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Plus de 200 exercices et problèmes d'intégration, regroupés en 11 chapitres, constituent cet ouvrage. Pour la majorité d'entre eux, ces exercices sont du niveau de la maîtrise de mathématiques. Néanmoins, un certain nombre est destiné aux étudiants de 3ème cycle, aux candidats à l'agrégation ou aux chercheurs souhaitant affronter de plus grandes difficultés ou compléter leurs connaissances sur tel point de théorie.
Immédiatement suivis de leur solution détaillée et soigneusement élaborée, les énoncés des exercices sont pour certains classiques, pour d'autres moins connus, pour d'autres enfin, originaux.
L'ouvrage s'ouvre par une trentaine de pages de rappels de cours précisant, à l'intention de l'étudiant, les points de la théorie qui sont supposés connus.

69,00 *
Référence: 154

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Ah ! Quel bon livre ! Comme il vient à son heure ! Et qu'il aurait plu à un grand mathématicien comme Henri Lebesgue ! Il faut remercier très vivement Monsieur Gerll et son éditeur d'avoir réuni pour un vaste public de langue française de tels documents !
On trouvera les textes des épreuves données aux Olympiades internationales de mathématiques des dernières années, avec des solutions de celles-ci ; mais on trouvera aussi des textes des Olympiades antérieures, enfin, et surtout un très grand choix de questions très diverses qui avaient été envisagées.
André MAGNIER, Préface

16,00 *
Référence: 123

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La publication de ce mémoire restera dans l'histoire de la chimie un évènement capital. La découverte par H. Sainte-Claire Deville de la dissociation, ou pour s'exprimer d'une façon plus précise, de la réversibilité des phénomènes chimiques, n'avait pas tout d'abord été appréciée à sa juste valeur par les chimistes qui avaient été beaucoup plus frappés de la limitation des réactions que de leur réversibilité. Les conséquences de cette réversibilité, et en particulier la possibilité d'appliquer à la chimie les principes de la thermodynamique, n'avaient pas été aperçus d'une façon précise. MM. Moutier et Peslin avaient seulement indiqué que les systèmes à tension fixe de dissociation devaient satisfaire à la formule de  Clapeyron. C'est au professeur J.W. Gibbs que revient l'honneur d'avoir par l'emploi systématique des méthodes thermodynamiques, créé une nouvelle branche de la science chimique dont l'importance, tous les jours croissante, devient aujourd'hui comparable à celle de la chimie pondérale créée par Lavoisier.
Henry LE CHATELIER, Préface

46,00 *
Référence: 146

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Les Grecs nous ont laissé la géométrie élémentaire et c'est par le rappel de leurs découvertes que nous débuterons. Le développement de la géométrie grecque est marqué par les étapes : Pythagore, les Éléates, Euclide, Apollonius. Nous avons ajouté à ce premier chapitre quelques indications sur les théorèmes de Quételet et Dandelin relatifs aux coniques, théorèmes que l'on verrait sans surprise figurer dans le Traité d'Apollonius.
Après la période grecque, il faut attendre le XVIIe siècle pour voir apparaître de nouvelles méthodes en géométrie. C'est en premier lieu la méthode des coordonnées de Descartes et Fermat, la géométrie analytique, qui fait l'objet du second chapitre. C'est en second lieu la méthode des projections, qui apparaît, avec Desargues et Pascal, en même temps que la géométrie analytique. Mais l'élaboration de la géométrie projective sera beaucoup plus lente : ce n'est qu'au début du XVIIIe siècle, après Monge et Carnot, qu'elle sera érigée en doctrine autonome par Poncelet et largement développée par Chasles. Cette géométrie fait l'objet du troisième chapitre.
Nous avons consacré le quatrième chapitre à l'exposé des recherches sur les principes de la géométrie et le cinquième à l'introduction en géométrie de la notion de groupe. On sait que cette notion, due à un mathématicien de vingt ans, Évariste Galois, dont la vie fut aussi brève que tourmentée, a permis à Sophus Lie et Félix Klein une classification rationnelle des géométries ; nous en donnons les grands traits. Le cadre élémentaire que nous nous sommes tracé ne nous a pas permis, autrement que par une brève allusion, d'indiquer la remarquable extension donnée tout récemment aux idées de Lie et Klein par Élie Cartan.
Le dernier chapitre a trait à la topologie. Nous avons introduit celle-ci, suivant une idée de Federigo Enriques , en partant de la géométrie élémentaire et en faisant successivement abstraction de la notion de ligne droite, puis de celle de distance. Grâce à un large appel à l'intuition, nous espérons que le lecteur pourra se faire une idée de la nature de cette géométrie.
Il nous resterait bien des points à traiter. Nous avons brièvement indiqué les géométries hyperspatiales, la géométrie algébrique, ,et la géométrie infinitésimale classique.
Nous avons tâché d'écrire le livre que nous eussions voulu lire quand nous avions vingt ans. Puisse-t-il rendre quelque service !
Lucien GODEAUX, Avant-Propos

23,00 *
Référence: 032

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Les exemples abondent tant dans le texte que dans les compléments et exercices reportés à la fin des chapitres.
Parmi les publications de ces dernières années, cet ouvrage n'a point son égal. En matière de théorie des fonctions, d'équations différentielles ou intégrales, de calcul des variations, les extrêmes développements de la science ont poussé les jeunes auteurs vers les monographies. Nous devons être reconnaissants à M. Goursat de nous présenter les mêmes trésors nettement rattachés à toute la glorieuse science des précédentes générations.
Adolphe BUHL, L'Enseignement mathématique, 17e année, 1915

 
149,00 *
Référence: 152

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Le principal caractère du livre est d'intéresser le lecteur aux fonctions elliptiques, en montrant comment leur théorie se rattache à la résolution de toutes sortes de problèmes de géométrie, de mécanique, de physique. Cet ouvrage rendra de grands services à tous ceux qui désirent étudier cette théorie ; aux physiciens et aux ingénieurs, il fournira un instrument de calcul puissant, avec des exemples variés sur la manière de l'appliquer ; aux étudiants en mathématiques, il facilitera l'intelligence des débuts de la théorie et inspirera la curiosité de lire les grands traités. Même pour les candidats à la licence mathématique et physique, la lecture des cinq premiers chapitres sera des plus aisée ; elle leur apprendra rapidement le maniement des fonctions elliptiques avec les notations de Jacobi et de Weierstrass.
Paul APPELL, Préface

