Dans cet Ouvrage sont exposées quelques méthodes pour la résolution des questions concernant les propriétés du mouvement et, en particulier, de l'équilibre, qui sont connues sous les dénominations de stabilité et d'instabilité.
[...]
L'essai unique, autant que je sache, de solution rigoureuse de la question appartient à M. Poincaré, qui, dans le Mémoire remarquable sous bien des rapports Sur les courbes définies par les équations différentielles, et en particulier, dans ses deux dernières Parties, considère des questions de stabilité relatives au cas des systèmes d'équations différentielles du second ordre et s'arrête aussi à quelques questions voisines, se rapportant à des systèmes du troisième ordre.
Bien que M. Poincaré se borne à des cas très particuliers, les méthodes dont il se sert permettent des applications beaucoup plus générales et peuvent encore conduire à beaucoup de nouveaux résultats. C'est ce qu'on verra par ce qui va suivre, car, dans une grande partie de mes recherches, je me suis guidé par les idées développées dans le Mémoire cité.
Le problème que je me suis posé, en entreprenant la présente étude, peut être formulé ainsi : indiquer les cas où la première approximation résout réellement la question de stabilité, et donner des procédés qui permettraient de la résoudre, au moins dans certains cas, quand la première approximation ne suffit plus.
Pour arriver à quelques résultats, il était tout d'abord nécessaire de faire certaines hypothèses, relativement aux équations différentielles considérées.
La plus simple, et en même temps celle qui conviendrait aux applications les plus importantes et les plus intéressantes, consisterait en ce que les coefficients dans les développements des seconds membres de ces équations sont des quantités constantes. L'hypothèse plus générale que ces coefficients sont des fonctions périodiques du temps correspondrait aussi à des questions intéressantes très nombreuses.
C'est dans ces deux hypothèses que je traite principalement la question.
Du reste, je touche en partie le cas plus général où lesdits coefficients sont des fonctions quelconques du temps qui ne dépassent jamais, en valeurs absolues, certaines limites.
Alexandre LIAPOUNOFF, Préface

La rédaction de cette préface ramène à mon esprit, après plus de trente ans, le souvenir et l'émouvante atmosphère des temps où les théories de la relativité commençaient leur grande carrière. Elle évoque aussi pour moi tous les travaux que j'ai eu la joie de voir aboutir, grâce à A. Lichnerowicz et ses élèves, avec une richesse de résultats qui comblait mes espoirs, et parfois les passait. Sans doute cet ensemble est encore destiné à s'agrandir, mais dans son ampleur actuelle, il était temps de le faire connaître. C'est ce que fit A. Lichnerowicz dans ses Cours du Collège de France, pendant les deux années 1952-1953 et 1953-1954. Et c'est la matière de ces deux cours qui constitue le présent livre.
Le cheminement de la pensée d'Einstein, à partir de la relativité restreinte, peut maintenant être esquissé dans sa grandiose simplicité, avec l'espoir de ne pas lui être infidèle.
Georges DARMOIS, Préface

