Après une brève préface qui évoque la situation de la pensée mathématique au début de ce siècle, un premier chapitre retrace à grands traits l'histoire de la science des fondements et donne une analyse détaillée de la notion de système formel.
Le Chapitre II prépare l'exposé du théorème de Gödel en expliquant comment se présente l'étude des propriétés d'un système formel et en décrivant les deux instruments de démonstration qui sont à la base du théorème : les paradoxes et les fonctions récursives.
Le Chapitre III est consacré entièrement au théorème de Gödel ; après en avoir donné une idée sommaire, il décrit de façon précise les hypothèses sur lesquelles il s'appuie, puis le mécanisme de sa démonstration ; il discute ensuite les critiques qui ont été formulées à l'égard de cette démonstration.
Le Chapitre IV indique plusieurs variantes du théorème de Gödel, obtenue sous des hypothèses plus simples ou plus générales par Kalmar, Kleene et Rosser.
Le Chapitre V décrit les répercussions qu'a exercée le théorème de Gödel sur la théorie de la démonstration (qui a pour objet de démontrer le caractère non-contradictoire des différentes théories mathématiques). Il donne une esquisse de la méthode utilisée par Gentzen pour établir la non-contradiction de l'arithmétique.
Le Chapitre VI se rapporte à des théorèmes de limitation d'une autre espèce : il s'agit du théorème de Church et des théorèmes apparentés relatifs au problème de la décision.
Le théorème de Gödel et celui de Church ont été retrouvés par Kleene sous forme de corollaire d'un théorème plus général qui porte sur la forme des prédicats dans un système formel. C'est ce théorème de Kleene et ses conséquences qui se trouvent exposés dans le Chapitre VII.
Le Chapitre vIII développe une autre méthode de généralisation du théorème de Gödel : la méthode axiomatique. Il décrit les formes généralisées données grâce à cette méthode au théorème de Gödel par Tarski et Mostowski.
Le Chapitre IX donne un aperçu d'autres faits de limitation. Il comporte en particulier l'évocation du théorème de Löwenheim-Skolem et de certains résultats relatifs à la théorie des modèles.
Le Chapitre X enfin abandonne le domaine du formalisme pour aborder celui de la critique philosophique et développe certaines remarques suggérées par les faits décrits dans les chapitres précédents.
Jean LADRIÉRE, Avant-Propos

 

La lecture de Lagrange était universelle ; il avait, outre les œuvres de ses contemporains, étudié avec une remarquable objectivité les travaux de tous les précurseurs anciens et modernes connus de son temps, comme en font foi les notices historiques dont il enrichit son traité. De cette lecture, Lagrange élimine les balbutiements et les contradictions qui abondent chez les précurseurs. Adoptant les concepts et les postulats des grands créateurs du siècle précédent (Galilée, Huyghens, Newton) et dépassant Euler et d'Alembert, Lagrange se préoccupe avant tout d'organiser la Mécanique, d'en fondre les principes, d'en perfectionner la langue mathématique, d'en dégager une méthode analytique générale de résolution des problèmes. Sa clarté d'esprit, son génie mathématique le servent à tel point qu'il parvient à une codification quasi parfaite de la Mécanique dans le champ classique. D'une façon précise, Lagrange énonce ainsi dans un Avertissement les buts qu'il se propose :
« Réduire la théorie de la mécanique et l'art d'y résoudre les problèmes qui s'y rapportent à des formules générales, dont le simple développement donne toutes les équations nécessaires pour la solution de chaque problème. »
« Réunir et présenter sous un même point de vue les différents Principes trouvés jusqu'ici pour faciliter la solution des questions de mécanique, en montrer la dépendance mutuelle et mettre à portée de juger de leur justesse et de leur étendue. »
Quant au point de vue purement mathématique qui est la préoccupation essentielle de Lagrange, celui-ci l'affirme ainsi :
« On ne trouvera point de Figures dans cet Ouvrage. Les méthodes que j'y expose ne demandent ni constructions ni raisonnements géométriques ou mécaniques, mais seulement des opérations algébriques assujetties à une marche régulière et uniforme. Ceux qui aiment l'Analyse verront avec plaisir la Mécanique en devenir une nouvelle branche et me sauront gré d'en avoir étendu ainsi le domaine. »
René DUGAS, Histoire de la Mécanique, 1950