60,00 *
Référence: 095

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Malgré la gloire qui environne le nom de Lavoisier, la vie du créateur de la chimie moderne n'a été l'objet d'aucune étude approfondie. Sauf ce que les courtes biographies de Lalande, de Fourcroy et de Cuvier nous ont appris, on ne sait rien de son existence si bien remplie et toute dévouée à la recherche de la vérité. On ignore ses vertus privées, son dévouement à la chose publique, sa philanthropie intelligente, les services qu'il a rendus à son pays comme académicien, économiste, agriculteur et financier. Les détails de sa mort prématurés sont inconnus, et des historiens ont pu même se demander si le tribunal révolutionnaire, en le faisant monter sur l'échafaud, n'avait pas frappé d'une juste condamnation un avide fermier général.
Le devoir s'imposait de dissiper les obscurités qui entourent la vie et la mort de Lavoisier, et de donner une biographie complète d'un des hommes qui honorent le plus notre patrie. Les nombreux documents qui ont été mis à ma disposition m'ont permis d'entreprendre ce travail.
Édouard GRIMAUX, Avertissement

45,00 *
Référence: 038

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En rédigeant ces Leçons de Géométrie, je n'ai pas perdu de vue le rôle tout spécial que joue cette science dans l'ensemble des Mathématiques élémentaires.
Placée à l'entrée de l'enseignement mathématique, elle est, en effet, la forme la plus simple et la plus accessible du raisonnement. La portée des méthodes, leur fécondité y sont plus immédiatement tangibles que celles des théories relativement abstraites de l'Arithmétique ou de l'Algèbre. Par là, elle se montre capable d'exercer sur l'activité de l'esprit, une influence indéniable. J'ai cherché, avant tout, à développer cette influence en éveillant et en secondant le plus possible l'initiative de l'étudiant.
C'est ainsi qu'il m'a paru nécessaire de multiplier les exercices autant que le comportait le cadre de l'ouvrage. Cette nécessité a été, pour ainsi dire, la seule règle qui m'ait guidé dans cette partie de mon travail. J'ai cru devoir proposer des questions de difficulté très différente et graduellement croissante : tandis que les exercices placés à la fin de chaque chapitre,  surtout les premiers d'entre eux, sont très simples, ceux que j'ai insérés après chaque livre sont d'une solution moins immédiate ; enfin j'ai rejeté à la fin du volume des énoncés de problèmes relativement difficiles. Certaines questions sont empruntées à des théories importantes – citons parmi celles-là celles qui sont relatives à l'inversion et aux systèmes de cercles, et dont beaucoup proviennent du mémoire Sur les relations entre les groupes de points, de cercles et de sphères dans le plan et dans l'espace de M.Darboux – d'autres, au contraire, n'ont d'autre prétention que de rompre l'esprit à la pratique du raisonnement. Je n'ai pas été moins éclectique dans le choix des sources auxquelles j'ai puisé : à côté des exercices classiques qui se présentent comme les applications les plus immédiates de la théorie et qu'on serait presque étonné de ne pas rencontrer dans ce traité, on en trouvera qui sont empruntés à divers auteurs et à divers recueils périodiques français ou étrangers, et aussi un assez grand nombre qui sont originaux.
Jacques HADAMARD, Avertissement de la première édition, 1898

Référence: 292

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Le Calcul des variations n'est autre chose qu'un premier chapitre de la doctrine qu'on nomme aujourd'hui le Calcul Fonctionnel et dont le développement sera sans doute l'une des tâches qui s'imposeront les premières à l'Analyse de l'avenir.
Cette idée est celle dont je me suis inspiré avant tout, tant dans le cours professé sur ce sujet au Collège de France que dans la rédaction du présent ouvrage.
Un chapitre spécial a été, en conséquence, consacré au Calcul Fonctionnel envisagé en lui-même. Des travaux tels que ceux de MM. Volterra, Pincherle, Bourlet, etc. ont, on le sait, ouvert la voie à suivre et permettent d'ores et déjà de généraliser parallèlement à la notion de différentielle, celle de variation première.
Leur exposition avait sa place marquée dans ce qui va suivre.
Le point de vue ainsi adopté a entraîné certains changements que je n'ai pu me dispenser d'apporter à la terminologie en usage.
Ce n'est pas sans peine que je me suis résigné, en particulier, à m'écarter de la tradition de Weierstrass en renonçant à la locution de champ d'extrémales, d'autant plus que j'ai dû lui substituer plusieurs mots nouveaux (ceux de faisceaux et de régulier). Ce dédoublement est peut-être, cependant, plus conforme à la nature des choses : et, surtout, je n'avais pas le choix : j'étais obligé, par la conception générale de l'ouvrage, telle que je l'ai indiquée dans ce qui précède, d'introduire la locution de champ fonctionnel, consacrée, elle aussi, par l'usage, et qui paraît impossible à remplacer.
Il m'a fallu, d'autre part, introduire, tant pour les extrêma ordirnaires que pour ceux du Calcul des variations, les mots "extremum libre" et "extremum lié", substitués à ceux d'extremum absolu ou relatif. Ces derniers étaient jusqu'ici, employés chacun dans deux sens différents : une telle ambiguïté m'a paru inadmissible dans l'étude qui nous occupe.
C'est avec la même préoccupation de mettre en évidence les analogies et les différences qui existent entre les variations des nombres et celles des fonctions, qu'ont été examinées les difficultés de diverse nature que soulève le Calcul des variations. Aussi ai-je insisté avant tout sur celles qui lui sont particulières, en donnant aussi peu d'importance que possible aux questions qui appartiennent au domaine du Calcul différentiel et intégral classique. Ces dernières ont été élucidées dans d'excellents traités tels que celui d'Adolf Kneser - qui, faisant connaître d'une manière complète les principales découvertes de Weierstrass sur le sujet qui nous occupe, a été l'occasion de mon enseignement au Collège de France - et celui, plus récent de M. Bolza. Je n'ai d'ailleurs pu citer, toutes les fois que je les ai utilisés, ces deux ouvrages, non plus que les nombreux travaux auxquels le Calcul des variations a donné lieu dans ces dernières années : J'espère que leurs auteurs voudront bien m'en excuser.
Je ne veux plus maintenant qu'adresser mes remerciements à mon ami et ancien élève Maurice Fréchet, qui a pris une si large part à la rédaction de ces leçons. Le Calcul Fonctionnel lui doit déjà, d'ailleurs, de belles et importantes contributions personnelles, et lui en devra, sans doute, d'autres encore dans l'avenir.
Jacques HADAMARD, Avant-Propos