Les progrès réalisés depuis quelques années dans la théorie des fonctions analytiques ont fait ressortir combien sont toujours fécondes et efficaces les méthodes ingénieuses créées par Cauchy, parmi lesquelles il convient de citer en premier lieu le Calcul des résidus. Il n'est donc pas sans intérêt de revenir maintenant sur ce Calcul classique et d'étudier systématiquement le rôle qu'il joue dans la théorie des fonctions proprement dite. C'est ce que nous avons tâché de faire dans ce petit Livre, en vue de faciliter dans une certaine mesure l'accès des parties modernes de l'Analyse.
Dans le premier Chapitre, nous passons rapidement en revue les principes et théorèmes généraux dont nous aurons à faire usage, en cherchant d'ailleurs à varier un peu ce sujet tant de fois exposé. Ayant fait une étude détaillée des travaux de Cauchy, y compris quelques Mémoires peu répandus que M. Mittag-Leffler a généreusement mis à notre disposition, nous avons tenu à relever les dates et à faire ressortir la portée de ses découvertes, ce qui nous a paru d'autant plus nécessaire qu'on rencontre souvent, dans la littérature, des indications assez peu exactes à ce sujet.
Le deuxième Chapitre contient diverses applications du Calcul des résidus, dues pour la plupart à Cauchy. Cependant les limites restreintes imposées à cet Ouvrage ne nous ont permis de donner qu'une idée très imparfaite du parti que Cauchy avait tiré lui-même de son Calcul. Parmi les applications faites par lui qui n'ont pu trouver place dans ce Chapitre, nous devons signaler surtout la méthode qu'il a employée pour obtenir des séries analogues à celle de Fourier, méthode dont on trouvera une très belle exposition au Tome II du Traité d'Analyse de M. Picard.
Le troisième Chapitre est consacré aux formules sommatoires. Le Calcul des résidus, appliqué systématiquement, permet de rattacher toutes ces formules, avec leurs conséquences multiples, a un même principe simple et naturel, et contribue ainsi à mettre plus d'ordre et d'unité dans cette partie si intéressante de l'Analyse.
Comme application de ces formules, nous en déduisons, au quatrième Chapitre, une grande partie des expressions et des développements trouvés, à différentes époques et par différentes méthodes, pour la fonction gamma et pour la fonction de Riemann. Ce Chapitre contient aussi quelques résultats nouveaux relatifs à la série de Stirling.
Enfin, au dernier Chapitre, nous donnons un aperçu de quelques résultats modernes relatif au prolongement analytique et à l'étude asymptotique des fonctions définies par un développement de Taylor, en insistant surtout sur certains théorèmes généraux riches en applications et qui semblent présenter un caractère définitif. Ici encore nous avons dû être assez bref et laisser de côté bien des questions intéressantes, mais nous espérons néanmoins que notre exposition ne sera pas sans utilité pour ceux qui désirent approfondir le sujet.
Nous tenons à exprimer ici nos vifs remerciements à M. Émile Borel, qui nous a invité à écrire ce Livre et qui, ensuite, en revoyant les épreuves, a bien voulu nous assister de ses précieux conseils.
Ernst LINDELÖF, Préface

Le premier Livre traite de l'addition, de la soustraction, de la multiplication, de la division et de la classification des entiers ; des nombres figurés et de l'analyse combinatoire. Il se termine par deux Chapitres, l'un sur la Géométrie de situation, l'autre sur la multiplication algébrique.
Au Chapitre de l'addition se trouve exposé le triangle arithmétique de Pascal et ainsi de suite pour les suivants ; chaque notion primordiale se trouve accompagnée de ses divers développements immédiats. Nous ne pouvons que signaler cette méthode dont l'application systématique a conduit l'auteur à nombre d'heureux rapprochements qu'il faut étudier dans son Livre.
Les dix Chapitres du second Livre sont consacrés aux nombres fractionnaires, au Calcul des probabilités, à la division algébrique, aux polynômes dérivés, au calcul symbolique (particulièrement appliqué aux permutations sur l'échiquier), à la sommation des puissances numériques (nombres de Bernoulli, de Genocchi et d'Euler, suites de Cesaro) ; aux fonctions symétriques, aux déterminants, aux suites récurrentes linéaires et aux fonctions numériques du second ordre, dont la théorie, comme on sait, appartient en propre à l'auteur.
Le Livre III comprend six Chapitres : codiviseurs et comultiples (Éd. Lucas emploie ces abréviations commodes au lieu des expressions : diviseurs communs et multiples communs) ; nombres premiers ; diviseurs des nombres ; indicateur (terme de Cauchy pour désigner le nombre des entiers au plus égaux à n et premiers à n) ; restes (résidus) ; fractions continues.
Onze additions concernent : la partition du polygone ; le problème des rencontres ; celui des ménages ; les nombres d'Hamilton ; les réseaux d'un quinconce ; la sommation des indicateurs ; les permutations circulaires avec répétition ; les restes du triangle arithmétique ; les nombres de Clausen et de Staudt ; l'extraction des racines par les moyennes ; et les réduites intermédiaires. 
Paul TANNERY, Bull. des Sciences mathém., 2^e série, t. XVI (juin 1892)

