Cet ouvrage a pour objet d'exposer le développement historique des Sciences Mathématiques, avec un aperçu de la vie et des découvertes des savants qui ont le plus contribué aux progrès de la science.
[...]
Le chapitre premier contient un exposé succint de nos connaissances actuelles sur l'état des Sciences Mathématiques chez les Égyptiens et les Phéniciens. C'est une introduction à l'histoire des mathématiciens grecs.
Le reste de l'ouvrage est divisé en trois périodes : l'histoire des Mathématiques chez les Grecs ou sous l'influence grecque ; les Mathématiques au Moyen âge et pendant la Renaissance ; les Mathématiques dans les temps modernes.
W. W. Rouse BALL, Préface

Lazare Carnot, dans ses Réflexions sur la Métaphysique du Calcul infinitésimal (ou différentiel), où il discute avec beaucoup de soin les principes de ce calcul, observe que c'est en vertu de la loi de continuité, que les quantités évanouissantes gardent encore le rapport dont elles se sont approchées par degrés, avant de s'évanouir.

Cet écrit prouve que si on avait créé des mots lorsqu'il en était besoin, on aurait eu des idées plus claires. En appelant équations imparfaites, les équations différentielles, Lazare Carnot jette un grand jour sur leur théorie. En effet, lorsque l'on considère les différentielles qu'elles contiennent, comme représentant les accroissements des variables, elles n'ont lieu que d'une manière approchée ; mais leur degré d'exactitude est en quelque sorte indéfini, car il dépend de la petitesse qu'on suppose aux changements des variables ; et puisque rien ne limite cette petitesse, les équations différentielles peuvent donc être aussi près de la vérité qu'on le voudra : voilà les idées de Leibnitz traduites en Analyse. Lazare Carnot fait voir ensuite, comment les équations imparfaites deviennent rigoureuses à la fin du calcul, et à quel signe on reconnaît leur légitimité ; ce signe est la disparition totale des quantités différentielles, dont pouvait provenir l'erreur, s'il y en avait.
On ne doit pas juger le travail de Lazare Carnot, par le peu que j'en ai dit ; et ce n'est pas seulement dans la manière d'envisager le Calcul différentiel qui lui est propre, que consiste le mérite de son Mémoire, mais encore dans la comparaison qu'il fait des divers points de vue sous lesquels on a présenté ce calcul.
S.-F. LACROIX, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, t.I, 2e édition, 1810

La dernière entreprise de Delambre fut une Histoire de l'Astronomie qu'il se proposa de dégager de sa mythologie et de toutes les conceptions fantastiques, de toutes les hypothèses chimériques et fabuleuses dont l'avaient embarrassée des écrivains qui avaient plus d'imagination que de savoir.
Connaissant à fond toutes les sources, lisant toutes les langues, il substitua la vérité aux opinions exagérées que Bailly et Dupuis avaient essayé de propager, et sur l'antiquité du monde, et sur la prétendue haute science de certains peuples anciens.
Ainsi, l'astronomie ne lui dut pas seulement les plus savantes observations et les expériences les plus précieuses, mais de plus un grand nombre d'assertions fausses avancées par des auteurs respectables d'ailleurs, et accréditées faute de moyens nécessaires pour les rectifier, n'ont perdu leur vieille autorité que depuis qu'il les a combattues.
Biographie universelle et portative des contemporains, t. II, 1836