81,00 *
Référence: 297

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Cette étude, comme tout ce qu'on pourrait écrire sur l'invention en mathématiques, fut tout d'abord inspirée par la célèbre conférence d'Henri Poincaré à la Société de Psychologie à Paris.
Je suis revenu pour la première fois sur le sujet au cours d'une réunion du Centre de Synthèse à Paris, en 1937. Mais je l'ai traité plus à fond dans une série de cours que j'ai faits en 1943 à l'École Libre des Hautes Études, à New-York.
L'Université de Princeton en a reçu le manuscrit juste au moment où je quittais les États-Unis pour revenir vers l'Europe (21 août 1944).
Jacques HADAMARD, Préface

Référence: 299


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Dans le cours que j'ai professé au Collège de France, pendant les années 1898-1899 et 1899-1900, et dont diverses circonstances ont retardé la publication, je me suis proposé principalement de rechercher comment s'exerce l'influence des conditions aux limites sur le mouvement des fluides.
S'il s'agit des liquides, la question revient à un problème analogue à celui de Dirichlet, le problème de Neumann qui fait l'objet du premier Chapitre de cet ouvrage. La théorie des fonctions harmoniques a subi, dans ces derniers temps, d'importants perfectionnements dont la plupart ne se rattachaient que de loin à mon sujet; j'ai utilisé, en les empruntant à un mémoire de M. Stekloff, ceux qui intéressent directement le problème de Neumann.
Dans le cas des gaz, on est, au contraire, conduit à la théorie d'Hugoniot, sur laquelle l'attention a été attirée depuis quelques années, grâce aux leçons d'Hydrodynamique, Élasticité et Acoustique de M. Duhem.
Pour rendre tous les services que la Mécanique peut en attendre, cette théorie, m'a paru réclamer quelques compléments. C'est .ainsi que j'ai dû mettre en évidence les faits d'ordre purement cinématique en les séparant de ceux qui dépendent des propriétés dynamiques du mouvement. Moyennant cette distinction, ainsi qu'on devait s'y attendre, beaucoup de points de vue s'éclaircissent. Grâce à elle, en particulier, une représentation géométrique apparaît immédiatement. Celle-ci, à son tour, permet de rendre plus étroite l'analogie qui existe entre les .ondes telles que les conçoit Hugoniot et celles que considère la mécanique vibratoire.
Enfin, il y avait lieu de rapprocher de la théorie d'Hugoniot celle des caractéristiques des équations à plus de deux variables indépendantes qui en est l'expression analytique et dont J. Beudon, avant sa mort cruellement prématurée, a pu poser les fondements.
La résolution du problème de Cauchy pour les équations linéaires, suivant la voie ouverte par Kirchhoff, se relie d'une manière directe à la notion de caractéristique et se plaçait naturellement après elle.
Jacques HADAMARD, Avant-Propos

69,00 *
Référence: 300

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Le présent ouvrage est un résumé de mes recherches sur le cas hyperbolique des équations linéaires aux dérivées partielles. J'ai eu le plaisir d'en exposer certaines parties à un public américain à Columbia University (1911), et d'en traiter d'autres aux Universités de Rome (1916) et de Zurich (1917).
L'origine des recherches qui vont suivre se trouve dans Kirchhoff, et surtout dans les Mémoires fondamentaux de M. Volterra sur les ondes sphériques et cylindriques. Je me suis proposé de poursuivre le travail du géomètre italien, et pour cela de le modifier et de l'étendre de sorte qu'il devienne applicable à toutes les équations hyperboliques (normales), au lieu de l'être à une seule d'entre elles.
D'un autre côté, cet ouvrage peut être considéré comme faisant suite à mes Leçons sur la Propagation des Ondes et les Équations de l'Hydrodynamique, et même comme remplaçant une grande partie du dernier chapitre. Celui-ci n'était, du reste, qu'un essai où je voulais seulement montrer les difficultés du problème dont je suis maintenant en état de présenter la solution.
Jacques HADAMARD, Préface

84,00 *
Référence: 126

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Tous les mathématiciens sont d'accord pour penser qu'un mathématicien doit connaître quelque peu la théorie des ensembles ; le désaccord commence lorsqu'on cherche à définir ce quelque peu. Ce livre contient ma réponse à la question. Le but du livre est de présenter à celui qui aborde l'étude des mathématiques supérieures les faits ensemblistes fondamentaux de la vie, et de le faire avec le minimum de discours philosophique et de formalisme logique. Le point de vue adopté tour au long du livre est celui du futur mathématicien, soucieux d'étudier les groupes, les intégrales, les multiplicités. De ce point de vue les concepts et les méthodes de ce livre sont simplement quelques uns des outils mathématiques types.
Paul R. HALMOS, Préface