Telles sont les lois qui régissent les forces élastiques, en un même point, d'un milieu solide. Elles sont d'une très grande généralité, car les équations qui les renferment toutes ne supposent ni homogénéité ni approximation d'aucune espèce. Elles sont à l'abri de tout doute sur la nature des actions moléculaires. Leur démonstration est facile, tellement que nous avons pu craindre le reproche de développer ici une analyse par trop élémentaire. Leur énoncé a la forme géométrique, la plus goûtée des ingénieurs. Enfin, elles sont d'une utilité incontestable, et les praticiens trouveraient à chaque instant l'occasion de les utiliser, s'ils les connaissaient. N'y a-t-il pas lieu de s'étonner qu'une théorie si simple, si naturelle et si féconde en applications, n'entre régulièrement dans aucun cours classique ?
La Mécanique rationnelle emploie de même, pour étudier les moments d'inertie, la considération de l'ellipsoïde ; mais, on en conviendra, cette surface ne s'y présente pas aussi naturellement que notre ellipsoïde d'élasticité. En outre, ici les deux genres d'hyperboloïdes, et le cône, et l'ellipse, et les hyperboles conjuguées interviennent également. En un mot, les surfaces et les courbes du second ordre, pourvues de centre, viennent remplir dans la théorie de l'élasticité, un rôle aussi important que les sections coniques en Mécanique céleste ; elles lui appartiennent aux mêmes titres, elles en traduisent les lois avec autant de clarté, et même plus rigoureusement, car les lois des forces élastiques autour d'un point ne subissent aucune perturbation. Si dans l'avenir, la Mécanique rationnelle, courant plus rapidement sur les problèmes, aujourd'hui complètement résolus, du monde planétaire, se transforme pour s'occuper avec plus d'étendue de physique terrestre, la théorie que nous avons exposée dans cette leçon formera l'un de ses premiers chapitres, et des plus importants, comme la suite du Cours le démontrera.
Gabriel LAMÉ

Newton publia, vers la fin du dernier siècle, la découverte de la pesanteur universelle. Depuis cette époque, les géomètres sont parvenus à ramener à cette grande loi de la nature tous les phénomènes connus du système du monde, et à donner ainsi aux théories et aux tables astronomiques une précision inespérée.
Je me propose de présenter sous un même point de vue ces théories éparses dans un grand nombre d'ouvrages, et dont l'ensemble, embrassant tous les résultats de la gravitation universelle sur l'équilibre et sur les mouvements des corps solides et fluides qui composent le système solaire et les systèmes semblables répandus dans l'immensité des cieux, forme la mécanique céleste.
L'astronomie, considérée de la manière la plus générale, est un grand problème de mécanique, dont les éléments des mouvements célestes sont les arbitraires ; sa solution dépend à la fois de l'exactitude des observations et de la perfection de l'analyse, et il importe extrêmement d'en bannir tout empirisme, et de la réduire à n'emprunter de l'observation que les données indispensables.
C'est à remplir, autant qu'il m'a été possible, un objet aussi intéressant, que cet ouvrage est destiné. Je désire qu'en considération de l'importance et des difficultés de la matière les géomètres et  les astronomes le reçoivent avec indulgence, et qu'ils en trouvent les résultats assez simples pour les employer dans leurs recherches.
Il sera divisé en deux parties. Dans la première, je donnerai les méthodes et les formules pour déterminer les mouvements des centres de gravité des corps célestes, la figure de ces corps, les oscillations des fluides  qui les recouvrent, et leurs mouvements autour de leurs propres centres de gravité. Dans la seconde partie, j'appliquerai les formules trouvées dans la première, aux planètes, aux satellites et aux comètes ; je la terminerai par l'examen de diverses questions relatives au système du monde, et par une notice historique des travaux des géomètres sur cette matière.
J'adopterai la division décimale de l'angle droit et du jour, et je rapporterai les mesures linéaires à la longueur du mètre, déterminée par l'arc de méridien terrestre compris entre Dunkerque et Barcelone.
Pierre-Simon LAPLACE, Plan de l'Ouvrage 