Les trois premiers volumes de l'ouvrage de M. Delambre ont conduit ses lecteurs jusqu'au temps de Copernic ; les deux siècles suivants mettront sous leurs yeux le beau spectacle de l'intelligence humaine découvrant, par des moyens qu'elle a su créer, quelques-unes des lois générales de la nature. Les mathématiques, la physique, et surtout la saine philosophie perfectionneront les méthodes, multiplieront les découvertes, chasseront les vieilles erreurs, et placeront les connaissances du système du monde au premier rang entre les sciences accessibles à notre raison. La tâche de l'historien devient moins pénible, parce qu'elle est plus agréable ; mais d'un autre côté, les matériaux abondent, les hommes sont vus de plus près, leurs passions et leurs intérêts n'ont pas encore perdu toute leur influence. L'histoire de l'astronomie moderne n'est pas moins embarrassée dans sa marche que celle des événements politiques de nos jours. Malgré ces entraves, M. Delambre ne s'écarte pas de son impartialité historique, poussée quelquefois jusqu'à la sévérité. L'auteur a cru devoir en prévenir ses lecteurs ; écoutons-le.
« Cette impartialité sévère et historique, se trouve également dans les notices que nous avons consacrées à quelques-uns des plus illustres bienfaiteurs de la science, quand nous avons été forcés de combattre leurs idées ou leurs prétentions. Elle se trouve dans les notices de Ptolémée, de Copernic, de Képler, de Galilée et de Descartes. On la trouvera pareillement dans les articles des grands hommes, que l'abondance des matières nous a forcés à renvoyer au troisième volume de notre histoire. Ce volume est tout prêt, ou du moins il n'y manque que quelques notices courtes et faciles d'auteurs très modernes ; il aura pour titre : Histoire de l'Astronomie du dix-huitième siècle. »
Claude-Joseph FERRY, Revue encyclopédique, vol. 11, 1821

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Depuis 1948, à raison de 18 exposés par an, les conférenciers du Séminaire Bourbaki décrivent les résultats les plus marquants obtenus chaque année dans les branches des mathématiques pures qui paraissent les plus importantes aux collaborateurs de N. Bourbaki. Presque tous ces exposés ont été publiés, et constituent donc un ensemble de textes que l'on peut à juste titre considérer comme l'Encyclopédie d'une grande partie des mathématiques de notre temps.

Toutefois deux exposés consécutifs chronologiquement traitent en général de sujets complètement différents, ce qui rend à peu près impossible à un mathématicien de les utiliser pour se mettre au courant de questions n'appartenant pas à sa spécialité. Ce volume se propose de pallier cet inconvénient en groupant les exposés du Séminaire Bourbaki sous un nombre assez restreint de rubriques, pour chacune desquelles on résume de façon succinte les principales notions, les méthodes et les résultats les plus notables de la théorie correspondante.
Aux références aux exposés du Séminaire Bourbaki, on a ajouté une bibliographie complémentaire assez fournie pour chaque rubrique, qui doit permettre à un lecteur possédant des connaissances mathématiques suffisantes (celles qui sont enseignées dans les 2 ou 3 premières années de l'Université) de s'initier à la théorie qui y est décrite.
Jean DIEUDONNÉ
 

Nous nous proposons de traiter, dans le mémoire qui va suivre, des méthodes comprises dans nos deuxième et troisième divisions, et de mettre au jour les deux principes généraux de l'étendue, auxquels nous avons dit que toutes ces méthodes peuvent se rattacher ; et qui constituent deux doctrines générales de déformation et de transformation des figures.
Nous démontrerons ces deux PRINCIPES d'une manière directe, qui en fera des vérités absolues et abstraites, dégagées et indépendantes de toutes méthodes particulières propres à les justifier ou a en faciliter les applications dans quelques cas particuliers.
Nous les présenterons, ainsi que nous l'avons déjà dit, dans une plus grande généralité qu'aucune de ces méthodes. L'extension que nous leur donnerons trouvera sa principale utilité dans un principe de relations de grandeur extrêmement simple, qui les rendra applicables à de nombreuses questions nouvelles.
Ce principe repose sur une relation unique, à laquelle il suffira toujours de ramener toutes les autres. Cette relation est celle que nous avons appelée rapport anharmonique de quatre points ou d'un faisceau de quatre droites. C'est là le type unique de toutes les relations transformables par les deux principes que nous démontrons. Et la loi de correspondance entre une figure et sa transformée, consiste dans l'égalité des rapports anharmoniques correspondants.
La simplicité de cette loi, et celle du rapport anharmonique rendent cette forme de relations éminemment propre à jouer un rôle si important dans la science de l'étendue.
Quand les relations proposées paraîtront au premier abord ne pas rentrer dans cette formule, l'art du géomètre consistera à les y ramener par différentes opérations préparatoires, analogues, sous certains rapports, aux changements de variables et aux transformations de l'analyse.
Michel CHASLES, Objet du Mémoire

