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Le « programme d'Erlangen » de Félix Klein est, à juste titre, considéré comme un des jalons les plus importants de l'histoire des mathématiques au XIXe siècle. Avec un siècle de recul, on peut dire qu'il constitue une sorte de « ligne de partage des eaux » : il apparaît comme un aboutissement de la longue et brillante évolution de la Géométrie projective depuis le début du siècle, qu'il résume, condense et « explique » grâce à la mise en valeur du rôle fondamental joué par le concept de groupe. En ce faisant, il inaugure en même temps la domination que va graduellement exercer la théorie des groupes sur toutes les mathématiques (et non seulement la Géométrie), ainsi que la fusion de plus en plus étroite des concepts issus de l'Algèbre, de la Géométrie ou de l'Analyse : tendances qui sont parmi les plus caractéristiques de la Mathématique d'aujourd'hui.
Jean DIEUDONNÉ, Préface

19,00 *
Référence: 262
54,00 *
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Cet ouvrage est un manuel très complet sur les diverses branches de la topologie (topologie générale, topologie algébrique).
Il contient en outre, à la fin du volume I une note de A. Mostowski : Quelques applications de la Topologie à la Logique mathématique.
M. BARBUT, Topologie générale et Algèbre de Kuratowski, Mathématiques et sciences humaines, t. 12 (1965)

90,00 *
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Après une brève préface qui évoque la situation de la pensée mathématique au début de ce siècle, un premier chapitre retrace à grands traits l'histoire de la science des fondements et donne une analyse détaillée de la notion de système formel.
Le Chapitre II prépare l'exposé du théorème de Gödel en expliquant comment se présente l'étude des propriétés d'un système formel et en décrivant les deux instruments de démonstration qui sont à la base du théorème : les paradoxes et les fonctions récursives.
Le Chapitre III est consacré entièrement au théorème de Gödel ; après en avoir donné une idée sommaire, il décrit de façon précise les hypothèses sur lesquelles il s'appuie, puis le mécanisme de sa démonstration ; il discute ensuite les critiques qui ont été formulées à l'égard de cette démonstration.
Le Chapitre IV indique plusieurs variantes du théorème de Gödel, obtenue sous des hypothèses plus simples ou plus générales par Kalmar, Kleene et Rosser.
Le Chapitre V décrit les répercussions qu'a exercée le théorème de Gödel sur la théorie de la démonstration (qui a pour objet de démontrer le caractère non-contradictoire des différentes théories mathématiques). Il donne une esquisse de la méthode utilisée par Gentzen pour établir la non-contradiction de l'arithmétique.
Le Chapitre VI se rapporte à des théorèmes de limitation d'une autre espèce : il s'agit du théorème de Church et des théorèmes apparentés relatifs au problème de la décision.
Le théorème de Gödel et celui de Church ont été retrouvés par Kleene sous forme de corollaire d'un théorème plus général qui porte sur la forme des prédicats dans un système formel. C'est ce théorème de Kleene et ses conséquences qui se trouvent exposés dans le Chapitre VII.
Le Chapitre vIII développe une autre méthode de généralisation du théorème de Gödel : la méthode axiomatique. Il décrit les formes généralisées données grâce à cette méthode au théorème de Gödel par Tarski et Mostowski.
Le Chapitre IX donne un aperçu d'autres faits de limitation. Il comporte en particulier l'évocation du théorème de Löwenheim-Skolem et de certains résultats relatifs à la théorie des modèles.
Le Chapitre X enfin abandonne le domaine du formalisme pour aborder celui de la critique philosophique et développe certaines remarques suggérées par les faits décrits dans les chapitres précédents.
Jean LADRIÉRE, Avant-Propos


 

 

65,00 *
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On a déjà plusieurs Traités de Mécanique, mais le plan de celui-ci est entièrement neuf. Je me suis proposé de réduire la théorie de cette Science, et l'art de résoudre les problèmes qui s'y rapportent, à des formules générales, dont le simple développement donne toutes les équations nécessaires pour la solution de chaque problème. J'espère que la manière dont j'ai tâché de remplir cet objet, ne laissera rien à désirer.
Cet ouvrage aura d'ailleurs une autre utilité ; il réunira et présentera sous un même point de vue, les différents Principes trouvés jusqu'ici pour faciliter la solution des questions de Mécanique, en montrera la liaison et la dépendance mutuelle, et mettra à portée de juger de leur justesse et de leur étendue.
Je le divise en deux Parties ; la Statique ou la Théorie de l'Équilibre, et la Dynamique ou la Théorie du Mouvement ; et chacune de ces parties traitera séparément des Corps solides et des fluides.
On ne trouvera point de Figures dans cet Ouvrage. Les méthodes que j'y expose ne demandent ni constructions, ni raisonnements géométriques ou mécaniques, mais seulement des opérations algébriques, assujetties à une marche régulière et uniforme. Ceux qui aiment l'Analyse, verront avec plaisir la Mécanique en devenir une nouvelle branche, et me sauront gré d'en avoir étendu ainsi le domaine.
Joseph-Louis LAGRANGE, Avertissement

