Dans le cours que j'ai professé au Collège de France, pendant les années 1898-1899 et 1899-1900, et dont diverses circonstances ont retardé la publication, je me suis proposé principalement de rechercher comment s'exerce l'influence des conditions aux limites sur le mouvement des fluides.
S'il s'agit des liquides, la question revient à un problème analogue à celui de Dirichlet, le problème de Neumann qui fait l'objet du premier Chapitre de cet ouvrage. La théorie des fonctions harmoniques a subi, dans ces derniers temps, d'importants perfectionnements dont la plupart ne se rattachaient que de loin à mon sujet; j'ai utilisé, en les empruntant à un mémoire de M. Stekloff, ceux qui intéressent directement le problème de Neumann.
Dans le cas des gaz, on est, au contraire, conduit à la théorie d'Hugoniot, sur laquelle l'attention a été attirée depuis quelques années, grâce aux leçons d'Hydrodynamique, Élasticité et Acoustique de M. Duhem.
Pour rendre tous les services que la Mécanique peut en attendre, cette théorie, m'a paru réclamer quelques compléments. C'est .ainsi que j'ai dû mettre en évidence les faits d'ordre purement cinématique en les séparant de ceux qui dépendent des propriétés dynamiques du mouvement. Moyennant cette distinction, ainsi qu'on devait s'y attendre, beaucoup de points de vue s'éclaircissent. Grâce à elle, en particulier, une représentation géométrique apparaît immédiatement. Celle-ci, à son tour, permet de rendre plus étroite l'analogie qui existe entre les .ondes telles que les conçoit Hugoniot et celles que considère la mécanique vibratoire.
Enfin, il y avait lieu de rapprocher de la théorie d'Hugoniot celle des caractéristiques des équations à plus de deux variables indépendantes qui en est l'expression analytique et dont J. Beudon, avant sa mort cruellement prématurée, a pu poser les fondements.
La résolution du problème de Cauchy pour les équations linéaires, suivant la voie ouverte par Kirchhoff, se relie d'une manière directe à la notion de caractéristique et se plaçait naturellement après elle.
Jacques HADAMARD, Avant-Propos

Le premier Volume est consacré tout entier à la théorie ; dans les treize premiers Chapitres, elle est exposée complètement et sans faire appel à la théorie générale des fonctions ; dans le quatorzième, l'auteur retrouve les mêmes résultats en s'appuyant sur les principes de l'Analyse moderne. A-t-il voulu par là montrer, par un exemple éclatant, la puissance de cette analyse qui conduit, en si peu de pages, à un but que l'on ne pouvait atteindre sans elle qu'à l'aide de tant de génie et au prix de tant d'efforts ? Non, son but est tout différent et il l'explique lui-même dans sa Préface : ses premiers Chapitres n'ont pas été écrits pour les géomètres de profession ; sans doute, ils trouveront beaucoup à y apprendre et ils se réjouiront d'y rencontrer le spectacle de nombreuses difficultés vaincues et d'une sorte de gageure gagnée. Mais cette première partie de ce grand Ouvrage est avant tout destinée aux savants qui veulent devenir capables d'appliquer ces transcendances à la Mécanique et à la Physique, et qui ne sont pas au courant des travaux de Cauchy. Ils pourront y étudier la théorie des fonctions elliptiques réduite à une sorte de Trigonométrie, un peu plus compliquée que celle qu'on enseigne aux élèves d'élémentaires, et n'auront besoin que de connaître la définition des intégrales réelles.
Halphen a-t-il réussi à rendre cette doctrine abordable à des mathématiciens aussi peu avancés ? Je crois que oui, mais ce n'est pas à nous d'en juger.
Les divers développements en séries ou en produits tiennent une grande place dans ce premier Volume ; aucun, sans doute, n'est nouveau, mais ils sont tous reliés les uns aux autres d'une façon simple et exposés par des procédés élégants et ingénieux.
Je citerai surtout, page 405, la manière d'obtenir le développement de θ en produit en partant du développement en série ; elle est plus directe que celle que nous devons à Jacobi.
Le second Volume a pour objet les principales applications des fonctions elliptiques.
L'auteur commence par les applications mécaniques, et il traite successivement de la rotation d'un corps solide soustrait à l'action de toute force et tournant autour d'un point fixe, de celle d'un corps grave de révolution suspendu par un point de son axe, du mouvement d'un corps solide dans un liquide parfait indéfini en l'absence de force accélératrice, de la courbe élastique, de l'attraction de l'anneau elliptique de Gauss.
Viennent ensuite les applications géométriques aux lignes géodésiques des ellipsoïdes de révolution, auxquelles se rattachent divers problèmes pratiques de Géodésie, aux polygones de Poncelet, inscrits à une conique et circonscrits à une autre conique, aux cubiques planes et enfin aux biquadratiques gauches.
Puis les applications au Calcul intégral, la quadrature des intégrales pseudo-elliptiques, l'intégration de l'équation d'Euler, l'étude approfondie de l'équation de Lamé, si intimement liée à tant de problèmes importants de Physique et d'Astronomie, et enfin l'intégration de plusieurs classes étendues d'équations différentielles linéaires.
Henri POINCARÉ, Notice sur Halphen, Journal de l'École Polytechnique, 60^e Cahier, 1890