Les Mathématiques, considérées indépendamment de leurs applications, se divisent en deux branches distinctes, qui se prêtent un mutuel secours, l'Analyse et la Géométrie. C'est des recherches qui ont pour objet spécial cette seconde partie, la Géométrie, ou qui incidemment ont contribué à ses progrès, que nous avons à présenter un exposé.
Le sujet est vaste ; car si, d'une part, la Géométrie a pour objet général l'étude des figures, c'est-à-dire des lignes et des surfaces déterminées a priori par certaines lois ; d'autre part, ces lignes et ces surfaces interviennent d'une manière utile et même nécessaire dans les questions de Mécanique et de Physique mathématique, et même aussi quelquefois dans les questions d'Analyse pure. Il nous faudra donc, non seulement scruter les travaux de Géométrie proprement dite, mais encore rechercher dans les ouvrages et les nombreux mémoires publiés sur les différentes branches des Mathématiques les résultats partiels qui constituent un progrès dans la théorie des courbes et des surfaces, et en général dans quelque partie de la Géométrie. C'est ainsi que les noms de nos confrères MM. Ch. Dupin, Lamé, Duhamel, Liouville, Delaunay, Bertrand, Hermite, Serret, Ossian Bonnet, de Saint-Venant, dont les travaux, pour la plupart, ont pour objet principal l'étude des théories analytiques et de leur application à la Physique, à l'Astronomie, à la Mécanique, se présenteront naturellement dans le travail qui nous est confié, sans que d'ailleurs nous ayons la pensée de faire connaître complètement les progrès dont les sciences mathématiques leur sont redevables, et qui assurent leur place parmi les chefs et les représentants du mouvement scientifique général de notre temps.
Michel CHASLES, Introduction

Duhem a consacré une grande partie de son labeur à l'histoire des sciences. Celle-ci n'était pas pour lui un simple objet de curiosité, car il pensait qu'on ne peut avoir une idée juste sur la science, si l'on se borne à la considérer dans son état actuel. Il était en même temps capable de faire œuvre d'érudit, qui remonte aux sources, compulse et compare les manuscrits, examine les écritures et propose des corrections de textes.
Ses deux volumes sur les origines de la statique témoignent d'une réelle maîtrise dans ce genre d'études. Duhem nous montre les deux impulsions que la statique a reçues dès l'origine. Dans l'une, apparaît la tendance d'Archimède où l'on cherche à construire une statique entièrement indépendante de la dynamique sur le modèle des Éléments d'Euclide, en ramenant par une analyse patiente les cas les plus complexes aux équilibres simples et élémentaires ; l'autre source, essentiellement synthétique, peut être rattachée à Aristote.
Duhem, en étudiant l'histoire de cette seconde tendance, met en évidence le rôle au XIII^e siècle de l'école d'un certain Jordanus de Nemore, né suivant lui à Nemi en Italie, et chez qui il aperçoit une ébauche de la méthode des travaux virtuels. Jordanus et ses successeurs postulent en effet que « ce qui peut élever un certain poids à une certaine hauteur peut aussi élever un poids n fois plus grand à une hauteur n fois plus petite ». Il est assurément remarquable de trouver dans cette école du moyen âge un appel incontestable au principe que Descartes prendra pour fondement de la statique, et qui, grâce à Jean Bernouilli et à Lagrange, deviendra la proposition fondamentale de la science de l'équilibre.
Émile PICARD, La vie et l'œuvre de Pierre Duhem