64,00 *
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144,00 *
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La solution de tout problème déterminé se réduit, en dernière analyse, à la résolution d'une ou de plusieurs équations, dont les coefficients sont donnés en nombres, et qu'on peut appeler équations numériques. Il est donc important d'avoir des méthodes pour résoudre complètement ces équations, de quelque degré qu'elles soient. Celle que l'on trouve dans le Recueil des Mémoires de l'Académie de Berlin pour l'année 1767, est la seule qui offre des moyens directs et sûrs de découvrir toutes les racines tant réelles qu'imaginaires d'une équation numérique donnée, et d'approcher le plus rapidement et aussi près que l'on veut de chacune de ces racines. On a réuni dans le présent Traité le Mémoire qui contient cette méthode et les Additions qui ont paru dans le volume des Mémoires de la même Académie, pour l'année 1768. Et pour rendre ce Traité plus intéressant, on y a joint plusieurs Notes, dont les deux dernières paraissent pour la première fois dans cette nouvelle édition. Ces Notes contiennent des recherches sur les principaux points de la théorie des équations algébriques.
Joseph-Louis LAGRANGE, Introduction

72,00 *
Référence: 243

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Aucune des méthodes pratiquées ou proposées jusqu'à ce jour, pour suppléer à la méthode d'exhaustion des anciens, et pour la réduire en algorithme régulier, n'a paru à Lagrange réunir au degré désirable, l'exactitude et la simplicité requises dans les sciences mathématiques. Il a pensé néanmoins qu'il n'était pas impossible d'atteindre ce but important, et ses recherches à cet égard nous ont valu le grand ouvrage qu'il a publié sous le titre de Théorie des fonctions analytiques, contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération d'infiniment petits, d'évanouissants, de limites et de fluxions, et réduits à l'analyse algébrique des quantités finies. Lagrange a de plus donné, sur le même sujet, un autre ouvrage considérable, intitulé, Leçons sur le calcul des fonctions, lequel est un commentaire et un supplément pour le premier.
Ces écrits sont marqués au coin du génie original et profond, auquel nous devions déjà le Calcul des variations et la Mécanique analytique ; mais comme ils doivent se trouver entre les mains de tous ceux qui veulent approfondir la science du calcul, je n'en dirai ici qu'un mot.
Afin de conserver, dans tout le cours de ses opérations, l'exactitude rigoureuse dont il s'est fait la loi de ne jamais s'écarter, Lagrange qui fait aussi usage des différentielles, sous une autre dénomination et sous une autre notation, les considère comme des quantités finies, indéterminées. En conséquence il ne néglige aucun terme, et prend ses différentielles, comme on le fait, dans le calcul aux différences finies. C'est à quoi il parvient par le théorème de Taylor, dont il fait la base de sa doctrine, et qu'il démontre directement par l'analyse ordinaire, tandis qu'avant lui, on ne l'avait encore démontré que par le secours même du calcul différentiel.
Lazare CARNOT, Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal, 2édition

75,00 *
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Les Leçons suivantes, destinées à servir de commentaire et de supplément à la première Partie de la Théorie des fonctions analytiques, offrent un cours d'Analyse sur cette partie du calcul qu'on nomme communément infinitésimale ou transcendante, et qui n'est proprement que le Calcul des fonctions.
Ceux qui ont étudié le Calcul différentiel pourront se former, dans ces Leçons, des notions simples et exactes de ce Calcul ; ils y trouveront aussi des formules et des méthodes nouvelles, ou qui n'ont pas encore été présentées avec toute la clarté et la généralité qu'on pourrait désirer.
Dans cette nouvelle Édition, on a retouché plusieurs endroits pour y mettre plus de clarté et de simplicité, et on a inséré différentes additions dont les principales se trouvent dans les Leçons dix-huitième, vingt et unième et vingt-deuxième. Cette dernière contient un traité complet du Calcul des variations.
Joseph-Louis LAGRANGE, Avertissement

81,00 *
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La lecture de Lagrange était universelle ; il avait, outre les œuvres de ses contemporains, étudié avec une remarquable objectivité les travaux de tous les précurseurs anciens et modernes connus de son temps, comme en font foi les notices historiques dont il enrichit son traité. De cette lecture, Lagrange élimine les balbutiements et les contradictions qui abondent chez les précurseurs. Adoptant les concepts et les postulats des grands créateurs du siècle précédent (Galilée, Huyghens, Newton) et dépassant Euler et d'Alembert, Lagrange se préoccupe avant tout d'organiser la Mécanique, d'en fondre les principes, d'en perfectionner la langue mathématique, d'en dégager une méthode analytique générale de résolution des problèmes. Sa clarté d'esprit, son génie mathématique le servent à tel point qu'il parvient à une codification quasi parfaite de la Mécanique dans le champ classique. D'une façon précise, Lagrange énonce ainsi dans un Avertissement les buts qu'il se propose :
« Réduire la théorie de la mécanique et l'art d'y résoudre les problèmes qui s'y rapportent à des formules générales, dont le simple développement donne toutes les équations nécessaires pour la solution de chaque problème. »
« Réunir et présenter sous un même point de vue les différents Principes trouvés jusqu'ici pour faciliter la solution des questions de mécanique, en montrer la dépendance mutuelle et mettre à portée de juger de leur justesse et de leur étendue. »
Quant au point de vue purement mathématique qui est la préoccupation essentielle de Lagrange, celui-ci l'affirme ainsi :
« On ne trouvera point de Figures dans cet Ouvrage. Les méthodes que j'y expose ne demandent ni constructions ni raisonnements géométriques ou mécaniques, mais seulement des opérations algébriques assujetties à une marche régulière et uniforme. Ceux qui aiment l'Analyse verront avec plaisir la Mécanique en devenir une nouvelle branche et me sauront gré d'en avoir étendu ainsi le domaine. »
René DUGAS, Histoire de la Mécanique, 1950