23,00 *
Référence: 220

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Le premier Volume est consacré tout entier à la théorie ; dans les treize premiers Chapitres, elle est exposée complètement et sans faire appel à la théorie générale des fonctions ; dans le quatorzième, l'auteur retrouve les mêmes résultats en s'appuyant sur les principes de l'Analyse moderne. A-t-il voulu par là montrer, par un exemple éclatant, la puissance de cette analyse qui conduit, en si peu de pages, à un but que l'on ne pouvait atteindre sans elle qu'à l'aide de tant de génie et au prix de tant d'efforts ? Non, son but est tout différent et il l'explique lui-même dans sa Préface : ses premiers Chapitres n'ont pas été écrits pour les géomètres de profession ; sans doute, ils trouveront beaucoup à y apprendre et ils se réjouiront d'y rencontrer le spectacle de nombreuses difficultés vaincues et d'une sorte de gageure gagnée. Mais cette première partie de ce grand Ouvrage est avant tout destinée aux savants qui veulent devenir capables d'appliquer ces transcendances à la Mécanique et à la Physique, et qui ne sont pas au courant des travaux de Cauchy. Ils pourront y étudier la théorie des fonctions elliptiques réduite à une sorte de Trigonométrie, un peu plus compliquée que celle qu'on enseigne aux élèves d'élémentaires, et n'auront besoin que de connaître la définition des intégrales réelles.
Halphen a-t-il réussi à rendre cette doctrine abordable à des mathématiciens aussi peu avancés ? Je crois que oui, mais ce n'est pas à nous d'en juger.
Les divers développements en séries ou en produits tiennent une grande place dans ce premier Volume ; aucun, sans doute, n'est nouveau, mais ils sont tous reliés les uns aux autres d'une façon simple et exposés par des procédés élégants et ingénieux.
Je citerai surtout, page 405, la manière d'obtenir le développement de θ en produit en partant du développement en série ; elle est plus directe que celle que nous devons à Jacobi.
Le second Volume a pour objet les principales applications des fonctions elliptiques.
L'auteur commence par les applications mécaniques, et il traite successivement de la rotation d'un corps solide soustrait à l'action de toute force et tournant autour d'un point fixe, de celle d'un corps grave de révolution suspendu par un point de son axe, du mouvement d'un corps solide dans un liquide parfait indéfini en l'absence de force accélératrice, de la courbe élastique, de l'attraction de l'anneau elliptique de Gauss.
Viennent ensuite les applications géométriques aux lignes géodésiques des ellipsoïdes de révolution, auxquelles se rattachent divers problèmes pratiques de Géodésie, aux polygones de Poncelet, inscrits à une conique et circonscrits à une autre conique, aux cubiques planes et enfin aux biquadratiques gauches.
Puis les applications au Calcul intégral, la quadrature des intégrales pseudo-elliptiques, l'intégration de l'équation d'Euler, l'étude approfondie de l'équation de Lamé, si intimement liée à tant de problèmes importants de Physique et d'Astronomie, et enfin l'intégration de plusieurs classes étendues d'équations différentielles linéaires.
Henri POINCARÉ, Notice sur Halphen, Journal de l'École Polytechnique, 60e Cahier, 1890

205,00 *
Référence: 131

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Hardy in his thirties held the view that the late years of a mathematician's life were spent most profitably in writing books ; I remember a particular conversation about this, and though we never spoke of the matter again it remained an understanding. The level below his best at which a man is prepared to go on working at full stretch is a matter of temperament ; Hardy made his decision and while of course he continued to publish papers his last years were mostly devoted to books ; whatever has been lost, mathematical literature has greatly gained. All his books gave him some degree of pleasure, but this one, his last, was his favourite. When embarking on it he told me that he believed in its value (as he well might), and also that he looked forward to the task with enthusiasm. He had actually given lectures on the subject at intervals ever since he return to Cambridge in 1931, and had at one time or another lectured on everything in the book except Chapter XIII.
The title holds curious of the past, and of Hardy's past. Abel wrote in 1828 : 'Divergent series are the invention of the devil and it is shameful to base on them any demonstration whatsoever.' In the ensuing period of critical revision they were simply rejected. Then came a time when I was found that something after all could be done about them. This is now matter of course, but in the early years of the century the subject, while in no way mystical or unrigorous, was regarded as sensational, and about the present title, now colourless there hung an aroma of paradox and audacity.
J. E. LITTLEWOOD, Preface

58,00 *
Référence: 080

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L'originalité du livre de M. Heisenberg tient surtout à ce qu'il a voulu insister tout particulièrement sur la signification de la Mécanique nouvelle en se tenant aussi près que possible de l'expérience. Sa préoccupation essentielle, après nous avoir rappelé pourquoi les résultats expérimentaux ne peuvent être interprétés qu'en faisant appel d'une façon simultanée et en quelque sorte complémentaire aux notions d'onde et de corpuscule, est de nous montrer comment ces conceptions presque contradictoires ne peuvent être employées en même temps que si l'on diminue leur précision primitive en les limitant pour ainsi dire l'une par l'autre. Comment la considération des ondes oblige à abandonner la précision complète dans la définition du corpuscule, c'est ce que l'auteur résumant ses célèbres travaux nous montre dans le deuxième chapitre de son livre où les relations d'incertitude sont déduites et examinées en détail. Plus curieuses encore peut-être parce que moins connues sont les considérations du troisième chapitre où nous apprenons comment la notion de corpuscule réagit à son tour sur la notion d'onde en nous amenant à imaginer une quantification du champ électromagnétique. Puis après cette critique pénétrante l'auteur nous montre au quatrième chapitre que la seule façon de concilier les ondes et les corpuscules est en somme d'ordre statistique. Enfin un dernier chapitre d'un très grand intérêt contient l'examen détaillé au point de vue de la nouvelle théorie des expériences fondamentales énumérées et décrites au chapitre premier. Ainsi, parti de l'expérience, M. Heisenberg a voulu terminer par elle, précisant bien ainsi l'orientation de son œuvre.
Louis de BROGLIE, Préface