Les principes de la Mécanique ont fait en France dans ces dernières années l'objet de nombreuses études. A un point de vue général et philosophique, peu de questions présentent une aussi grande importance ; leur intérêt n'est pas moindre au point vue de l'enseignement, chacun sentant combien certaines expositions traditionnelles, longtemps indiscutées, présentent d'incohérences. A parler franc, on peut se demander si une exposition bien cohérente est possible dans un premier enseignement de la mécanique. Il semble qu'en cette matière les expositions didactiques et bien ordonnées, comme les aime trop quelquefois l'enseignement français, sont excellentes seulement pour ceux qui savent déjà quelque peu de quoi il s'agit. Plus j'y réfléchis, plus je me persuade que l'enseignement élémentaire de la dynamique gagnerait beaucoup à rester moins étranger au point de vue historique. Au lieu de se trouver devant une science hiératique et figée, quel intérêt il y aurait pour le débutant à suivre le développement des idées de Galilée, de Huyghens et de Newton ! C'est une erreur de croire qu'il faudrait beaucoup de temps pour un tel enseignement, dont le professeur pourrait tirer en outre des leçons d'une haute portée philosophique. Mais, pour enseigner ainsi l'histoire de la science, il faut la bien connaître et ne pas se contenter de quelques notions plus ou moins vagues. La lecture des œuvres des fondateurs de la Mécanique n'est pas facile, et ne peut être abordée avec profit par tous. Il existe fort heureusement un livre où la sûreté de la critique s'unit à une connaissance approfondie du sujet, je veux parler du Livre, depuis longtemps classique en Allemagne, de M. Mach, sur l'histoire de la Mécanique.
Émile PICARD, Introduction

Le présent Ouvrage est le cours enseigné en seconde année à l'École Polytechnique. Nous avons pensé qu'il pourrait intéresser un public plus étendu, comprenant les étudiants de facultés, les ingénieurs qui désirent se tenir au courant des progrès rapides de la Mécanique des milieux continus et les chercheurs qui, quelle que soit leur tendance, mathématique ou physique, y trouveront un vaste et riche domaine ouvert à la recherche.
Nous avons conservé la division, en usage à l'École Polytechnique, entre le Cours proprement dit (seul enseigné) et les Annexes du cours. Cette division réduit l'effort nécessaire pour acquérir une vue d'ensemble de la matière. En annexes se trouvent rejetés diverses questions particulières, certains développements généraux mais d'un niveau élevé (élasticité des déformations finies, vibrations des corps élastiques) qu'il n'a pas paru indispensable d'inclure dans le Cours, enfin des théories récentes (magnétodynamique des fluides, thermoélasticité, plasticité, viscoélasticité).
Les progrès de la Physique se font par deux voies : celle du continu et celle du discontinu. C'est ainsi que parallèlement au développement de l'Atomistique, s'édifie une théorie unifiée des milieux continus, dont la Thermodynamique macroscopique, l'Électromagnétisme et la Mécanique des corps déformables constituent les principaux chapitres.
Jean MANDEL, Avant-Propos

Le « démon de Maxwell »