 

162,00 *
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Encore un remarquable ouvrage de Géométrie dû à un savant roumain prématurément disparu. Trajan Lalesco s'est d'abord fait connaître par des publications concernant les équations intégrales. Je ne sais s'il a cherché à établir lui-même un lien entre ces équations et la Géométrie du triangle mais la chose ne me semble pas impossible. L'analyse des substitutions linéaires ou des matrices peut finalement prendre une forme intégrale et les transformations linéaires primitives ne sont qu'homographies capables de jouer abondamment dans le domaine triangulaire. Voies peut-être très différentes mais issues d'un même carrefour. L'auteur a su les parcourir avec un égal bonheur.
L'abondance des coordonnées associées au triangle (angulaires, normales, barycentriques, ...) traduit, au fond, des isomorphies groupales que les précurseurs ne mettaient pas en évidence, mais qui maintenant illustrent, de la façon la plus esthétique, un sujet qui ne demande qu'a être inséré dans la science élevée. C'est du moins l'impression que donne l'exposé. Très projectif, celui-ci ne manque pas de devenir métrique, c'est à dire trigonométrique.
Adolphe BUHL, L'Enseignement Mathématique, Vol. 37 (1938)

30,00 *
Référence: 261

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Telles sont les lois qui régissent les forces élastiques, en un même point, d'un milieu solide. Elles sont d'une très grande généralité, car les équations qui les renferment toutes ne supposent ni homogénéité ni approximation d'aucune espèce. Elles sont à l'abri de tout doute sur la nature des actions moléculaires. Leur démonstration est facile, tellement que nous avons pu craindre le reproche de développer ici une analyse par trop élémentaire. Leur énoncé a la forme géométrique, la plus goûtée des ingénieurs. Enfin, elles sont d'une utilité incontestable, et les praticiens trouveraient à chaque instant l'occasion de les utiliser, s'ils les connaissaient. N'y a-t-il pas lieu de s'étonner qu'une théorie si simple, si naturelle et si féconde en applications, n'entre régulièrement dans aucun cours classique ?
La Mécanique rationnelle emploie de même, pour étudier les moments d'inertie, la considération de l'ellipsoïde ; mais, on en conviendra, cette surface ne s'y présente pas aussi naturellement que notre ellipsoïde d'élasticité. En outre, ici les deux genres d'hyperboloïdes, et le cône, et l'ellipse, et les hyperboles conjuguées interviennent également. En un mot, les surfaces et les courbes du second ordre, pourvues de centre, viennent remplir dans la théorie de l'élasticité, un rôle aussi important que les sections coniques en Mécanique céleste ; elles lui appartiennent aux mêmes titres, elles en traduisent les lois avec autant de clarté, et même plus rigoureusement, car les lois des forces élastiques autour d'un point ne subissent aucune perturbation. Si dans l'avenir, la Mécanique rationnelle, courant plus rapidement sur les problèmes, aujourd'hui complètement résolus, du monde planétaire, se transforme pour s'occuper avec plus d'étendue de physique terrestre, la théorie que nous avons exposée dans cette leçon formera l'un de ses premiers chapitres, et des plus importants, comme la suite du Cours le démontrera.

Gabriel LAMÉ

61,00 *
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Il faudrait principalement s'attacher à donner quelques méthodes générales pour la solution d'un problème, suivant la manière de l'aborder, de le conduire au résultat, et de traduire cette dernière partie dans le langage de l'énoncé. C'est sans doute ce qu'il y aurait de plus difficile ; la multiplicité des moyens dont la Géométrie, dont l'Algèbre même peuvent se servir pour arriver au but proposé, la variété des questions, tout contribuerait à éloigner les méthodes générales ; mais on pourrait, il me semble, classer les problèmes suivant les ressemblances plus ou moins grandes de leurs moyens de solution, et l'on parviendrait peut-être, sinon à une méthode unique, du moins à un composé fini de moyens différents, que l'on pourrait regarder comme généraux vu leurs nombreuses applications
Tel est le but que je me propose dans le cours de cet Ouvrage. Je commencerai par récapituler les moyens de la Géométrie simple pour résoudre les problèmes ; je lui associerai ensuite le calcul. Je rendrai les principes que je présenterai plus clairs, plus frappants, par quelques exemples ; si les solutions que j'offre ne sont pas les plus simples, les plus élégantes, elles fourniront à mes lecteurs au moins un énoncé à travailler, et je m'applaudirai en faisant mal, d'avoir procuré à d'autres l'occasion de bien faire.
Gabriel LAMÉ, Introduction