Cet ouvrage a paru dans le cours de 1812 ; savoir, la première partie, vers le commencement de l'année; et la seconde partie, quelques mois après la première. Depuis ce temps, l'auteur s'est occupé spécialement à le perfectionner, soit en corrigeant de légères fautes qui s'y étaient glissées, soit par des additions utiles.
La principale est une introduction fort étendue, dans laquelle les principes de la théorie des probabilités, et leurs applications les plus intéressantes sont exposées sans le secours du calcul. Cette introduction, qui sert de préface à l'ouvrage, paraît encore séparément sous ce titre : Essai philosophique sur les probabilités.
La théorie de la probabilité des témoignages, omise dans la première édition, est ici présentée avec le développement qu'exige son importance.
Plusieurs théorèmes analytiques auxquels l'auteur était arrivé par des voies indirectes sont démontrés directement dans les Additions, qui renferment, de plus, un court extrait de l'Arithmétique des infinis de Wallis, l'un des ouvrages qui ont le plus contribué aux progrès de l'analyse, et où l'on trouve le germe de la théorie des intégrales définies, l'une des bases de ce nouveau calcul des probabilités.
L'auteur désire que son ouvrage, accru d'un tiers au moins par ces diverses additions, mérite l'attention des géomètres, et les excite à cultiver une branche aussi curieuse et aussi importante des connaissances humaines.
Pierre-Simon LAPLACE, Avertissement de la seconde édition

Nous avons traité, dans cette nouvelle édition, les mêmes matières que dans la première et dans le même ordre. Mais nous avons ajouté, hors cadre à la fin du Volume, deux Notes substantielles : l'une, assez étendue, sur la représentation paramétrique des ensembles mesurables (B), l'autre, plus courte, sur les extensions de l'intégrale de Stieltjes. Ce ne sont que des exposés fragmentaires et, s'ils peuvent nous suffire, c'est que deux monographies, récemment parues, comblent les lacunes de ces exposés : la deuxième édition des Leçons sur l'intégration de M. H. Lebesgue (1928) et les Leçons sur les ensembles analytiques et leurs applications de M. N. Lusin (1930). Le lecteur pourra y étudier, avec tous les développements qu'elles comportent, les belles questions que nous n'aurons fait qu'effleurer.
Ainsi, sauf l'addition de quelques compléments nécessaires, cette deuxième édition reste voisine de la première par le fond, mais elle a subi, en divers endroits, quelques remaniements de forme assez importants, tous dus à la même préoccupation, celle d'accentuer le plus possible le caractère réaliste des énoncés et des démonstrations. J'ai voulu prévenir toute possibilité d'interprétation idéaliste, proscrire tout recours, fût-il seulement apparent, à l'axiome du choix et ne fonder les démonstrations d'existence que sur des procédés de construction effectifs rigoureusement précisés. Cela correspond sans doute à une certaine évolution dans mes idées, mais je me suis abstenu de tout commentaire philosophique. Je n'aurais, en effet, rien à ajouter à ceux que l'on trouvera dans les Ouvrages de MM. Lebesgue et Lusin que j'ai déjà cités, auxquels il convient, sous ce rapport, de joindre un troisième Volume, les Leçons sur les nombres transfinis de M. W. Sierpinski (1928).
Charles-Jean de LA VALLÉE POUSSIN, Préface de la deuxième édition