Aucune correspondance d'Hermite ne fut plus suivie ni plus abondante que celle qu'il avait commencée en 1882 avec un astronome adjoint de l'Observatoire de Leyde, Thomas Stieltjes. Le souci des mêmes problèmes et une même tournure d'esprit attirèrent Hermite vers Stieltjes, et une vive sympathie s'établit vite entre le jeune débutant et le vétéran de la Science. La mort de Stieltjes, arrivée prématurément en 1894, put seule interrompre cette correspondance, unique peut-être dans l'histoire de la Science. Relisant, après ce triste événement, la longue série de lettres du géomètre éminent pour qui il avait une si affectueuse estime, Hermite pensa qu'il importait à la mémoire de Stieltjes que ce témoignage de son activité et de son génie mathématique
 ne disparût point. Il était impossible de publier les lettres de Stieltjes sans publier celles d'Hermite, tant leur collaboration avait été intime ; les amis de Stieltjes eurent ici à vaincre quelque résistance d'Hermite, qui finit cependant par se décider à laisser paraître l'ensemble de la Correspondance.
Émile PICARD, Introduction

Chez Jordan l'élégance, haute et puissante, était généralité, clair enchaînement des idées, courageuse audace devant les difficultés, dédain des artifices.
Ces qualités maîtresses donnent à son Traité d'Analyse un attrait particulier. Jordan l'a d'ailleurs travaillé avec prédilection, utilisant au cours des éditions successives, comme seul, peut-être, il pouvait le faire, les travaux les plus récents et portant sur des sujets extrêmement variés. C'est ainsi que, dans la seconde édition, on trouve à la fois un exposé de théories sur les ensembles, dues à Cantor, et un véritable traité des fonctions elliptiques, le premier qui ait été construit en France à partir des idées de Weierstrass.
En 1912, il traite de la théorie toute nouvelle des équations intégrales et, de tous les travaux, il utilise surtout les plus récents, ceux de Goursat.
Si le Traité de Jordan est riche d'innovations, on y trouve aussi les trésors du passé et même ses souvenirs. Jordan est volontiers un novateur traditionaliste ; il conserve la division surannée en calcul différentiel et calcul intégral ; mais, comme ses réflexions lui ont fait reconnaître en l'intégrale la plus simple, la plus intuitive, la plus primitive de toutes les notions de l'analyse, il commence l'exposé du calcul différentiel par la définition de l'intégrale.
Henri LEBESGUE, Notice sur la vie et les travaux de Camille Jordan (1838-1922), 1923