36,00 *
Référence: 234

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Newton publia, vers la fin du dernier siècle, la découverte de la pesanteur universelle. Depuis cette époque, les géomètres sont parvenus à ramener à cette grande loi de la nature tous les phénomènes connus du système du monde, et à donner ainsi aux théories et aux tables astronomiques une précision inespérée.
Je me propose de présenter sous un même point de vue ces théories éparses dans un grand nombre d'ouvrages, et dont l'ensemble, embrassant tous les résultats de la gravitation universelle sur l'équilibre et sur les mouvements des corps solides et fluides qui composent le système solaire et les systèmes semblables répandus dans l'immensité des cieux, forme la mécanique céleste.
L'astronomie, considérée de la manière la plus générale, est un grand problème de mécanique, dont les éléments des mouvements célestes sont les arbitraires ; sa solution dépend à la fois de l'exactitude des observations et de la perfection de l'analyse, et il importe extrêmement d'en bannir tout empirisme, et de la réduire à n'emprunter de l'observation que les données indispensables.
C'est à remplir, autant qu'il m'a été possible, un objet aussi intéressant, que cet ouvrage est destiné. Je désire qu'en considération de l'importance et des difficultés de la matière les géomètres et  les astronomes le reçoivent avec indulgence, et qu'ils en trouvent les résultats assez simples pour les employer dans leurs recherches.
Il sera divisé en deux parties. Dans la première, je donnerai les méthodes et les formules pour déterminer les mouvements des centres de gravité des corps célestes, la figure de ces corps, les oscillations des fluides  qui les recouvrent, et leurs mouvements autour de leurs propres centres de gravité. Dans la seconde partie, j'appliquerai les formules trouvées dans la première, aux planètes, aux satellites et aux comètes ; je la terminerai par l'examen de diverses questions relatives au système du monde, et par une notice historique des travaux des géomètres sur cette matière.
J'adopterai la division décimale de l'angle droit et du jour, et je rapporterai les mesures linéaires à la longueur du mètre, déterminée par l'arc de méridien terrestre compris entre Dunkerque et Barcelone.
Pierre-Simon LAPLACE, Plan de l'Ouvrage 

360,00 *
Référence: 233

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De toutes les sciences naturelles, l'astronomie est celle qui présente le plus long enchaînement de découvertes. Il y a extrêmement loin de la première vue du ciel à la vue générale par laquelle on embrasse aujourd'hui les états passés et futurs du système du monde. Pour y parvenir, il a fallu observer les astres pendant un grand nombre de siècles ; reconnaître, dans leurs apparences, les mouvements réels de la Terre ; s'élever aux lois des mouvements planétaires, et, de ces lois, au principe de la pesanteur universelle ; redescendre, enfin, de ce principe à l'explication complète de tous les phénomènes célestes, jusque dans leurs moindres détails.
Voilà ce que l'esprit humain a fait dans l'astronomie. L'exposition de ces découvertes et de la manière la plus simple dont elles ont pu naître et se succéder aura le double avantage d'offrir un grand ensemble de vérités importantes et la vraie méthode qu'il faut suivre dans la recherche des lois de la nature. C'est l'objet que je me suis proposé dans cet ouvrage.
Pierre-Simon LAPLACE,  Objet de l'Ouvrage

72,00 *
Référence: 161

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Cet ouvrage a paru dans le cours de 1812 ; savoir, la première partie, vers le commencement de l'année; et la seconde partie, quelques mois après la première. Depuis ce temps, l'auteur s'est occupé spécialement à le perfectionner, soit en corrigeant de légères fautes qui s'y étaient glissées, soit par des additions utiles.
La principale est une introduction fort étendue, dans laquelle les principes de la théorie des probabilités, et leurs applications les plus intéressantes sont exposées sans le secours du calcul. Cette introduction, qui sert de préface à l'ouvrage, paraît encore séparément sous ce titre : Essai philosophique sur les probabilités.
La théorie de la probabilité des témoignages, omise dans la première édition, est ici présentée avec le développement qu'exige son importance.
Plusieurs théorèmes analytiques auxquels l'auteur était arrivé par des voies indirectes sont démontrés directement dans les Additions, qui renferment, de plus, un court extrait de l'Arithmétique des infinis de Wallis, l'un des ouvrages qui ont le plus contribué aux progrès de l'analyse, et où l'on trouve le germe de la théorie des intégrales définies, l'une des bases de ce nouveau calcul des probabilités.
L'auteur désire que son ouvrage, accru d'un tiers au moins par ces diverses additions, mérite l'attention des géomètres, et les excite à cultiver une branche aussi curieuse et aussi importante des connaissances humaines.