Ce qui manquait encore pour répandre la chimie pneumatique, c'était un livre d'enseignement pouvant servir de guide aux professeurs qui se ralliaient à la doctrine nouvelle. Ce livre d'enseignement, Lavoisier le donna dans les premiers jours de 1789 en publiant son Traité élémentaire de chimie.
Pour la première fois, maîtres et élèves, réduits jusque-là à la Chimie de Baumé ou au Dictionnaire de Macquer, avaient en mains un traité où la science était exposée, sans l'intervention du phlogistique, dans un langage nouveau et clair. Le succès en fut énorme, on s'empressa de le traduire à l'étranger ; les modestes professeurs qui y trouvaient un procédé simple et facile d'exposition l'adoptèrent avec enthousiasme. De tous les côtés, les félicitations arrivèrent à l'illustre maître qui pouvait enfin jouir de son triomphe.

[...]
Dans le Traité de chimie, Lavoisier publia ses recherches encore inédites sur la fermentation alcoolique, exécutées dans les années 1787 et 1788. Il avait découvert la transformation du sucre, constaté qu'il se dédouble en acide carbonique et alcool, déterminé le poids du sucre mis en réaction, les quantités d'alcool et d'acide carbonique produits. C'est à l'occasion de ce travail qu'il exposa la loi de la transformation de la matière :
« Rien ne se crée, ni dans les opérations de l'art, ni dans celles de la nature, et l'on peut poser en principe que, dans toute opération, il y a une égale quantité de matière avant et après l'opération, que la qualité et la quantité des principes est la même, et qu'il n'y a que des changements, des modifications. C'est sur ce principe qu'est fondé tout l'art de faire des expériences en chimie. On est obligé de supposer, dans toutes, une véritable égalité ou équation entre les principes du corps qu'on examine et ceux qu'on en retire par l'analyse. Ainsi, puisque du moût ou raisin donne du gaz acide carbonique et de l'alcool, je puis dire que le moût de raisin = acide carbonique + alcool. »
Édouard GRIMAUX, Lavoisier, 1743-1794, 2^e éd., 1896

Dans son attachement à la Géométrie d'abord : Lebesgue fut avant tout un géomètre et sa découverte la plus éclatante, celle de l'intégrale qui porte son nom, a une origine géométrique. Dans son attachement à l'enseignement ensuite, son goût pour tout ce qui, en dehors d'un formalisme qui se borne à rassurer l'esprit, donne les raisons profondes qui l'éclairent et le satisfont. Dans sa lutte, enfin, contre la routine, le mélange et la confusion des propositions importantes et utiles et des jeux superficiels de la pensée, dans sa recherche d'une hiérarchie des vérités mathématiques.
Le Livre est un recueil des travaux de l'Auteur consacrés aux Coniques, groupés en cinq Chapitres. Les trois premiers concernent les exposés de la Théorie élémentaire des sections coniques ; les deux derniers traitent de deux problèmes importants et difficiles relatifs aux coniques : l'existence des polygones de Poncelet, à la fois inscrits dans une conique et circonscrits à d'autres, et celle des diamètres rectilignes des courbes algébriques.
Paul MONTEL, Préface

NOTE LIMINAIRE

L'ouvrage est partagé en 24 leçons et respecte l'ordre du programme * : géométrie orientée, transformations, coniques. L'étude de ces dernières est présentée, pour chacune d'elles, à partir de leur définition classique. L'étude en est reprise ensuite à partir de la définition commune. Il semble que cette manière d'opérer soit de nouveau en faveur dans nos classes. Le plus grand soin a été apporté à la clarté des figures et au choix des exercices qui, dès les premières leçons, comportent des textes des problèmes proposés au Baccalauréat.
* Programme du 27 juin 1945