Il va sans dire que je me suis efforcé de contrôler les uns par les autres tous les documents que j'ai eus  entre les mains. Je me suis efforcé de le faire sans parti pris, bien qu'avec une sympathie sans cesse croissante pour le génial et infortuné jeune homme qui paya de tant de souffrances l'incroyable puissance de ses facultés ; j'ai tenu surtout à l'expliquer, ou du moins à expliquer ce qu'il y avait d'explicable dans son caractère et dans ses aventures. Je l'ai toujours vu au milieu des choses, des gens, des événements, des institutions de son époque ; un intérêt d'histoire s'ajoutait ainsi pour moi à un intérêt de biographie. Mon souhait essentiel est de substituer un portrait exact de cet illustre mathématicien aux vagues croquis que l'on en possédait ; mais j'avoue que ce serait aussi pour moi une vive satisfaction, si l'on jugeait qu'en racontant la vie de Galois j'ai pu éclairer d'un jour curieux quelques coins de la Révolution de 1830, et des années troublées et si vivantes entre lesquelles elle s'insère.
Paul DUPUY, Introduction

Euclide vivait du temps de Ptolémée-Lagus, vers l'an 272 avant l'ère vulgaire ; Archimède l'a cité dans plusieurs de ses livres. Ptolémée ayant demandé à Euclide s'il n'y avait pas de manière plus facile que la sienne pour apprendre la Géométrie, Euclide répondit qu'il n'y avait pas de chemin royal pour arriver à cette science. C'est tout ce que nous savons d'Euclide : on ignore même quelle fut sa patrie.
Beaucoup de géomètres avaient paru avant Euclide. Le premier des Grecs, Euclide rassembla leurs ouvrages, les mit dans un ordre convenable, et donna des démonstrations inattaquables de ce qui n'avait pas été démontré d'une manière rigoureuse.
Euclide avait composé un grand nombre d'ouvrages. Les treize livres des Éléments et les Données sont les seuls qui soient parvenus jusqu'à nous.
Les Éléments d'Euclide ont toujours été regardés comme le plus parfait de tous les livres élémentaires ; ils ont été traduits et commentés dans toutes les langues.
[...]
Pemberton nous apprend qu'il avait entendu plusieurs fois Newton se plaindre de s'être livré tout entier aux ouvrages de Descartes, et des autres algébristes, avant d'avoir étudié et médité les Éléments d'Euclide.
Lagrange, dont l'Europe déplore et déplorera longtemps la perte, me répétait souvent que la Géométrie était une langue morte ; que celui qui n'étudiait pas la Géométrie dans Euclide, faisait la même chose que celui qui voudrait apprendre le grec et le latin, en lisant les ouvrages modernes écrits dans ces deux langues.
François PEYRARD, Préface

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On peut regarder Fermat comme le premier inventeur des nouveaux calculs.
Joseph-Louis LAGRANGE, Leçons sur lecalcul des fonctions

Fermat cultiva avec un grand succès la science des nombres, et s'y fraya des routes nouvelles.
Adrien-Marie LEGENDRE, Théorie des nombres

La seule forme à adopter, pour la reproduction des ouvrages de Fermat, est celle du Précis français que nous avons essayé de rédiger, en nous appliquant à n'altérer ni à omettre aucune des idées ou des démonstrations de l'auteur, et en profitant pour notre exposition des avantages de l'écriture algébrique moderne. Par ce moyen, nous espérons avoir rendu aisément intelligibles des propositions dont l'élégance et la finesse sont obscurcies par des notations sans simplicité. Nous avons pensé qu'il suffisait, pour conserver la tradition historique, de transcrire quelques exemples de l'écriture algébrique ancienne, aussi imparfaite pour exprimer les énoncés, qu'incommode pour le développement des déductions et des calculs.
Émile BRASSINNE, Introduction

