir bien assimilé les mathématiques enseignées dans le Premier cycle de l'Université.

Jean DIEUDONNÉ
 

Avec le chapitre XVI commence ce que l'on s'accorde à considérer comme le cœur de l'Analyse moderne, l' "Analyse sur les variétés", ou "Analyse globale", dont l'étude des aspects les plus accessibles forme l'objet du reste de ce Traité. Malheureusement, avant d'aborder les problèmes principaux de cette branche des mathématiques, il est encore nécessaire de forger les outils permettant de les attaquer.
Les concepts essentiellement linéaires de l'Analyse classique dans les espaces Rⁿ, développés aux chapitres VII à X, sont en effet inadéquats pour travailler dans les variétés différentielles ; ou plutôt, il faut commencer par les adapter au fait que l'aspect "linéaire", s'il demeure fondamental, est maintenant uniquement local ; il faut donc se garder de l'utilisation de "cartes" tant qu'on ne s'est pas assuré que les notions que l'on étudie sont intrinsèques, c'est à dire indépendantes du choix des cartes. Les chapitres XVI à XVIII sont donc consacrés à rendre "intrinsèques" les concepts classiques des chapitres VIII à X ; dérivées, dérivées partielles, équations différentielles, etc.
Chemin faisant, on élargira au chapitre XVII la théorie de l'intégrale : cette dernière ne nécessite à la base qu'une structure assez pauvre, celle d'espace localement compact ; lorsqu'on dispose d'une structure beaucoup plus riche comme celle de variété différentielle, on peut développer une théorie plus vaste, celle des distributions, qui complète harmonieusement l'intégration à bien des égards et joue un rôle capital dans l'Analyse contemporaine, comme on pourra le voir aux chapitres XXII et XXIII.
Jean DIEUDONNÉ

Contrairement à beaucoup d'exposés classiques, dans ce chapitre, la théorie des groupes de Lie semi-simples est, autant que possible, axée sur son aspect global, les algèbres de Lie n'intervenant que comme outils de démonstration. C'est pourquoi le chapitre débute par une analyse de la structure des groupes de Lie compacts et connexes, où la géométrie riemannienne permet une étude directe complète des tores maximaux (objets beaucoup plus "naturels" que les sous-algèbres de Cartan de la théorie classique). En outre, cette méthode à l'avantage de mettre dès le début l'accent sur l'une des notions les plus fondamentales des mathématiques, celle de représentation linéaire d'un groupe : c'est en effet des propriétés générales des représentations linéaires d'un groupe compact (non nécessairement de Lie), étudiées dès les premiers paragraphes du chapitre, que sont déduites, par la considération de la représentation adjointe, toutes les propriétés des "racines" et des "poids", qui paraissent toujours quelque peu miraculeuses quand on les aborde d'un point de vue strictement algébrique. 
Une fois étudiés les groupes semi-simples compacts, les propriétés de leurs complexifications et des formes réelles (non compactes) de ces complexifications s'obtiennent presque sans effort. Il faut malheureusement montrer qu'on obtient ainsi tous les groupes de Lie semi-simples complexes (resp. réels), ce qui nécessite une étude de type classique des algèbres de Lie semi-simples complexes (où toutefois la connaissance préalable de ce qui se passe pour les groupes compacts réduit l'allure arbitraire de la méthode suivie). On peut toutefois abréger cette étude en se dispensant entièrement de considérations sur les algèbres de Lie nilpotentes et résolubles, qui alourdissent inutilement beaucoup d'exposés ; ces notions ne sont introduites que postérieurement, au moment où elles sont réellement utiles (décompositions d'Iwasawa et de Lévi).
Jean DIEUDONNÉ

Ce chapitre a pour sujet principal la théorie des équations linéaires aux dérivées partielles, une des branches les plus importantes de l'Analyse, tant par ses répercussions dans beaucoup d'autres parties des mathématiques que par ses innombrables applications à la Mécanique, l'Astronomie et la Physique. Malgré sa longueur, il est très loin de constituer un exposé complet des connaissances actuelles dans ce domaine ; l'exposé a été limité aux trois types d'équations qui (en raison de leurs applications) ont été depuis 200 ans au premier plan des recherches : les équations elliptiques, hyperboliques et paraboliques, dont les prototypes sont respectivement l'équation de Laplace, l'équation des ondes et l'équation de la chaleur.
Les résultats comprennent quelques-uns des plus grands succès de l'Analyse moderne, obtenus grâce à une fusion harmonieuse et féconde des méthodes classiques (intégration par parties, théorie de Cauchy des fonctions holomorphes, transformation de Fourier) et des idées issues de l'Analyse fonctionnelle "abstraite" ; tout au long du chapitre le lecteur aura donc l'occasion de voir intervenir de façon essentielle les notions et résultats développés dans tous les chapitres antérieurs.
La première partie du chapitre, qui fait l'objet de cet ouvrage, est principalement consacrée, d'abord à l'étude des opérateurs intégraux (dont on n'a rencontré jusqu'ici que l'exemple le plus simple, l'opérateur de Fredholm), puis à la théorie des opérateurs pseudo-différentiels et de certaines de leurs généralisations. Grâce à la théorie des distributions, ces théories englobent à la fois les opérateurs différentiels et certains opérateurs intégraux et constituent les outils qui permettront d'attaquer dans la seconde partie du chapitre (tome 8), les principaux types de "problèmes aux limites".
Jean DIEUDONNÉ