Pierre-Simon LAPLACE, Avertissement de la seconde édition

120,00 *
Référence: 226

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Rien d'essentiel de ce qui est contenu dans les travaux fondamentaux d'Einstein, de Planck, de Minkowski n'a été négligé ; on le retrouvera sous une forme ou sous une autre dans le présent exposé. La forme mathématique donnée récemment à la théorie par Sommerfeld fait l'objet d'un examen détaillé. On peut considérer comme nouveau l'exposé de la Dynamique (Chap. VII) étudiant d'une façon tout à fait générale l'influence des tensions élastiques sur l'impulsion et sur l'énergie, ainsi que la transformation des tensions quand on passe d'un système de référence à un autre.
Le présent exposé ne suppose chez le lecteur, en dehors du bagage ordinaire du théoricien de la Physique, du Calcul infinitésimal et de l'Analyse vectorielle, qu'une certaine connaissance de la théorie de Maxwell dont les lois les plus importantes sont, du reste, brièvement déduites au paragraphe 4. Les méthodes particulières, créées par Minkowski pour la théorie de la relativité, sont développées dans les paragraphes 9 à 13.
Max von LAUE, Tome I, Préface de la première édition

113,00 *
Référence: 159

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Nous avons traité, dans cette nouvelle édition, les mêmes matières que dans la première et dans le même ordre. Mais nous avons ajouté, hors cadre à la fin du Volume, deux Notes substantielles : l'une, assez étendue, sur la représentation paramétrique des ensembles mesurables (B), l'autre, plus courte, sur les extensions de l'intégrale de Stieltjes. Ce ne sont que des exposés fragmentaires et, s'ils peuvent nous suffire, c'est que deux monographies, récemment parues, comblent les lacunes de ces exposés : la deuxième édition des Leçons sur l'intégration de M. H. Lebesgue (1928) et les Leçons sur les ensembles analytiques et leurs applications de M. N. Lusin (1930). Le lecteur pourra y étudier, avec tous les développements qu'elles comportent, les belles questions que nous n'aurons fait qu'effleurer.
Ainsi, sauf l'addition de quelques compléments nécessaires, cette deuxième édition reste voisine de la première par le fond, mais elle a subi, en divers endroits, quelques remaniements de forme assez importants, tous dus à la même préoccupation, celle d'accentuer le plus possible le caractère réaliste des énoncés et des démonstrations. J'ai voulu prévenir toute possibilité d'interprétation idéaliste, proscrire tout recours, fût-il seulement apparent, à l'axiome du choix et ne fonder les démonstrations d'existence que sur des procédés de construction effectifs rigoureusement précisés. Cela correspond sans doute à une certaine évolution dans mes idées, mais je me suis abstenu de tout commentaire philosophique. Je n'aurais, en effet, rien à ajouter à ceux que l'on trouvera dans les Ouvrages de MM. Lebesgue et Lusin que j'ai déjà cités, auxquels il convient, sous ce rapport, de joindre un troisième Volume, les Leçons sur les nombres transfinis de M. W. Sierpinski (1928).
Charles-Jean de LA VALLÉE POUSSIN, Préface de la deuxième édition

21,00 *
Référence: 227

A reparaître

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TOME I
Le texte de cette troisième édition a été revu avec le plus grand soin et nous lui avons apporté un grand nombre d'améliorations de détail. Toutefois nous ne signalerons ici que les modifications les plus importantes.
En ce qui concerne la partie élémentaire ou le grand texte, nous avons abandonné l'ancienne définition de la différentielle totale et adopté celle de Stolz. La supériorité de cette définition a été mise en lumière par les travaux de MM. S. Pierpont, Fréchet, et surtout W. H. Young. Elle est indiscutable : les théorèmes découlant plus directement des principes, la théorie de la différentiation des fonctions explicites et implicites devient plus serrée et, par le fait, plus satisfaisante. Signalons encore que nous avons précisé les démonstrations relatives aux applications géométriques en introduisant les hypothèses de continuité ou de dérivabilité au fur et à mesure de leur nécessité seulement.
Passons maintenant aux théories plus élevées données dans le petit texte. Nous avons rejeté dans l'introduction et simplifié la théorie de la mesure des ensembles qui embarrassait précédemment le chapitre relatif aux intégrales définies. Nous avons refondu tout entière la théorie de l'intégrale de Lebesgue, mais nous avons conservé le procédé que nous avions introduit précédemment pour remonter de la dérivée à la primitive. Plusieurs années d'expérience et nos recherches personnelles nous ont suffisamment montré ses avantages et sa fécondité. Aussi bien son utilité apparaîtra-t-elle dans deux paragraphes nouveaux, l'un consacré au problème du changement de variable dans une intégrale définie, problème qui paraît recevoir ici sa solution définitive, l'autre consacré à la recherche de la primitive d'une dérivée seconde généralisée, question fondamentale dans la théorie des séries de Fourier.
Charles-Jean de LA VALLÉE POUSSIN, Avertissement