28,00 *
Référence: 063

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On peut se demander à bon droit s'il n'est pas téméraire d'essayer dès maintenant, comme l'exige le plan général de cet ouvrage et de l'Encyclopédie dont il fait partie, d'exposer d'une manière didactique une science aussi jeune et qui est, pour ainsi dire, encore à l'état de fermentation. Cependant la nature particulière du sujet ne permet guère de s'attendre à voir les questions encore pendantes recevoir prochainement des solutions définitives. D'une part en effet, cette étude est intimement liée à celle des problèmes les plus difficiles de la psychologie ; d'autre part, le nombre des observateurs capables de la faire avancer est nécessairement très restreint, car il est besoin d'acquérir une longue expérience dans l'observation des phénomènes subjectifs et une grande habitude de diriger à volonté les mouvements des yeux, avant d'être simplement en état de voir ce que d'autres ont déjà vu ; et si l'on ne prend pas les précautions convenables dans ces exercices, on peut être obligé de les suspendre sous peine de compromettre l'usage de ses yeux. Ajoutons enfin que dans ce domaine, où les actions psychiques viennent jouer un rôle, les différences individuelles paraissent exercer une influence bien plus considérable que dans les autres questions de physiologie.
Cependant il était nécessaire de faire la tentative de mettre un peu d'ordre et d'unité dans cette matière, de la débarrasser des contradictions qu'on y rencontrait à chaque instant. Si j'ai entrepris cette tâche, c'est dans la conviction que l'ordre et l'unité, fussent-ils même fondés sur un principe incertain, sont encore préférables aux contradictions et au défaut d'ensemble. J'ai pris pour fil conducteur le principe de la théorie empiristique, tel que je l'ai exposé aux paragraphes 26 et 33, et à mesure que je continuais mon travail, je me suis convaincu de plus en plus que ce principe est le seul qui permette de se guider sans encombre dans le labyrinthe des faits actuellement connus. J'ai déjà été devancé dans cette voie par d'autres observateurs dont les travaux ne me paraissent pas avoir obtenu toute l'approbation qu'ils méritent, sans doute à cause de la faveur que rencontrent plus facilement aujourd'hui les explications mécaniques, par suite d'une certaine tendance matérielle de notre époque. La cause de cet insuccès provient peut-être aussi de ce que mes prédécesseurs n'ont travaillé chacun que des chapitres isolés de l'étude des perceptions visuelles, tandis qu'un aspect d'ensemble peut seul entraîner la conviction en faveur de la théorie qui comprend les différents faits. Aussi me suis-je efforcé de développer complètement cette vue d'ensemble.
Hermann von HELMHOLTZ, Préface

149,00 *
Référence: 074

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On s'est proposé dans cet ouvrage de rapprocher, sur leurs frontières communes, des sciences qui, malgré les nombreux rapports naturels qui les unissent, malgré leur voisinage mutuel, sont restées jusqu'ici trop isolées les unes des autres. Il s'agit, d'une part, de l'acoustique physique et physiologique, et, d'autre part, de la science musicale et de l'esthétique. Ce livre s'adresse, par conséquent, à des groupes de lecteurs engagés, chacun dans des voies intellectuelles bien différentes, à la poursuite d'intérêts bien distincts.
Hermann von HELMHOLTZ, Introduction

71,00 *
Référence: 343

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« Ceux qui l'ont entendu, nous dit Émile Picard, garderont toujours le souvenir de cet enseignement incomparable. Quelles merveilleuses causeries, d'un ton grave que relevait par moment l'enthousiasme, où à propos de la question la plus élémentaire, il faisait surgir tout à coup d'immenses horizons et où, à côté de la Science d'aujourd'hui, on apercevait tout à coup la Science de demain. Jamais professeur ne fut moins didactique, mais ne fut plus vivant. »
« Ceux qui ont eu l'heureuse fortune d'être les élèves du grand géomètre, écrit  Paul Painlevé, ne sauraient oublier l'accent presque religieux de son enseignement, le frisson de beauté et de mystère qu'il faisait passer à travers son auditoire devant quelque admirable découverte ou devant l'inconnu. Hermite fut un professeur incomparable, sa parole saisissante ouvrait brusquement de larges horizons sur les régions de la Science ; elle suggérait à la curiosité et à l'attention les problèmes nouveaux et essentiels, mais surtout elle communiquait l'amour et le respect des idéales vérités. Dans l'inoubliable journée de son jubilé, en accueillant l'hommage d'admiration de tous les pays, l'illustre Analyste parle en termes pleins de noblesse de la corrélation étroite et secrète qui existe entre le sentiment de la justice et du devoir et l'intelligence de vérités absolues de la Géométrie. Cette corrélation semblait évidente quand on écoutait ses leçons. »
« Nos élèves, nous dit Jules Tannery en parlant de l'École Normale, continuent de recevoir à la Sorbonne un enseignement dont l'éclat n'a fait que grandir ; ils écoutent cette parole d'une éloquence si particulière où il y a du recueillement, de la solennité et une sorte de tendresse passionnée. Ils jouissent de cette lumière qui va jusqu'au fond des choses, qui les sépare et les réunit, qui en montre les liens les plus délicats, qui donne aux abstractions mathématiques la couleur et la vie. »
« C'est à la Sorbonne, écrit Émile Borel, que j'ai suivi les leçons d'Hermite ; c'est là que j'ai entendu cette parole si vivante exposer, avec respect à la fois et avec amour, les belles vérités de l'Analyse. C'était un grand prêtre de la divinité du Nombre qui nous en dévoilait les mystères redoutables et sacrés. Les questions les plus arides, les calculs en apparence les plus ingrats, se transfiguraient, tant il avait l'intuition de leurs secrètes beautés. Quelques uns peut-être ont eu, autant qu'Hermite le pouvoir de faire comprendre et admirer les Mathématiques ; nul n'a su les faire aimer aussi profondément que lui. »
Gaston DARBOUX, Notice historique sur Charles Hermite, 1905