Un des faits les mieux établis en thermodynamique, c'est qu'il est impossible, sans dépenser du travail, de produire une inégalité de température dans un système contenu dans une enveloppe qui ne permet ni changement de volume ni transmission de chaleur, et dans lequel la température et la pression sont partout les mêmes. C'est la seconde loi de la thermodynamique, et elle est absolument vraie, tant que nous ne pouvons agir que sur les corps pris en masse, et que nous n'avons pas la faculté de percevoir ou la possibilité de manier les molécules séparées dont ils sont constitués. Mais si nous concevons un être dont les facultés (sens) soient assez développées pour qu'il puisse suivre chaque molécule dans sa course, cet être dont les attributs seraient cependant finis comme les nôtres, deviendrait capable de faire ce que nous ne pouvons faire actuellement. Car nous avons vu que les molécules de l'air renfermé dans un récipient et à température uniforme se meuvent cependant avec des vitesses qui sont loin d'être les mêmes, bien que la vitesse moyenne d'un grand nombre d'entre elles, arbitrairement choisies, reste toujours à peu près exactement la même.
Supposons maintenant que le récipient soit divisé en deux portions A et B, par une cloison dans laquelle il y ait une petite ouverture, et qu'un être qui puisse discerner par la vue les molécules individuelles, ouvre et ferme cette ouverture, de manière à ne permettre l'introduction de A vers B que des molécules les plus rapidement agitées, et de B vers A, l'introduction des molécules dont le mouvement est lent. Il aura ainsi, sans dépense de travail, élevé la température de B et abaissé celle de A, malgré la seconde loi de la thermodynamique.
C'est seulement là un des exemples où les conclusions tirées de notre expérience des corps en tant que constitués d'un nombre immense de molécules, peuvent ne pas s'appliquer à ces observations et expériences plus délicates, que nous pouvons supposer faites par un être qui percevrait et manierait séparément les molécules que nous-mêmes ne pouvons traiter qu'en masse.
Dans les questions relatives à la matière prise en masse, nous sommes forcés, ne pouvant discerner chaque molécule en particulier, d'avoir recours à ce que j'ai décrit sous le nom de méthode statistique de calcul, et d'abandonner la véritable méthode exacte consistant à traiter par le calcul le mouvement de chaque molécule en particulier.
Il serait cependant intéressant de rechercher jusqu'où l'on peut poursuivre l'application des méthodes exactes, dans l'étude des phénomènes concrets, phénomènes que nous ne connaissons encore que par des voies statistiques. Personne en effet, jusqu'à présent, n'a découvert une méthode pratique permettant de suivre la trajectoire d'une molécule, et de l'identifier à des moments quelconques.
James Clerk MAXWELL, Chapitre XXII

Compléments de géométrie moderne
Le dernier ouvrage de Michel, paru en 1926, sous le nom modeste de Compléments de géométrie moderne, contient, en quelque trois cents pages, le résultat du labeur de toute une vie. Heureux les étudiants à venir qui pourront trouver là des renseignements qu'il fallait chercher auparavant dans cent mémoires différents et qui apparaissaient épars, incomplets, non reliés entre eux! Ils sont maintenant présentés d'une manière impeccable, avec un style sobre, nourri de faits, accompagnés de propriétés diverses, de conséquences nombreuses, groupées de main de maître.
C'est ainsi que Charles Michel « a servi à son modeste rang », comme il le disait ici même le 12 juillet 1928, cette science mathématique qu'il aimait tant, dont il appréciait la grandeur, qu'il déclarait être « une des plus nobles occupations de l'esprit » et dont l'étude lui paraissait apporter à celui qui la pratiquait « de quoi remplir dignement une vie humaine ».
Pierre CHENEVIER, Distribution des prix du Concours général de 1936

Exercices de géométrie moderne
(Solutions des questions proposées dans les Compléments de géométrie moderne de Charles Michel)
Les questions traitées sont de difficultés très diverses. Je me suis efforcé de varier les méthodes employées à les résoudre, donnant tantôt la préférence à des procédés peut être un peu longs, mais élémentaires, ayant ailleurs recours au mode de représentation de la géométrie descriptive.
Le lecteur appréciera hautement les notes et solutions dont M. Harmegnies, répétiteur à l'École Polytechnique, a bien voulu enrichir ce petit livre, ainsi que celles que je dois à l'amitié de M. Labrousse, l'éminent professeur de Mathématiques spéciales du lycée Saint-Louis.
Julien LEMAIRE, Préface

Les correspondances algébriques (1,1), (2,1), (2,2)
Les relations homographiques entre deux variables détiennent une place de choix dans l'étude des courbes et des surfaces du second degré. Il n'est pas sans intérêt de les utiliser conjointement avec les relations qui sont du premier degré par rapport à l'une des variables et du second degré par rapport à l'autre et avec les relations qui sont du second degré par rapport à chacune des deux variables. J'ai cherché à en étendre les applications à l'étude des courbes planes ou gauches du troisième degré et des surfaces réglées du troisième ordre.
[...]
Je manquerais au plus élémentaire des devoirs en ne disant pas que j'ai beaucoup emprunté aux livres bien connus et si appréciés de Duporcq et de Michel et utilisé des notes que Monsieur l'Inspecteur Général Blutel m'a communiquées sur les représentations propres des courbes unicursales, la relation biquadratique et les surfaces du troisième ordre.
Gaston SINGIER, Avertissement