A reparaître

TOME I
Le texte de cette troisième édition a été revu avec le plus grand soin et nous lui avons apporté un grand nombre d'améliorations de détail. Toutefois nous ne signalerons ici que les modifications les plus importantes.
En ce qui concerne la partie élémentaire ou le grand texte, nous avons abandonné l'ancienne définition de la différentielle totale et adopté celle de Stolz. La supériorité de cette définition a été mise en lumière par les travaux de MM. S. Pierpont, Fréchet, et surtout W. H. Young. Elle est indiscutable : les théorèmes découlant plus directement des principes, la théorie de la différentiation des fonctions explicites et implicites devient plus serrée et, par le fait, plus satisfaisante. Signalons encore que nous avons précisé les démonstrations relatives aux applications géométriques en introduisant les hypothèses de continuité ou de dérivabilité au fur et à mesure de leur nécessité seulement.
Passons maintenant aux théories plus élevées données dans le petit texte. Nous avons rejeté dans l'introduction et simplifié la théorie de la mesure des ensembles qui embarrassait précédemment le chapitre relatif aux intégrales définies. Nous avons refondu tout entière la théorie de l'intégrale de Lebesgue, mais nous avons conservé le procédé que nous avions introduit précédemment pour remonter de la dérivée à la primitive. Plusieurs années d'expérience et nos recherches personnelles nous ont suffisamment montré ses avantages et sa fécondité. Aussi bien son utilité apparaîtra-t-elle dans deux paragraphes nouveaux, l'un consacré au problème du changement de variable dans une intégrale définie, problème qui paraît recevoir ici sa solution définitive, l'autre consacré à la recherche de la primitive d'une dérivée seconde généralisée, question fondamentale dans la théorie des séries de Fourier.
Charles-Jean de LA VALLÉE POUSSIN, Avertissement

TOME II
Dans cette seconde édition, toute la rédaction du tome II a subi des modifications plus ou moins profondes, mais la plus importante provient de l'introduction des intégrales multiples de M. Lebesgue. Nous avons exposé cette théorie en nous guidant sur les Mémoires fondamentaux de l'auteur et nous avons été amené à traiter une question nouvelle qui en fournit d'intéressantes applications, celle des développements de fonctions en séries de polynomes. En outre, la théorie des séries trigonométriques, qui doit encore à M. Lebesgue ses plus importants progrès, a été complètement refondue et mise au niveau des connaissances actuelles.
Charles-Jean de LA VALLÉE POUSSIN, Préface

Dans cet Ouvrage sont exposées quelques méthodes pour la résolution des questions concernant les propriétés du mouvement et, en particulier, de l'équilibre, qui sont connues sous les dénominations de stabilité et d'instabilité.
[...]
L'essai unique, autant que je sache, de solution rigoureuse de la question appartient à M. Poincaré, qui, dans le Mémoire remarquable sous bien des rapports Sur les courbes définies par les équations différentielles, et en particulier, dans ses deux dernières Parties, considère des questions de stabilité relatives au cas des systèmes d'équations différentielles du second ordre et s'arrête aussi à quelques questions voisines, se rapportant à des systèmes du troisième ordre.
Bien que M. Poincaré se borne à des cas très particuliers, les méthodes dont il se sert permettent des applications beaucoup plus générales et peuvent encore conduire à beaucoup de nouveaux résultats. C'est ce qu'on verra par ce qui va suivre, car, dans une grande partie de mes recherches, je me suis guidé par les idées développées dans le Mémoire cité.
Le problème que je me suis posé, en entreprenant la présente étude, peut être formulé ainsi : indiquer les cas où la première approximation résout réellement la question de stabilité, et donner des procédés qui permettraient de la résoudre, au moins dans certains cas, quand la première approximation ne suffit plus.
Pour arriver à quelques résultats, il était tout d'abord nécessaire de faire certaines hypothèses, relativement aux équations différentielles considérées.
La plus simple, et en même temps celle qui conviendrait aux applications les plus importantes et les plus intéressantes, consisterait en ce que les coefficients dans les développements des seconds membres de ces équations sont des quantités constantes. L'hypothèse plus générale que ces coefficients sont des fonctions périodiques du temps correspondrait aussi à des questions intéressantes très nombreuses.
C'est dans ces deux hypothèses que je traite principalement la question.
Du reste, je touche en partie le cas plus général où lesdits coefficients sont des fonctions quelconques du temps qui ne dépassent jamais, en valeurs absolues, certaines limites.
Alexandre LIAPOUNOFF, Préface