TOME II
Dans cette seconde édition, toute la rédaction du tome II a subi des modifications plus ou moins profondes, mais la plus importante provient de l'introduction des intégrales multiples de M. Lebesgue. Nous avons exposé cette théorie en nous guidant sur les Mémoires fondamentaux de l'auteur et nous avons été amené à traiter une question nouvelle qui en fournit d'intéressantes applications, celle des développements de fonctions en séries de polynomes. En outre, la théorie des séries trigonométriques, qui doit encore à M. Lebesgue ses plus importants progrès, a été complètement refondue et mise au niveau des connaissances actuelles.
Charles-Jean de LA VALLÉE POUSSIN, Préface

Référence: 096

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Ce qui manquait encore pour répandre la chimie pneumatique, c'était un livre d'enseignement pouvant servir de guide aux professeurs qui se ralliaient à la doctrine nouvelle. Ce livre d'enseignement, Lavoisier le donna dans les premiers jours de 1789 en publiant son Traité élémentaire de chimie.
Pour la première fois, maîtres et élèves, réduits jusque-là à la Chimie de Baumé ou au Dictionnaire de Macquer, avaient en mains un traité où la science était exposée, sans l'intervention du phlogistique, dans un langage nouveau et clair. Le succès en fut énorme, on s'empressa de le traduire à l'étranger ; les modestes professeurs qui y trouvaient un procédé simple et facile d'exposition l'adoptèrent avec enthousiasme. De tous les côtés, les félicitations arrivèrent à l'illustre maître qui pouvait enfin jouir de son triomphe.

[...]
Dans le Traité de chimie, Lavoisier publia ses recherches encore inédites sur la fermentation alcoolique, exécutées dans les années 1787 et 1788. Il avait découvert la transformation du sucre, constaté qu'il se dédouble en acide carbonique et alcool, déterminé le poids du sucre mis en réaction, les quantités d'alcool et d'acide carbonique produits. C'est à l'occasion de ce travail qu'il exposa la loi de la transformation de la matière :
« Rien ne se crée, ni dans les opérations de l'art, ni dans celles de la nature, et l'on peut poser en principe que, dans toute opération, il y a une égale quantité de matière avant et après l'opération, que la qualité et la quantité des principes est la même, et qu'il n'y a que des changements, des modifications. C'est sur ce principe qu'est fondé tout l'art de faire des expériences en chimie. On est obligé de supposer, dans toutes, une véritable égalité ou équation entre les principes du corps qu'on examine et ceux qu'on en retire par l'analyse. Ainsi, puisque du moût ou raisin donne du gaz acide carbonique et de l'alcool, je puis dire que le moût de raisin = acide carbonique + alcool. »
Édouard GRIMAUX, Lavoisier, 1743-1794, 2e éd., 1896

75,00 *
Référence: 059

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Suivant en cela l'exemple donné par M. Borel, j'ai rédigé ces Leçons sans supposer au lecteur d'autres connaissances qu celles qui font partie du programme de licence de toutes les Facultés ; je pourrais même dire que je ne suppose rien de plus que la connaissance de la définition et des propriétés les plus élémentaires de l'intégrale des fonctions continues. Mais, s'il n'est pas indispensable de connaître beaucoup de choses avant de lire ces Leçons, il est nécessaire d'avoir certaines habitudes d'esprit, il est utile de s'être déjà intéressé à certaines questions de la théorie des fonctions. Un lecteur parfaitement préparé serait celui qui aurait déjà lu l'Introduction à l'étude des fonctions d'une variable réelle, de M. Jules Tannery, et les Leçons sur la théorie des fonctions, de M. Émile Borel
[...]
Pour la rédaction, j'ai eu surtout recours aux Mémoires originaux ; je dois cependant signaler, comme m'ayant été particulièrement utiles, outre les deux Ouvrages précédemment cités, les Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali, de M. Ulisse Dini, et le Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, de M. Camille Jordan. Enfin j'ai à remercier M. Borel des conseils qu'il m"a donnés au cours de la correction des épreuves.
Henri LEBESGUE, Préface de la première édition, 1904

 

49,00 *
Référence: 022

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Dans son attachement à la Géométrie d'abord : Lebesgue fut avant tout un géomètre et sa découverte la plus éclatante, celle de l'intégrale qui porte son nom, a une origine géométrique. Dans son attachement à l'enseignement ensuite, son goût pour tout ce qui, en dehors d'un formalisme qui se borne à rassurer l'esprit, donne les raisons profondes qui l'éclairent et le satisfont. Dans sa lutte, enfin, contre la routine, le mélange et la confusion des propositions importantes et utiles et des jeux superficiels de la pensée, dans sa recherche d'une hiérarchie des vérités mathématiques.
Le Livre est un recueil des travaux de l'Auteur consacrés aux Coniques, groupés en cinq Chapitres. Les trois premiers concernent les exposés de la Théorie élémentaire des sections coniques ; les deux derniers traitent de deux problèmes importants et difficiles relatifs aux coniques : l'existence des polygones de Poncelet, à la fois inscrits dans une conique et circonscrits à d'autres, et celle des diamètres rectilignes des courbes algébriques.
Paul MONTEL, Préface

