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Algèbre


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Faire de l'Algèbre, c'est essentiellement calculer, c'est-à-dire effectuer, sur des éléments d'un ensemble, des « opérations algébriques », dont l'exemple le plus connu est fourni par les « quatre règles » de l'arithmétique élémentaire.
Ce n'est pas ici le lieu de retracer le lent processus d'abstraction progressive par lequel la notion d'opération algébrique, d'abord restreinte aux entiers naturels et aux grandeurs mesurables, a peu à peu élargi son domaine, à mesure que se généralisait parallèlement la notion de « nombre », jusqu'à ce que, dépassant cette dernière, elle en vînt à s'appliquer à des éléments qui n'avaient plus aucun caractère « numérique », par exemple aux permutations d'un ensemble. C'est sans doute la possibilité de ces extensions successives, dans lesquelles la forme des calculs restait la même, alors que la nature des êtres mathématiques soumis à ces calculs variait considérablement, qui a permis de dégager peu à peu le principe directeur des mathématiques modernes, à savoir que les êtres mathématiques , en eux-mêmes, importent peu : ce qui compte, ce sont leurs relations. Il est certain, en tout cas, que l'Algèbre a atteint un niveau d'abstraction bien avant les autres parties de la Mathématique, et il y a longtemps déjà qu'on s'est accoutumé à la considérer comme l'étude des opérations algébriques, indépendamment des êtres mathématiques auxquels elles sont susceptibles de s'appliquer.

BOURBAKI, Éléments de Mathématique, Algèbre, Chap. 1, Structures algébriques, 2e éd., Hermann, 1955

 

 


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SERRET : Cours d'Algèbre supérieure, 4e éd., t. I, 1877 et t. II, 1879

Référence: 031

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Cette quatrième édition de mon Algèbre supérieure est divisée en cinq Sections, composées chacune de plusieurs Chapitres.
La première Section renferme la théorie générale des équations et les principes sur lesquels repose leur résolution numérique ; on trouvera en particulier dans cette première Section une théorie très développée des fractions continues.
La deuxième Section comprend la théorie des fonctions symétriques, celle des fonctions alternées et des déterminants, et les nombreuses questions qui s'y rattachent, avec des applications importantes à la théorie générale des équations.
La troisième Section a pour objet l'ensemble des propriétés des nombres entiers qui sont indispensables dans la théorie de la résolution algébrique des équations ; on trouvera dans cette Section une étude complète et nouvelle des fonctions entières d'une variable prises relativement à un module premier.
La quatrième Section renferme la théorie des substitutions ; elle comprend tous les faits principaux acquis à la science, dans cette partie difficile de l'analyse algébrique.
Enfin j'ai réuni dans la cinquième Section tout ce qui se rapporte directement à la résolution algébrique des équations.
Joseph-Alfred SERRET, Avertissement

120,00 € *



SOURIAU : Calcul linéaire, t. I, 2e éd., 1964 et t. II, 1965

Référence: 097

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A reparaître

Le présent traité est un ouvrage de mathématiques pures, destiné à tous ceux qui doivent appliquer l'algèbre linéaire.
On sait que ces applications jouent un rôle essentiel dans des disciplines très diverses : calcul différentiel et intégral, mécanique des systèmes et des milieux continus, physique classique (optique et électricité notamment) et moderne (relativité et physique quantique), calcul des probabilités, statistique, recherche opérationnelle, art de l'ingénieur, etc.
Le lecteur trouvera ici un exposé complet du point de vue logique, qui ne suppose pas d'autres connaissances que celles de l'enseignement secondaire. Les exercices proposés lui permettront d'acquérir l'aisance indispensable dans le maniement des notions théoriques, et dans leur application aux problèmes concrets.
Nous avons cherché à donner de l'unité aux diverses théories présentées, en considérant directement les opérateurs linéaires, aussi bien dans les raisonnements géométriques que dans les calculs; c'est ce que veut rappeler le titre de l'ouvrage.
D'autre part, ce souci d'unité nous a amené à réduire le plus possible le nombre des définitions axiomatiques, en les remplaçant par des constructions directes; à éviter les théorèmes d'invariance, qui deviennent évidents par l'emploi de méthodes intrinsèques ; à apporter un soin particulier au choix des notations. En la matière, les habitudes courantes dans les diverses théories linéaires sont souvent contradictoires ; il a fallu parfois innover ; l'expérience nous a montré que les notations proposées facilitent la compréhension et les calculs, tout en permettant de lire les traités et ouvrages classiques.
Jean-Marie SOURIAU, Avertissement
VERRIEST : Leçons sur la théorie des équations selon Galois, précédées d'une introduction à la ...

Référence: 204

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Le but de la théorie de Galois n'est pas de fournir des formules pour la résolution des équations, mais de rechercher une chaîne d'équations auxiliaires dont les racines, si elles étaient connues, permettraient de calculer les racines de l'équation donnée par des opérations rationnelles. Même non résolues, ces équations auxiliaires peuvent, par certaines de leurs propriétés, révéler des propriétés importantes des racines de l'équation donnée. Pour construire cette chaîne d'équations auxiliaires, Galois ne suit pas, comme ses devanciers l'avaient tenté, infructueusement d'ailleurs, la voie directe ; son trait de génie est d'avoir découvert une voie parallèle, aisée et sans embûches, qui part non pas de l'équation donnée mais de son groupe et dont chaque étape fournit sans peine l'une des équations auxiliaires.
Gustave VERRIEST

56,00 € *



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