Les progrès réalisés depuis quelques années dans la théorie des fonctions analytiques ont fait ressortir combien sont toujours fécondes et efficaces les méthodes ingénieuses créées par Cauchy, parmi lesquelles il convient de citer en premier lieu le Calcul des résidus. Il n'est donc pas sans intérêt de revenir maintenant sur ce Calcul classique et d'étudier systématiquement le rôle qu'il joue dans la théorie des fonctions proprement dite. C'est ce que nous avons tâché de faire dans ce petit Livre, en vue de faciliter dans une certaine mesure l'accès des parties modernes de l'Analyse.
Dans le premier Chapitre, nous passons rapidement en revue les principes et théorèmes généraux dont nous aurons à faire usage, en cherchant d'ailleurs à varier un peu ce sujet tant de fois exposé. Ayant fait une étude détaillée des travaux de Cauchy, y compris quelques Mémoires peu répandus que M. Mittag-Leffler a généreusement mis à notre disposition, nous avons tenu à relever les dates et à faire ressortir la portée de ses découvertes, ce qui nous a paru d'autant plus nécessaire qu'on rencontre souvent, dans la littérature, des indications assez peu exactes à ce sujet.
Le deuxième Chapitre contient diverses applications du Calcul des résidus, dues pour la plupart à Cauchy. Cependant les limites restreintes imposées à cet Ouvrage ne nous ont permis de donner qu'une idée très imparfaite du parti que Cauchy avait tiré lui-même de son Calcul. Parmi les applications faites par lui qui n'ont pu trouver place dans ce Chapitre, nous devons signaler surtout la méthode qu'il a employée pour obtenir des séries analogues à celle de Fourier, méthode dont on trouvera une très belle exposition au Tome II du Traité d'Analyse de M. Picard.
Le troisième Chapitre est consacré aux formules sommatoires. Le Calcul des résidus, appliqué systématiquement, permet de rattacher toutes ces formules, avec leurs conséquences multiples, a un même principe simple et naturel, et contribue ainsi à mettre plus d'ordre et d'unité dans cette partie si intéressante de l'Analyse.
Comme application de ces formules, nous en déduisons, au quatrième Chapitre, une grande partie des expressions et des développements trouvés, à différentes époques et par différentes méthodes, pour la fonction gamma et pour la fonction de Riemann. Ce Chapitre contient aussi quelques résultats nouveaux relatifs à la série de Stirling.
Enfin, au dernier Chapitre, nous donnons un aperçu de quelques résultats modernes relatif au prolongement analytique et à l'étude asymptotique des fonctions définies par un développement de Taylor, en insistant surtout sur certains théorèmes généraux riches en applications et qui semblent présenter un caractère définitif. Ici encore nous avons dû être assez bref et laisser de côté bien des questions intéressantes, mais nous espérons néanmoins que notre exposition ne sera pas sans utilité pour ceux qui désirent approfondir le sujet.
Nous tenons à exprimer ici nos vifs remerciements à M. Émile Borel, qui nous a invité à écrire ce Livre et qui, ensuite, en revoyant les épreuves, a bien voulu nous assister de ses précieux conseils.
Ernst LINDELÖF, Préface

ARTICLES :

I-7 : ANALYSE ALGÉBRIQUE
A. Pringsheim - G. Faber - J. Molk

II-8 : FONCTIONS ANALYTIQUES *
W.F. Osgood - P. Boutroux - J. Chazy

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

ARTICLES :

II-21 : PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SYSTÉMES D'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES.
ÉQUATIONS LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE.
E. von Weber - G. Floquet

II-22 : ÉQUATIONS NON LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE. ÉQUATIONS D'ORDRE PLUS GRAND QUE UN.
E. von Weber - É. Goursat

II-23
GROUPES DE TRANSFORMATIONS CONTINUS. *
H. Burkhardt - L. Maurer - E. Vessiot

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

ARTICLE :

II-31 : CALCUL DES VARIATIONS
A. Kneser - E. Zermelo - H. Hahn - M. Lecat

En publiant ce Traité d'Analyse, j'ai pour but principal de développer la partie de mon cours de la Faculté des Sciences, relative à la théorie des équations différentielles. Cet Ouvrage sera donc surtout un traité général sur la théorie des équations différentielles à une ou plusieurs variables. Je n'ai cependant pas cru devoir adopter ce dernier titre, et cela pour deux raisons.
D'abord, quelques uns de mes auditeurs ayant bien voulu exprimer le regret qu'une partie de mon cours lithographié de 1886-1887 ne fût pas reproduite, je me suis décidé à publier un Volume préliminaire commençant par les parties les plus élémentaires du Calcul intégral. De cette façon, je ne suppose chez le lecteur aucune autre connaissance que les éléments du Calcul différentiel aujourd'hui classiques dans les cours de Mathématiques spéciales.
Un autre motif, d'un caractère tout scientifique, m'engageait à garder le titre un peu vague de Traité d'Analyse , c'est que la théorie des équations différentielles est intimement liée à plus d'une autre théorie qu'il nous faudra approfondir. Pour ne citer qu'un exemple, l'étude préliminaire des fonctions algébriques est indispensable, quand on veut s'occuper de certaines classes d'équations différentielles. Nous ne nous bornerons donc pas strictement à l'étude des équations différentielles, nous rayonnerons autour de ce centre.
Émile PICARD, Introduction de la première édition