28,00 *
Référence: 002

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Le Livre étudie, dans la première Partie, à la lumière des théories modernes, les problèmes célèbres de l'antiquité sur les constructions par la règle et le compas et soulève à leur sujet nombre de questions nouvelles ; il traite aussi des courbes décrites par les points d'un système articulé. Une seconde Partie est consacrée à la solution des problèmes d'algèbre soulevés par ces constructions géométriques et, en particulier, aux questions de rationalité, d'irrationalité ou de transcendance ; à l'inscription des polygones réguliers dans le cercle. Enfin, une troisième Partie s'occupe des points à coordonnées rationnelles situés sur une courbe algébrique, de la construction des points de ces courbes et relie ces questions aux notions de genre, de surfaces de Riemann et à la théorie des nombres.
A propos de problèmes qui s'énoncent aisément, l'Auteur a écrit un livre d'une grande richesse conduisant le lecteur dans bien des domaines de la géométrie et de l'analyse modernes avec une grande simplicité de moyens et un rare bonheur d'expression.
Paul MONTEL, Préface

53,00 *
Référence: 077

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NOTE LIMINAIRE

L'ouvrage est partagé en 24 leçons et respecte l'ordre du programme * : géométrie orientée, transformations, coniques. L'étude de ces dernières est présentée, pour chacune d'elles, à partir de leur définition classique. L'étude en est reprise ensuite à partir de la définition commune. Il semble que cette manière d'opérer soit de nouveau en faveur dans nos classes. Le plus grand soin a été apporté à la clarté des figures et au choix des exercices qui, dès les premières leçons, comportent des textes des problèmes proposés au Baccalauréat.
* Programme du 27 juin 1945

 

49,00 *
Référence: 308

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Le premier traité d'Arithmétique supérieure, où d'Arithmologie, a été publié à la fin du siècle dernier par Legendre, sous le titre : Essai sur la théorie des nombres, Paris, An VI [1798]. Cet excellent ouvrage renfermait non seulement tout ce qui était connu jusqu'alors sur cette science, et notamment les recherches d'Euler et de Lagrange, sur les théorèmes énoncés par Fermat, mais encore les nombreuses découvertes de l'illustre auteur, qui rendit de si grands services à l'Arithmétique. On lui doit le théorème fondamental qui porte son nom, c'est-à-dire la Loi de réciprocité des résidus quadratiques. Deux autres éditions, considérablement augmentées, ont été publiées de son vivant ; la troisiéme, définitive, en 1830.
Édouard LUCAS, Théorie des nombres, 1891

150,00 *
Référence: 072

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Ce livre, simple et maniable, met au point une question apparue dans la Science ayec Hugoniot, brillamment poursuivie par M. Jacques Hadamard et aboutissant actuellement à la Mécanique ondulatoire, à la lumière ondulée et photonique, aux travaux développés en France par le génie de M. Louis de Broglie. Un coup d'oeil sur l'index placé à la fin du volume rappelle notamment Bateman, surtout Cauchy, Charpit, Darboux, Debye, Dirac, Einstein, Fermi. Fresnel, Goursat, Heisenberg, Jacobi, Janet, Maxwell, Pfaff, Planck, Riemann, Schrödinger, Volterra. Désordre alphabétique qui, cependant, rapproche toute la Physique théorique des équations aux dérivées partielles du second et du premier ordre. Car c'était véritablement un scandale de la Physique mathématique classique que de voir celle-ci ne reposer que sur des équations du second ordre; il restait à y incorporer l'équation de Jacobi, ce qui donna précisément naissance à la Mécanique des ondes.
Comme le fait expressément et excellemment remarquer M. Levi-Civita, la dualité des ondes et des corpuscules résulte de dualités analytiques fondamentales et simples, notamment de celle des caractéristiques et des bicaractéristiques. Ces notions ne sont pas nouvelles; il faut, pour la plus grande partie, les faire remonter à Cauchy. Une fois de plus, l'analyse abstraite aura pris, tout à coup, une signification phénoménale.
M. Levi-Civita est très large dans sa définition du mouvement ondulatoire. L'onde est la propagation d'une perturbation, parfois avec vitesse très grande, qui peut cependant ne dépendre que de petits mouvements, au sens qu'ont ces deux derniers mots dans la Mécanique classique. Autre raison pour profiter de Lagrange, d'Hamilton et de Jacobi dans les théories ondulatoires.
Les ondes ne vont pas sans conditions de compatibilité, les unes géométrico-cinématiques, les autres dynamiques. Ces dernières donnent des jeux d'opérateurs,un déterminant qui, annulé, conduit à l'équation aux dérivées partielles des variétés caractéristiques. Signalons encore les impossibilités relatives aux fluides visqueux et le transport de la notion d'onde, par discontinuité transversale, dans la théorie de Maxwell. Certes l'optique ondulatoire et la théorie électromagnétique ont, depuis longtemps, des représentations d'ondes, généralement trigonométriques mais ce n'était pas sur de tels points qu'il y avait intérêt à revenir. Il fallait montrer plutôt comment l'onde discontinuité s'introduisait dans ces disciplines et c'est, au fond, fort simple, les équations générales de la dynamique des milieux continus étant de très proches parentes de celles de Maxwell.
Adolphe BUHL, L'Enseignement Mathématique, Vol. 30 (1931)