A reparaître

Le but de ce chapitre est d'initier les analystes aux premiers rudiments de la Topologie algébrique et de la Topologie différentielle, deux des domaines les plus actifs des recherches modernes. Conformément à l'esprit de l' "Analyse globale" qui est celui de ce Traité, c'est la cohomologie des variétés différentielles et des espaces fibrés qui est au centre de ce chapitre, ainsi que ses relations les plus élémentaires avec les structures additionnelles portées par les variétés, telles que connexions ou structures de groupes. Lorsqu'on se borne à la cohomologie à coefficients réels ou complexes, on y accède immédiatement à l'aide des formes différentielles, sans les moindres préliminaires "combinatoires", et en n'utilisant comme outil algébrique que la suite exacte de cohomologie.
Toutefois c'est présenter une image incomplète de la théorie que de se limiter à la cohomologie à coefficients réels. Aussi, après avoir donné les propriétés essentielles de cette dernière, on aborde également la théorie de l'homologie singulière, en la mettant, comme de Rham, en rapport avec l'homologie des courants (duale de la cohomologie sur une variété orientée), la jonction se faisant par la formule de Stokes ; mais on se limite aux notions combinatoires strictement indispensables pour permettre le calcul de l'homologie des variétés différentielles les plus fréquemment rencontrées.
Jean DIEUDONNÉ
 

A reparaître

Dirac était un contemporain de Heisenberg, de Pauli et de Fermi. Il avait commencé des études d'ingénieur électricien à Bristol, mais il changea pour les mathématiques pures qu'il aborda à Bristol et poursuivit ensuite au St John's College de Cambridge ; il y devint étudiant de recherche au titre de la Bourse de 1851. A Cambridge, il avait pris connaissance de la théorie atomique de Bohr et avait écrit quelques articles sur ce sujet. En 1925, après une visite de Heisenberg à Cambridge, il reçut les épreuves du premier article de celui-ci sur la Matrizenmechanik, qui constituait le premier contact de Dirac avec la mécanique quantique. Ayant étudié ces épreuves pendant environ dix jours, il aboutit à la conclusion que la nouvelle clé était la non-commutativité.
[...]
Pour la formulation de la mécanique quantique selon Dirac, il est nécessaire de se servir de certaines expressions mathématiques appelées q-nombres pour les distinguer des nombres ordinaires ou c-nombres. Les q-nombres ne sont pas des nombres au sens ordinaire du mot, mais de nouveaux objets mathématiques obéissant à une algèbre non-commutative, et qui sont directement liés aux matrices de Heisenberg et aux opérateurs de Schrödinger. La lettre q signifie quantique, alors que c signifie classique.
Ainsi dès 1925, Dirac réussit à donner une formulation complète de la mécanique quantique qui, à bien des égards, était plus générale que celle de ses contemporains. Elle est remarquable par sa formulation axiomatique et par les généralisations qu'elle permet.
Emilio SEGRÉ, Les physiciens modernes et leurs découvertes, Fayard, 1984

Soient H un espace hilbertien, L(H) l'ensemble des opérateurs linéaires continus dans H. Considérons un sous-ensemble A de L(H), stable pour l'addition, la multiplication, le produit par les scalaires, et l'adjonction ; supposons A fermé au sens de la norme des opérateurs. Alors A est une algèbre de Banach involutive d'un type particulier. Une telle algèbre s'appelle une C*-algèbre.
La théorie commença en 1943, lorsque Gelfand et Naimark eurent montré que, parmi les algèbres de Banach involutives, les C*-algèbres peuvent être caractérisées par des axiomes simples. On s'aperçut ensuite que les C*-algèbres jouent un rôle universel pour l'étude des représentations d'une classe très vaste d'algèbres de Banach involutives ; pour toute algèbre B de cette classe, on peut construire une C*algèbre A telle que les représentations de B dans un espace hilbertien s'identifient aux représentations de A. Pour beaucoup de questions (notamment celles qui font intervenir les idéaux), A est plus maniable que B. En particulier cette construction s'applique quand on prend pour B l'algèbre des fonctions intégrables sur un groupe localement compact G. On ramène ainsi l'étude des représentations unitaires de G à celle des représentations d'une certaine C*-algèbre, appelée C*-algèbre de G.
L'étude des C*-algèbres occupe presque les quatre cinquièmes de ce livre. On y expose les résultats principaux, dus notamment aux travaux de Fell, Glimm, Kadison, Kaplansky, Mackey, Segal et d'autres. Il m'a paru dommage de ne pas profiter du matériel ainsi accumulé et du matériel contenu dans mon livre sur les algèbres de von Neumann pour dire quelques mots des représentations unitaires des groupes. Ceci était d'autant plus indiqué que la théorie des groupes fournit les exemples les plus intéressants de C*-algèbres.
Jacques DIXMIER, Introduction