ARTICLES :

I-1 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L'ARITHMÉTIQUE
H. Schubert - J. Tannery - J. Molk

I-2 : ANALYSE COMBINATOIRE ET THÉORIE DES DÉTERMINANTS
E. Netto - H. Vogt

I-3 : NOMBRES IRRATIONNELS ET NOTION DE LIMITE
A. Pringsheim - J. Molk

I-4 : ALGORITHMES ILLIMITÉS
A. Pringsheim - J. Molk

I-5 : NOMBRES COMPLEXES
E. Study - É. Cartan

I-6 : ALGORITHMES ILLIMITÉS DE NOMBRES COMPLEXES
A. Pringsheim - M. Fréchet

I-7 : THÉORIE DES ENSEMBLES
A. Schœnflies - R. Baire

i-8 : SUR LES GROUPES FINIS DISCONTINUS *
H. Burkhardt - H. Vogt

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

ARTICLES :

I-15 : PROPOSITIONS ÉLÉMENTAIRES DE LA THÉORIE DES NOMBRES
P. Bachmann - E. Maillet

I-16 : THÉORIE ARITHMÉTIQUE DES FORMES
K. Th. Vahlen - E. Cahen

I-17 : PROPOSITIONS TRANSCENDANTES DE LA THÉORIE DES NOMBRES
P. Bachmann - J. Hadamard - E. Maillet

I-18 : THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGÉBRIQUES
D. Hilbert - H. Vogt

I-19 : MULTIPLICATION COMPLEXE *
H. Weber - E. Cahen

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

ARTICLES :

II-1 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA THÉORIE DES FONCTIONS
A. Pringsheim - J. Molk

II-2 : RECHERCHES CONTEMPORAINES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS
Rédigé sous la direction de É. Borel
LES ENSEMBLES DE POINTS
L. Zoretti
INTÉGRATION ET DÉRIVATION
P. Montel
DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES
M. Fréchet

II-3 : CALCUL DIFFERENTIEL
A. Voss - J. Molk

ARTICLES :

II-15 : EXISTENCE DE L'INTÉGRALE GÉNÉRALE
DÉTERMINATION D'UNE INTÉGRALE PARTICULIÉRE PAR SES VALEURS INITIALES
P. Painlevé

II-16 : MÉTHODES D'INTÉGRATION ÉLÉMENTAIRES
ÉTUDE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES AU POINT DE VUE FORMEL
E. Vessiot  

ARTICLES :

II-26 : ÉQUATIONS ET OPÉRATIONS FONCTIONNELLES.
S. Pincherle

II- 27 : INTERPOLATION TRIGONOMÉTRIQUE.
H. Burkhardt - E. Esclangon

II-28 : FONCTIONS SPHÉRIQUES.
A. Wangerin - A. Lambert

II-28a : GÉNÉRALISATIONS DIVERSES DES FONCTIONS SPHÉRIQUES.
P. Appell - A. Lambert  

ARTICLES :

III-1 : PRINCIPES DE LA GÉOMÉTRIE
F. Enriques

III-1a : NOTES SUR LA GÉOMÉTRIE NON-ARCHIMÉDIENNE
A. Schœnflies

III-2 : LES NOTIONS DE LIGNE ET DE SURFACE
H. von Mangoldt - L. Zoretti

III-3 : EXPOSÉ PARALLÈLE DU DÉVELOPPEMENT DE LA GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE ET DE LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE PENDANT LE 19^e SIÈCLE
G. Fano - S. Carrus

III-4 : GÉOMÉTRIE ÉNUMÉRATIVE
H.G. Zeuthen - M. Pieri

III-5 : LA THÉORIE DES GROUPES CONTINUS ET LA GÉOMÉTRIE
G. Fano - É. Cartan

ARTICLES :

III-17 : CONIQUES
F. Dingeldey - E. Fabry

III-18 : SYSTÈMES DE CONIQUES
F. Dingeldey - E. Fabry

III-19 : THÉORIE GÉNÉRALE DES COURBES PLANES ALGÉBRIQUES *
L. Berzolari

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.