21,00 *
Référence: 231

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On sait que le calcul des probabilités repose essentiellement sur un théorème unique, la loi des grands nombres. On peut dire que la théorie a pour seul objet de démontrer ce théorème, et quelques autres qui s'y rattachent. Les problèmes relatifs aux jeux de cartes, qui tiennent souvent une grande place dans les traités de calcul des probabilités, n'ont d'intérêt que comme exemples simples permettant de faire comprendre la portée des principes. Mais dès qu'ils deviennent plus compliqués, ce sont des exercices d'analyse combinatoire plutôt que de calcul des probabilités.
Pour établir la loi des grands nombres, ou plutôt pour établir les quelques résultats qui la complètent et la précisent, et mettent en évidence le rôle de la loi de Gauss dans la théorie des erreurs, on peut ne pas chercher à faire une théorie mathématique précise et se contenter de raisonnements de bon sens. C'est ce qu'ont fait MM. Borel et Deltheil dans leur petit livre publié dans la collection Armand Colin, et il n'y a rien à ajouter à ce qu'ils ont dit. Mais pour le mathématicien, cela ne saurait suffire. Il faut justifier les principes fondamentaux de la théorie des erreurs en précisant convenablement la notion intuitive d'erreur accidentelle et en en déduisant par un raisonnement rigoureux que l'erreur accidentelle obéit à la loi de Gauss, M. Borel estime que ce résultat ne justifie pas l'appareil mathématique nécessaire pour y parvenir.
Le lecteur verra que cet appareil mathématique n'est pas aussi imposant qu'on le croit généralement. On arrive très simplement au résultat, en utilisant la notion de fonction caractéristique. J'ai indiqué cette méthode dès 1920 dans mon cours de l'École Polytechnique. Constatant qu'elle semblait peu connue, et que son utilisation systématique conduisait à des résultats nouveaux, j'ai, en 1922 et 1923, présenté à l'Académie des Sciences quelques notes sur ce sujet. Grande a été ma surprise en apprenant par une lettre de M. G. Polya, écrite à la suite de la première de ces notes, que cette méthode et quelques-uns des résultats que je croyais nouveaux avaient été développés dans des notes présentées par Cauchy à l'Académie des Sciences en 1853 ; il est même possible que tous les résultats de Cauchy n'aient pas été publiés ; l'Académie des Sciences trouvait en effet que l'illustre savant mettait trop peu de discrétion à remplir les Comptes rendus de ses découvertes. Quoi qu'il en soit, il est singulier que quelques notes du plus grand mathématicien de l'époque, relatives à un problème qui a fait l'objet de tant de recherches, n'aient pas attiré l'attention. Poincaré, dans la deuxième édition de son Calcul des Probabilités, indique en quelques lignes le principe de la méthode de Cauchy ; il semble d'ailleurs qu'il ait ignoré qu'elle était de Cauchy et il est à peu près certain qu'il n'en a pas vu toute la portée. Aucun des ouvrages publiés depuis n'indique cette méthode, qui semble avoir été ignorée même par les rédacteurs de l'Encyclopédie des Sciences Mathématiques. Aussi, ai-je pensé qu'un nouveau livre, consacré en grande partie au développement systématique de cette méthode, ne ferait pas double emploi avec les précédents.
Paul LÉVY, Préface

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Référence: 207

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Le calcul des probabilités a fait, depuis environ quinze ans, des progrès immenses. Des problèmes classiques ont reçu une solution plus complète qu'il ne semblait au début de ce siècle possible d'espérer. Des problèmes nouveaux, nés de la théorie des probabilités dénombrables, ont été posés et souvent résolus. Aussi ne saurait-il être question de donner en un volume un exposé de l'ensemble du calcul des probabilités, dans son état actuel. Mon but est plus restreint. Mes recherches personnelles ayant eu principalement pour objet, depuis plusieurs années, l'étude des problèmes asymptotiques relatifs aux probabilités, il m'a semblé que le moment était venu de donner un exposé d'ensemble de l'état actuel des questions que j'ai ainsi étudiées, et qui ont pendant la même période fait l'objet de nombreux travaux parmi lesquels il convient de mentionner tout spécialement ceux de MM. A. Khintchine et A. Kolmogoroff.
Je n'ai pensé à choisir un titre pour ce livre qu'après en avoir terminé la rédaction, et il était difficile d'en trouver un qui corresponde exactement aux questions exposées. Aussi le lecteur ne doit-il pas s'étonner s'il trouve que mon sujet n'a pas été traité d'une manière complète, ou au contraire que j'en suis sorti dans le dernier chapitre ; c'est le titre qui a tort ; mon intention a été de parler des questions sur lesquelles j'avais quelque chose à dire.
Paul LÉVY, Préface de la première édition, 1937

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