Ce livre contient des développements de mathématiques pures, qui peuvent être lus indépendamment du reste ; cette lecture ne demande pas d'autres connaissances que celles du premier cycle des Facultés des Sciences.
Le chapitre I est un exposé des résultats essentiels de la géométrie différentielle ; nous ne donnons que les démonstrations qui servent directement à la compréhension des questions abordées ; le lecteur pourra trouver les autres dans les traités spécialisés.
Le chapitre II, consacré à la géométrie symplectique, contient, non seulement les résultats classiques de la théorie, mais aussi l'étude détaillée des théorèmes de type cohomologique mis en jeu par la notion abstraite de groupe dynamique ; ainsi que la génération réciproque de variétés symplectiques à partir des groupes de Lie.
Le § 16 (Chap. IV) est consacré à la notion de mesure sur une variété ; les démonstrations qui ne sont pas données se trouvent dans le traité de Bourbaki. Le texte est illustré d'exemples variés : convolution sur un groupe de Lie, variables aléatoires, moments, loi normale de Gauss, ensemble de Gibbs d'un groupe dynamique, photométrie classique.
Le § 18 est, lui aussi, purement mathématique ; il semble d'ailleurs que la « quantification géométrique » qui y est exposée puisse servir dans les problèmes de représentation unitaire des groupes. Nous en profitons d'ailleurs pour énoncer les définitions essentielles de cette théorie, espaces de Hilbert et C*-algèbres notamment.
Jean-Marie SOURIAU, Introduction

L'unité étroite de la science et de la vie, de la théorie et de la pratique a été le trait caractéristique de l'œuvre de nombreux savants russes. P. L. Tchebychef, fondateur de la grande école de mathématiques de Pétersbourg, écrivait :
« Le rapprochement de la théorie et de la pratique donne les résultats les plus bienfaisants et la pratique n'est pas la seule à en profiter : les sciences elles-mêmes se développent sous son influence : elle leur ouvre de nouveaux objets d'études ou bien de nouveaux aspects dans des matières depuis longtemps connues. »
En même temps, on procédait à une élaboration approfondie des problèmes qui avaient, tout au moins à cette époque, une importance théorique et qui étaient nécessaires pour le progrès de la science elle-même. Ceci se rapporte également à Tchebychef et à ses émules. Si les recherches de Tchebychef dans la théorie des polynômes d'approximation des fonctions ont grandi en liaison intime avec l'étude de la théorie des mécanismes, ses travaux sur la théorie des nombres avaient un caractère abstrait.
René TATON, Histoire générale des sciences, t. III, La Science contemporaine, vol. 1, Le XIX^e siècle, PUF, 1961

Nous croyons avoir introduit quelque simplification, et apporté des éléments nouveaux intéressants dans les exposés concernant surtout : – la représentation conforme ; – le théorème de Kutta-Joukowssky, ses cas singuliers et sa généralisation ; – les files de tourbillons, avec une démonstration de la formule de résistance, déduite simplement d'un nouveau théorème de M. J. Pérès ; – la théorie des sillages, qui s'est trouvée récemment complétée par la résolution des équations intégro-différentielles auxquelles nous avions antérieurement ramené la question ; – la théorie des fluides visqueux et quelques-unes de leurs propriétés, notamment à propos de la théorie d'Oseen.
Henri VILLAT, Préface

L'idée de soustraire la Mécanique à l'inutile principe de l'inertie fut, je crois, émise pour la première fois par Reech. 

J'ai repris l'idée de ce profond et regretté mécanicien, en l'élargissant un peu et, dans ces « Leçons » je montre comment le principe fondamental de la dynamique, indépendant des repères géométriques du mouvement, est dans une dépendance très atténuée vis-à-vis de l'horloge qui enregistre les mouvements.

L'idée si heureuse et si simple de Reech consiste à prendre comme élément cinématique de la dynamique, non pas l'accélération, mais une variation d'accélération ; j'adopte entièrement ce point de vue, mais je me sépare complètement de cet auteur dans l'appréciation du principe de d'Alembert.
Reech regardait ce principe comme superflu, or je l'envisage comme l'indispensable appui de sa conception des trois éléments essentiels à la matière en mouvement : la force, la masse, les liaisons.

Le progrès réalisé par l'École nouvelle dans la doctrine de la Mécanique rationnelle me paraît incontestable et je ne doute pas que l'école nouvelle ne devienne à son tour l'École classique.
On peut se demander pourquoi l'idée si simple de Reech ne s'est pas présentée aux immortels fondateurs de la Mécanique : Galilée et Newton ?
C'est d'abord que la notion de l'espace absolu ne leur répugnait pas.
C'est ensuite que, la Mécanique débutant par un éclatant triomphe dans le ciel, constitua d'abord la mécanique céleste ; l'histoire même de la science lui donnait une allure astronomique dont elle se ressent encore.
La science qu'ils fondaient devinait du premier coup un ciel assoupli à des lois simples – un système solaire visible, infiniment moins complexe certes, qu'une molécule.
N'était-il pas tout naturel alors d'espérer pour le monde moléculaire une loi aussi simple que la loi de l'attraction ?
On sait de quelle déception cette attente fut suivie ; peut-être pareil espoir renaîtra-t-il, sous une nouvelle forme, le jour ou une réelle synthèse des sciences physiques sera possible. En attendant, tandis que dans un désordre apparent, s'amasse la riche moisson des faits, l'esprit humain exerce son sens critique et surveille sa propre logique.
De là sans doute la tardive apparition de l'école nouvelle inaugurée par Reech.
Jules ANDRADE, Introduction