Quelqu'un demandait un jour à J.-B. Dumas, à propos de Claude Bernard : « Que pensez-vous de ce grand physiologiste ? », et Dumas répondit : « Ce n'est pas un grand physiologiste, c'est la Physiologie elle-même. » On pourrait dire pareillement de Henri Poincaré qu'il ne fut pas seulement un grand mathématicien, mais la Mathématique elle-même.
Dans l'histoire des Sciences mathématiques, peu de mathématiciens ont eu, comme lui, la force de faire rendre à l'esprit mathématique tout ce qu'il était à chaque instant capable de donner. En Mathématiques pures sa puissance d'invention fut prodigieuse, et l'on reste confondu devant la maîtrise avec laquelle il savait forger l'outil le mieux approprié dans toutes les questions qu'il attaquait.
Poincaré ne fut étranger à aucune des sciences parvenues à un stade assez avancé pour être susceptible de prendre, au moins dans certaines de leurs parties, une forme mathématique. Il a été en particulier un grand critique des théories de la Physique moderne, habile à les comparer et à mettre en évidence leur véritable origine, aimant aussi à signaler leurs points faibles et leurs contradictions.
[...]
Ce qui caractérise le génie mathématique de Poincaré, c'est sa puissance à embrasser d'emblée les questions dans toute leur généralité et à créer de toutes pièces l'instrument analytique permettant l'étude des problèmes posés. D'autres, et c'est ainsi qu'opèrent la majorité des chercheurs, commencent par s'enquérir de ce qui a été fait dans la voie qu'ils veulent explorer ; la documentation est pour eux un travail préliminaire. Poincaré s'attarde rarement à étudier les travaux antérieurs. Tout au plus, parcourt-il rapidement quelques-uns d'entre eux ; de vagues indications lui permettent de retrouver des Chapitres entiers d'une théorie.
Émile PICARD, L'œuvre de Henri Poincaré, Annales scientifiques de l'É.N.S., 3^e série, tome 30 (1913)

L'intégration des équations différentielles et aux dérivées partielles est restée jusqu'ici le problème central de la mathématique moderne. Elle en restera vraisemblablement encore l'un des problèmes capitaux, même si la Physique poursuit vers le discontinu l'évolution qui se dessine à l'heure actuelle.
La théorie des équations différentielles fut aussi la première à attirer l'attention de Poincaré. Elle fait l'objet de sa Thèse (1879).
Notons cependant que, sous l'influence du maître qui gouverna la génération précédente, j'ai nommé Hermite, le débutant ne craignait pas de suivre presque au même moment une voie pour ainsi dire opposée à la première, celle de l'Arithmétique.
La Thèse de Poincaré contient déjà sur les équations différentielles un résultat d'une forme remarquable, destinée à être plus tard pour lui un puissant levier dans ses recherches de mécanique céleste. Dès ce premier travail, il était, d'autre part, conduit à perfectionner le principal outil dont se fût servi jusque là, la théorie des équations différentielles, outil qu'il allait utiliser mieux que qui que ce soit, en même temps que le premier, il allait enseigner à s'en passer : la théorie des fonctions analytiques.
Celle-ci allait, presque immédiatement après, lui devoir une de ses plus belles conquêtes : c'est en 1880 que les fonctions fuchsiennes vinrent désigner Poincaré à l'attention et à l'admiration de tous les géomètres.
Jacques HADAMARD, L'œuvre mathématique de Poincaré, Acta Mathematica, Band 38 (1921)

L'œuvre de Bernhard Riemann est la plus belle et la plus grande de l'Analyse à notre époque : elle a été consacrée par une admiration unanime, elle laissera dans la Science une trace impérissable. Les géomètres contemporains s'inspirent dans leurs travaux de ses conceptions, ils en révèlent chaque jour par leurs découvertes l'importance et la fécondité. L'illustre géomètre a ouvert dans l'Analyse comme une ère nouvelle qui porte l'empreinte de son génie.
Charles HERMITE, Préface