La grande portée de l'œuvre de Galois tient en somme à ce fait, que sa théorie si originale des équations algébriques est une application systématique de deux notions fondamentales de groupe et d'invariant ; notions qui prennent chaque jour dans les mathématiques une place plus prépondérante, et tendent à dominer tout l'ensemble de cette science.
Il est vrai que, dans un certain sens, les notions de groupe et d'invariant ne sont pas nouvelles. Elles s'introduisent implicitement d'une façon plus ou moins immédiate, dans presque toutes les recherches mathématiques ; on reconnaît par exemple immédiatement que la géométrie euclidienne traite de grandeurs qui restent invariantes par le groupe de tous les mouvements. D'un autre côté, la notion d'invariant est en évidence dans les travaux de Vandermonde, Lagrange, Gauss, Ampère et Cauchy.
Au contraire c'est Galois, qui le premier, je crois, a introduit l'idée de groupe ; et en tous cas, il est le premier mathématicien qui a approfondi les rapports existant entre les idées de groupe et d'invariant. C'est de plus à lui que l'on doit incontestablement la notion de sous-groupe invariant et, par-dessus tout, c'est lui qui a pleinement mis en lumière la puissance de ces nouvelles conceptions en traitant un exemple du plus haut intérêt, et d'une difficulté presque insurmontable.
Sophus LIE, Influence de Galois sur ledéveloppement des mathématiques

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George Gamow, dans cet ouvrage, déploie une fois encore ses qualités d'historien, de vulgarisateur et d'homme d'esprit.
L' histoire de la théorie quantique raconte la naissance de la physique moderne au cours des trente premières années du XX^e siècle, en nous guidant ainsi à travers cette galerie de portraits où les grands noms de la physique sont présentés, par les textes, les photographies et les croquis, sous leur aspect le moins académique.
Le bagage scientifique d'un bachelier suffira au lecteur pour passer des quanta de lumière aux spéculations sur les grandeurs fondamentales de l'univers, à travers l'effet photoélectrique, l'effet Compton, la diffraction électronique, les réactions nucléaires, les antiparticules, etc.
Le livre se termine par une parodie du Faust de Goethe, qui fut présentée en 1932 à l'institut de Bohr, à Copenhague. Les croquis qui jalonnent le texte sont ceux du manuscrit original, sorti indemne de la guerre et de l'occupation. C'est une excellente revue d'étudiants exceptionnels, où artistes et modèles s'appellent Einstein,  Bohr, Planck, Pauli, de Broglie, Heisenberg, Fermi, Oppenheimer, Landau, Dirac, etc.

Malgré la gloire qui environne le nom de Lavoisier, la vie du créateur de la chimie moderne n'a été l'objet d'aucune étude approfondie. Sauf ce que les courtes biographies de Lalande, de Fourcroy et de Cuvier nous ont appris, on ne sait rien de son existence si bien remplie et toute dévouée à la recherche de la vérité. On ignore ses vertus privées, son dévouement à la chose publique, sa philanthropie intelligente, les services qu'il a rendus à son pays comme académicien, économiste, agriculteur et financier. Les détails de sa mort prématurés sont inconnus, et des historiens ont pu même se demander si le tribunal révolutionnaire, en le faisant monter sur l'échafaud, n'avait pas frappé d'une juste condamnation un avide fermier général.
Le devoir s'imposait de dissiper les obscurités qui entourent la vie et la mort de Lavoisier, et de donner une biographie complète d'un des hommes qui honorent le plus notre patrie. Les nombreux documents qui ont été mis à ma disposition m'ont permis d'entreprendre ce travail.
Édouard GRIMAUX, Avertissement

Aucune correspondance d'Hermite ne fut plus suivie ni plus abondante que celle qu'il avait commencée en 1882 avec un astronome adjoint de l'Observatoire de Leyde, Thomas Stieltjes. Le souci des mêmes problèmes et une même tournure d'esprit attirèrent Hermite vers Stieltjes, et une vive sympathie s'établit vite entre le jeune débutant et le vétéran de la Science. La mort de Stieltjes, arrivée prématurément en 1894, put seule interrompre cette correspondance, unique peut-être dans l'histoire de la Science. Relisant, après ce triste événement, la longue série de lettres du géomètre éminent pour qui il avait une si affectueuse estime, Hermite pensa qu'il importait à la mémoire de Stieltjes que ce témoignage de son activité et de son génie mathématique
 ne disparût point. Il était impossible de publier les lettres de Stieltjes sans publier celles d'Hermite, tant leur collaboration avait été intime ; les amis de Stieltjes eurent ici à vaincre quelque résistance d'Hermite, qui finit cependant par se décider à laisser paraître l'ensemble de la Correspondance.
Émile PICARD, Introduction