69,00 *
Référence: 345

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Les éléments des Mathématiques présentent deux divisions bien tranchées : d'une part, l'Arithmétique et l'Algèbre ; de l'autre, la Géométrie. Rien de plus différent, à leur début, que les considérations et les méthodes propres à ces deux parties d'une même science, et, bien qu'associées dans la Géométrie analytique, elles restent essentiellement distinctes si loin qu'on les poursuive, et paraissent se rapporter à des aptitudes et à des tendances intellectuelles spéciales. Ce double point de vue de l'Algèbre et de la Géométrie se retrouve dans le Calcul différentiel et le Calcul intégral ; on peut dire en effet de ces nouvelles branches de Mathématiques qu'elles sont comme une Algèbre plus vaste et plus féconde, appliquées à des questions de Géométrie inaccessibles au Calcul élémentaire, telles que la quadrature des courbes, la détermination des volumes limités par des surfaces quelconques, la rectification des courbes planes ou gauches, etc.
Cet aperçu ne justifie point au premier abord la dénomination , souvent employée, de Calcul infinitésimal, qui semble annoncer une étude et une science de l'infini, résultant d'un rôle plus étendu de cette notion que dans les éléments. En réalité, le rôle de l'infini, dans ces régions élevées des Mathématiques, est en entier résumé dans un petit nombre de propositions du caractère le plus simple, et telles qu'on pourrait les énoncer et les démontrer dès le commencement de la Géométrie. C'est l'application répétée de ces mêmes propositions qui constitue ce qu'on nomme la méthode infinitésimale, méthode qui sera bientôt exposée, et dont il sera donné dans ce Cours de nombreux exemples. Mais, dès à présent, nous devons dire qu'en se montrant de plus en plus féconde, la notion de l'infini reste toujours simplement la notion d'une grandeur supérieure à toute grandeur donnée, et que les conditions de son emploi restent toujours celles des éléments de la Géométrie. Autant que peut le donner un premier aperçu, l'objet de ces leçons est donc une continuation de l'Algèbre, en y joignant quelques principes très élémentaires sur l'infini, qui conduisent à résoudre par le calcul les questions de Géométrie dont il a été parlé précédemment. Avant d'entrer dans ces matières, il est donc naturel de jeter un coup d'œil sur l'Algèbre, afin de ne laisser aucune solution de continuité entre ce cours et l'enseignement qui l'a précédé.
Je rappellerai d'abord qu'on a commencé par étendre aux quantités littérales les opérations ordinaires de l'Arithmétique, addition, soustraction, multiplication et division. On traite ensuite de la résolution des équations et systèmes d'équations du premier degré, et l'on aborde enfin les équations de degré quelconque. Or, à propos de la division algébrique, apparaît déjà la considération toute spéciale des polynômes ordonnés par rapport aux puissances d'une variable, dont l'étude plus approfondie, constitue plus précisément ce qu'on nomme la théorie générale des équations. Les éléments d'Algèbre ont donc pour principal objet les propriétés des fonctions rationnelles et entières d'une variable, et ils conduisent ainsi à l'Analyse, c'est à dire à l'étude générale des fonctions. Ce qui concerne la résolution des équations du premier degré à plusieurs inconnues se rattache d'ailleurs au même point de vue, car alors on ne fait au fond qu'établir certaines propriétés d'un système de fonctions linéaires de plusieurs variables. Mais ici il importe de rendre parfaitement clair ce qu'on entend dire par étude générale des fonctions.
Il a été question tout à l'heure de polynômes ; or les éléments conduisent encore à d'autres expressions qu'on nomme transcendantes, par exemple l'exponentielle et le logarithme, et en second lieu le sinus, le cosinus, la tangente d'un arc. Les premières sont étudiées en Algèbre même, et les autres sont le sujet de la Trigonométrie, qui n'est visiblement qu'un chapitre spécial d'Algèbre, donnant, parmi bien d'autres conséquences, la résolution numérique des triangles. Maintenant on peut poser une question : N'existe-t-il de fonctions que celles dont nous venons de parler et leurs combinaisons ? Si la réponse était affirmative, l'Analyse laisserait apercevoir ses bornes, son champ serait fini et limité ; mais il est bien loin d'en être ainsi, le Calcul différentiel et le Calcul intégral étendent indéfiniment leur domaine en fournissant l'origine et posant la base de l'étude d'un nombre infini de fonctions nouvelles. Ainsi l'on comprend que Lagrange ait donné à l'un de ses Ouvrages, qui est précisément consacré à une exposition des principes du Calcul différentiel et du Calcul intégral, le titre de Leçons sur le Calcul des fonctions. En suivant la pensée de ce grand géomètre, nous allons présenter sur les fonctions connues par les éléments quelques considérations qui serviront d'introduction à ce Cours, et dont il sera souvent fait usage par la suite.
Charles HERMITE, Introduction

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Aucune correspondance d'Hermite ne fut plus suivie ni plus abondante que celle qu'il avait commencée en 1882 avec un astronome adjoint de l'Observatoire de Leyde, Thomas Stieltjes. Le souci des mêmes problèmes et une même tournure d'esprit attirèrent Hermite vers Stieltjes, et une vive sympathie s'établit vite entre le jeune débutant et le vétéran de la Science. La mort de Stieltjes, arrivée prématurément en 1894, put seule interrompre cette correspondance, unique peut-être dans l'histoire de la Science. Relisant, après ce triste événement, la longue série de lettres du géomètre éminent pour qui il avait une si affectueuse estime, Hermite pensa qu'il importait à la mémoire de Stieltjes que ce témoignage de son activité et de son génie mathématique
 ne disparût point. Il était impossible de publier les lettres de Stieltjes sans publier celles d'Hermite, tant leur collaboration avait été intime ; les amis de Stieltjes eurent ici à vaincre quelque résistance d'Hermite, qui finit cependant par se décider à laisser paraître l'ensemble de la Correspondance.
Émile PICARD, Introduction

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Qui ne soulèverait volontiers le voile qui nous cache l'avenir afin de jeter un coup d'œil sur les progrès de notre Science et les secrets de son développement ultérieur durant les siècles futurs ? Dans ce champ si fécond et si vaste de la Science mathématique, quels seront les buts particuliers que tenteront d'atteindre les guides de la pensée mathématique des générations futures ? Quelles seront, dans ce champ, les nouvelles vérités et les nouvelles méthodes découvertes par le siècle qui commence ?
L'histoire enseigne la continuité du développement de la Science. Nous savons que chaque époque a ses problèmes que l'époque suivante résout, ou laisse de côté comme stériles, en les remplaçant par d'autres. Si nous désirons nous figurer le développement présumable de la Science mathématique dans un avenir prochain, nous devons repasser dans notre esprit les questions pendantes et porter notre attention sur les problèmes posés actuellement et dont nous attendons de l'avenir la résolution. Le moment présent, au seuil du vingtième siècle, me semble bien choisi pour passer en revue ces problèmes ; en effet, les grandes divisions du temps non seulement permettent de jeter un regard sur le passé, mais encore attirent notre pensée sur l'avenir inconnu.
Le grand rôle joué par des problèmes déterminés dans le progrès général de la Science mathématique est non moins incontestable que l'influence qu'ont ces problèmes sur le travail particulier du chercheur. Tant qu'une branche de la Science jouit d'une abondance de problèmes, elle est pleine de vie ; le manque de problèmes dénote la mort, ou la cessation du développement propre de cette branche. Et de même que dans toute entreprise humaine il faut poursuivre un but, de même dans la recherche mathématique il faut des problèmes. La puissance du chercheur se retrempe dans leur résolution, il y trouve de nouvelles méthodes et de nouveaux points de vue, d'où il découvre un horizon plus vaste et plus libre.
David HILBERT, Introduction