La théorie générale des fonctions embrasse, à mon avis, tout ce qui se rattache à l'idée la plus générale de fonction : en tête je place la métaphysique des concepts de grandeur et de limite, comme servant de base à la théorie de l'argument, de la fonction, et de la condition commune de convergence et de divergence des différentes opérations infinies.
Paul DU BOIS-REYMOND, Préface

Averti des progrès les plus récents de la science, l'auteur déjà habitué à réfléchir aux nouvelles formes contemporaines de la Mécanique, a consacré la dernière partie de son livre à la Mécanique relativiste et à la Mécanique ondulatoire et quantique. Cet exposé très exactement fait en suivant de près, selon les habitudes de l'auteur, la pensée des novateurs et le texte de leurs écrits rend naturellement l'histoire de la Mécanique de M. Dugas beaucoup plus complète que toutes celles qui avaient été rédigées avant lui.
La partie centrale du livre consacrée aux développements de la Mécanique aux XVII^e, XVIII^e et XIX^e siècles a demandé à l'auteur une très grande somme de travail car la matière est immense. Ne pouvant suivre tous les détails du développement de la Mécanique au XVIII^e et surtout au XIX^e siècle, M. Dugas a choisi pour les étudier à fond certaines questions particulièrement importantes, soit en elles-mêmes, soit pat les prolongements qu'elles ont eu dans la période contemporaine. Ce choix difficile paraît avoir été fait très habilement et a permis à l'auteur, sans se perdre dans les détails, de tracer de grandes lignes marquant les routes principales suivies dans cette région par la pensée scientifique.
Louis de BROGLIE, Préface

La tentative qui se propose de réduire toute la Physique à la Mécanique rationnelle, tentative qui fut toujours vaine dans le passé, est-elle destinée à réussir un jour ? Un prophète seul pourrait répondre affirmativement ou négativement à cette question. Sans préjuger le sens de cette réponse, il paraît plus sage de renoncer, au moins provisoirement, à ces efforts, stériles jusqu'ici, vers l'explication mécanique de l'Univers.
Nous allons donc tenter de formuler le corps des lois générales auxquelles doivent obéir toutes les propriétés physiques, sans supposer à priori que ces propriétés soient toutes réductibles à la figure géométrique et au mouvement local. Le corps de ces lois générales ne se réduira plus, dès lors, à la Mécanique rationnelle.
A la vérité, la figure géométrique et le mouvement local demeurent des propriétés physiques ; elles sont même celles de ces propriétés qui nous sont le plus immédiatement accessibles. Notre corps de lois générales devra s'appliquer à ces propriétés et, appliqué à ces propriétés, il devra nous redonner les règles qui dominent le mouvement local, les règles de la Mécanique rationnelle. La Mécanique rationnelle doit donc résulter du corps de lois générales que nous nous proposons de constituer ; elle doit être ce qu'on obtient lorsqu'on applique ces lois générales à des systèmes particuliers où l'on ne tient compte que de la figure des corps et de leur mouvement local.
Le code des lois générales de la Physique est connu aujourd'hui sous deux noms : le nom de Thermodynamique et le nom d'Énergétique.
Le nom de Thermodynamique se rattache étroitement à l'histoire de cette science ; ses deux principes les plus essentiels, le principe de Carnot et le principe de la conservation de l'énergie, ont été découverts en étudiant la puissance motrice des machines à feu. Ce nom se justifie encore par ce fait que les deux notions de travail et de quantité de chaleur sont constamment en jeu dans les raisonnements par lesquels cette doctrine se développe.
Le nom d'Énergétique est dû à Rankine ; l'idée d'énergie étant la première que cette doctrine ait à définir, celle à laquelle se rattachent la plupart des autres notions dont elle fait usage, ce nom ne paraît pas moins bien choisi que le nom de Thermodynamique.
Sans décider s'il convient de regarder l'une de ces deux appellations comme préférable à l'autre, nous les emploierons toutes deux comme équivalentes entre elles.
Pierre DUHEM, Introduction