Ce livre, simple et maniable, met au point une question apparue dans la Science ayec Hugoniot, brillamment poursuivie par M. Jacques Hadamard et aboutissant actuellement à la Mécanique ondulatoire, à la lumière ondulée et photonique, aux travaux développés en France par le génie de M. Louis de Broglie. Un coup d'oeil sur l'index placé à la fin du volume rappelle notamment Bateman, surtout Cauchy, Charpit, Darboux, Debye, Dirac, Einstein, Fermi. Fresnel, Goursat, Heisenberg, Jacobi, Janet, Maxwell, Pfaff, Planck, Riemann, Schrödinger, Volterra. Désordre alphabétique qui, cependant, rapproche toute la Physique théorique des équations aux dérivées partielles du second et du premier ordre. Car c'était véritablement un scandale de la Physique mathématique classique que de voir celle-ci ne reposer que sur des équations du second ordre; il restait à y incorporer l'équation de Jacobi, ce qui donna précisément naissance à la Mécanique des ondes.
Comme le fait expressément et excellemment remarquer M. Levi-Civita, la dualité des ondes et des corpuscules résulte de dualités analytiques fondamentales et simples, notamment de celle des caractéristiques et des bicaractéristiques. Ces notions ne sont pas nouvelles; il faut, pour la plus grande partie, les faire remonter à Cauchy. Une fois de plus, l'analyse abstraite aura pris, tout à coup, une signification phénoménale.
M. Levi-Civita est très large dans sa définition du mouvement ondulatoire. L'onde est la propagation d'une perturbation, parfois avec vitesse très grande, qui peut cependant ne dépendre que de petits mouvements, au sens qu'ont ces deux derniers mots dans la Mécanique classique. Autre raison pour profiter de Lagrange, d'Hamilton et de Jacobi dans les théories ondulatoires.
Les ondes ne vont pas sans conditions de compatibilité, les unes géométrico-cinématiques, les autres dynamiques. Ces dernières donnent des jeux d'opérateurs,un déterminant qui, annulé, conduit à l'équation aux dérivées partielles des variétés caractéristiques. Signalons encore les impossibilités relatives aux fluides visqueux et le transport de la notion d'onde, par discontinuité transversale, dans la théorie de Maxwell. Certes l'optique ondulatoire et la théorie électromagnétique ont, depuis longtemps, des représentations d'ondes, généralement trigonométriques mais ce n'était pas sur de tels points qu'il y avait intérêt à revenir. Il fallait montrer plutôt comment l'onde discontinuité s'introduisait dans ces disciplines et c'est, au fond, fort simple, les équations générales de la dynamique des milieux continus étant de très proches parentes de celles de Maxwell.
Adolphe BUHL, L'Enseignement Mathématique, Vol. 30 (1931)

A reparaître

Le calcul des probabilités a fait, depuis environ quinze ans, des progrès immenses. Des problèmes classiques ont reçu une solution plus complète qu'il ne semblait au début de ce siècle possible d'espérer. Des problèmes nouveaux, nés de la théorie des probabilités dénombrables, ont été posés et souvent résolus. Aussi ne saurait-il être question de donner en un volume un exposé de l'ensemble du calcul des probabilités, dans son état actuel. Mon but est plus restreint. Mes recherches personnelles ayant eu principalement pour objet, depuis plusieurs années, l'étude des problèmes asymptotiques relatifs aux probabilités, il m'a semblé que le moment était venu de donner un exposé d'ensemble de l'état actuel des questions que j'ai ainsi étudiées, et qui ont pendant la même période fait l'objet de nombreux travaux parmi lesquels il convient de mentionner tout spécialement ceux de MM. A. Khintchine et A. Kolmogoroff.
Je n'ai pensé à choisir un titre pour ce livre qu'après en avoir terminé la rédaction, et il était difficile d'en trouver un qui corresponde exactement aux questions exposées. Aussi le lecteur ne doit-il pas s'étonner s'il trouve que mon sujet n'a pas été traité d'une manière complète, ou au contraire que j'en suis sorti dans le dernier chapitre ; c'est le titre qui a tort ; mon intention a été de parler des questions sur lesquelles j'avais quelque chose à dire.
Paul LÉVY, Préface de la première édition, 1937