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L'ouvrage de M. Hilbert sur La Théorie des Nombres algébriques est un de ces Rapports que publie la Société des Mathématiciens allemands et qui fixent l'état de la Science à une époque et dans un domaine. M. Hilbert, sans négliger le point de vue historique, y reprend toute la théorie d'une manière didactique, suivie, complète et personnelle. Il fond, dans un exposé nouveau, tous les résultats acquis ; il énonce et enchaîne les propositions avec la plus grand soin, fait ressortir les théorèmes essentiels ; enfin, dans les démonstrations, toujours nettes et précises, s'il laisse parfois de côté les points secondaires et faciles, c'est pour mieux mettre en relief le nœud même du raisonnement.
Bien des géomètres, en rédigeant un Mémoire, ont rêvé certainement d'un mode d'exposition où les lignes essentielles seraient marquées en vigueur, et les détails seulement esquissés : l'habitude, la crainte de l'obscurité les ont généralement ramenés dans la route traditionnelle. M. Hilbert a su en sortir. Aussi nul livre n'est-il, pour les mathématiciens, d'une lecture plus attachante : il conduit, sans effort sensible, des parties les plus élémentaires jusqu'aux sommets de cette belle Science des Nombres, déjà si féconde en résultats et si riche encore en promesses. Qui l'a lu, compris et médité possède les méthodes et sait leurs conséquences.
Georges HUMBERT, Préface

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Comme l'arithmétique, la géométrie n'exige pour son élaboration qu'un petit nombre de propositions fondamentales simples. Ces propositions sont les axiomes de la géométrie. Depuis Euclide, l'établissement de ces axiomes et l'étude de leurs relations ont fait l'objet de travaux nombreux et excellents. Ce problème est celui de l'analyse de notre intuition de l'espace.
Le présent travail est un nouvel essai de constituer, pour la géométrie, un système complet d'axiomes aussi simples que possible et d'en déduire les théorèmes les plus importants, de façon à mettre en évidence le rôle des divers groupes d'axiomes et la portée de chacun d'eux.
David HILBERT, Introduction

Notre ouvrage est une étude critique des principes de la géométrie ; l'idée directrice a été de rechercher si la réponse à une question donnée est possible, certains moyens étant imposés à l'avance. Cette idée paraît contenir une règle générale et naturelle ; lors de l'étude d'un problème mathématique ou d'un théorème, notre sens de la connaissance est satisfait dans les cas suivants : nous avons trouvé la solution complète du problème ou une démonstration rigoureuse du théorème ; si nous échouons, la raison de la nécessité de l'échec ou de l'impossibilité de la réussite est bien mise en évidence.
Ainsi, dans les mathématiques modernes, les questions posées par l'impossibilité de certaines solutions ou l'impossibilité de quelques problèmes jouent un rôle de premier plan ; le désir de répondre à une telle question a souvent été l'occasion de découvertes importantes. Citons la démonstration par Abel de l'impossibilité de la solution par radicaux de l'équation de degré cinq, la découverte de l'impossibilité de la démonstration de l'axiome des parallèles, et les théorèmes de Hermite et de Lindemann, de l'impossibilité de construire algébriquement les nombres e et π.
Lors de l'examen de la possibilité d'une démonstration, il faut veiller à la « pureté » des méthodes de démonstration ; l'importance de cette idée a souvent été mise en évidence par les mathématiciens. Ce besoin est au fond une forme subjective de l'idée directrice précédente. Notre travail a consisté en une recherche des axiomes, des conventions ou moyens auxiliaires nécessaires à la démonstration d'une vérité du domaine de la géométrie élémentaire ; dès lors, il ne reste plus qu'à choisir quelle méthode doit être préférée.
David HILBERT, Conclusion

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Chez Jordan l'élégance, haute et puissante, était généralité, clair enchaînement des idées, courageuse audace devant les difficultés, dédain des artifices.
Ces qualités maîtresses donnent à son Traité d'Analyse un attrait particulier. Jordan l'a d'ailleurs travaillé avec prédilection, utilisant au cours des éditions successives, comme seul, peut-être, il pouvait le faire, les travaux les plus récents et portant sur des sujets extrêmement variés. C'est ainsi que, dans la seconde édition, on trouve à la fois un exposé de théories sur les ensembles, dues à Cantor, et un véritable traité des fonctions elliptiques, le premier qui ait été construit en France à partir des idées de Weierstrass.
En 1912, il traite de la théorie toute nouvelle des équations intégrales et, de tous les travaux, il utilise surtout les plus récents, ceux de Goursat.
Si le Traité de Jordan est riche d'innovations, on y trouve aussi les trésors du passé et même ses souvenirs. Jordan est volontiers un novateur traditionaliste ; il conserve la division surannée en calcul différentiel et calcul intégral ; mais, comme ses réflexions lui ont fait reconnaître en l'intégrale la plus simple, la plus intuitive, la plus primitive de toutes les notions de l'analyse, il commence l'exposé du calcul différentiel par la définition de l'intégrale.
Henri LEBESGUE, Notice sur la vie et les travaux de Camille Jordan (1838-1922), 1923

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Le but de cet Ouvrage est de développer les méthodes de Galois et de les constituer en corps de doctrine, en montrant avec quelle facilité elles permettent de résoudre tous les principaux problèmes de la théorie des équations. Pour en faciliter l'intelligence, nous avons pris notre point de départ dans les éléments, et nous y avons exposé, outre nos propres recherches, tous les principaux résultats obtenus par les géomètres qui nous ont précédé. Mais nous avons souvent modifié assez profondément l'énoncé et le mode de démonstration de ces propositions, afin de tout ramener à des principes uniformes et aussi généraux que possible.
[...]
Parmi les Ouvrages que nous avons consultés, nous devons citer particulièrement, outre les Œuvres de Galois, dont tout ceci n'est qu'un Commentaire, le Cours d'Algèbre supérieure de J.-A. Serret. C'est la lecture assidue de ce Livre qui nous a initié à l'Algèbre et nous a inspiré le désir de contribuer à ses progrès.
Camille JORDAN, Préface 

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Les lignes suivantes, par lesquelles débute le livre de M. Poincaré sur l'Analysis situs, achèveront de caractériser la Géométrie des dimensions multiples, bien mieux que ce que nous pourrions faire.
« La Géométrie à n dimensions a un objet réel ; personne n'en doute aujourd'hui. Les êtres de l'hyperespace sont susceptibles de définitions précises comme ceux de l'espace ordinaire, et si nous ne pouvons nous les représenter, nous pouvons les concevoir et les étudier. Si donc, par exemple, la Mécanique à plus de trois dimensions doit être condamnée comme dépourvue de son objet, il n'en est pas de même de l'Hypergéométrie.
La Géométrie, en effet, n'a pas pour unique raison d'être la description immédiate des corps qui tombent sous nos sens : elle est avant tout l'étude analytique d'un groupe ; rien n'empêche par conséquent, d'aborder d'autres groupes analogues et plus généraux.

Mais pourquoi, dira-t-on, ne pas conserver le langage analytique et le remplacer par un langage géométrique, qui perd tous ses avantages dès que les sens ne peuvent plus intervenir. C'est que ce langage nouveau est plus concis ; c'est ensuite que l'analogie avec la Géométrie ordinaire peut créer des associations d'idées fécondes et suggérer des généralisations utiles. »
Esprit JOUFFRET, Avant-Propos-1922), 1923

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S'effaçant devant les auteurs dont il cite les textes essentiels, c'est en fait une œuvre magistrale d'historien et de philosophe de la Mécanique qu'Émile Jouguet met à la portée des étudiants eux-mêmes. Les textes réunis dans cet ouvrage sont choisis avec le plus sûr discernement pour illustrer l'aperçu que, dès le début, l'auteur donne des procédés par lesquels, partant d'idées vagues qui lui sont fournies par l'observation et l'expérience et qui constituent des produits à la fois de la nature des choses et de la nature de l'esprit, celui-ci parvient à construire les sciences rationnelles de la nature.
Dès la parution de cet ouvrage, Le Chatelier en recommandait la lecture « aux étudiants désireux de comprendre ce qu'ils apprennent ». Le conseil vaut assurément pour quiconque aspire à l'intelligence des principes de la Mécanique.
Le premier volume de ces Lectures consacré à « la naissance de la Mécanique », va d'Aristote et Archimède aux précurseurs immédiats de Newton. Le second, consacré à l' « organisation de la Mécanique », débute par les travaux de Newton et conduit, en passant par Lagrange, à ceux des mécaniciens modernes, Saint-Venant, Kirchhoff, Reech, Hertz et Poincaré.
Selon une vue personnelle et qui va très loin, l'auteur y distingue deux courants en lesquels le développement de la Dynamique moderne lui paraît se partager. Le premier de ces courants, qu'il rattache à Descartes, est issu de la notion de force des corps en mouvement et aboutit à la considération de l'énergie : c'est le courant énergétique représenté dans la Mécanique classique par les principes relatifs à l'inertie de la matière, à la conservation de la vitesse d'un point matériel isolé et à l'égalité de l'action et de la réaction. Le second courant procède de l'idée de Galilée de mesurer l'intensité d'un mouvement par la force statique qui l'arrête : c'est le courant statique qui donne le principe de la proportionnalité de la force à l'accélération.
Les travaux qui se rattachent à ce courant occupent la place principale dans l'histoire de la Mécanique rationnelle classique et Émile Jouguet y distinguent de nombreux points de vue différents soit qu'on donne avec d'Alembert, Carnot, Saint-Venant, Kirchhoff, Mach, le premier rang à la notion de masse, soit qu'on attribue celui-ci avec Euler et Reech à celle de force.
Maurice ROY, L'Œuvre scientifique d'Émile Jouguet

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La théorie des ensembles (Mengenlehre, theory of sets) est due à Georg Cantor qui en a jeté les bases et construit une remarquable synthèse. Par les notions qu'elle a introduites et les problèmes qu'elle a posés, elle a fécondé presque toutes les branches des mathématiques ou même conduit, à des disciplines nouvelles. Citons comme exemples, la théorie des ensembles de points, la nouvelle théorie des fonctions réelles, la topologie, l'analyse fonctionnelle, l'algèbre moderne. Mais elle a aussi, au-delà des mathématiques, donné une nouvelle impulsion à la logique scientifique et à la théorie de la connaissance.
Erich KAMKE, Chapitre I

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Un manuel de logique écrit à l'intention des étudiants par un logicien de réputation internationale.
Ce livre, d'une rare richesse intellectuelle et instrument de travail exceptionnel, est sans équivalent, même dans sa langue originale. Il est le fruit à la fois d'une longue expérience pédagogique et d'une connaissance de première main des sujets qui y sont exposés.
L'auteur réussit à donner à sa pensée une expression accessible et rigoureuse, jouant de toutes les ressources d'une pédagogie très au point : démonstrations informelles, résultats généraux prouvés sur un cas typique traité in extenso, exemples développés jusqu'à l'extrême détail, exercices placés à la fin de chaque section, grâce auxquels le lecteur peut reconstituer les concepts abstraits et s'assurer qu'il sait les mettre en œuvre.
Les notes placées en bas de page, renvoyant les unes aux autres et à des parties antérieures de l'ouvrage, contribuent à resserrer la cohérence et à guider le lecteur. Elles contiennent en outre une profusion de remarques et d'informations historiques, critiques, bibliographiques d'un intérêt considérable.

 

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