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Georges VALIRON

Cours d'Analyse Mathématique

THÉORIE DES FONCTIONS

Troisième édition

Paris, Masson et C^ie, Éditeurs
1966

Auteur :
Georges VALIRON

Cours de la Sorbonne

Thème :
MATHÉMATIQUES
Analyse

Reprint 2015
17 x 24 cm
536 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-349-2

S O M M A I R E


I - NOMBRES. ENSEMBLES. LIMITES

1 - Nombres irrationnels. Nombres réels. Nombres complexes.
- Notion de coupure.
- Interprétation géométrique.
- Opérations sur les nombres réels..
- Nombres complexes.

2 - Ensembles de nombres et ensembles linéaires. Limites.
- Ensembles de nombres réels et ensembles linéaires de points. Bornes d'un ensemble.
- Valeurs limites. Points limites ou points d'accumulation. Plus grande limite et plus petite limite.
- Ensembles dénombrables et suites infinies. Suites convergentes. Théorème de Cauchy.
- Application aux séries. Théorèmes de Cauchy. Règle d'Abel.
- Définitions. Théorème de Borel-Lebesgue. Théorème de Cantor.
- Nombres de Liouville.

3 - Notions sur les fractions continues arithmétiques.
- Définition. Réduites.
- Premier théorème sur l'approximation.
- Théorème de Lagrange.
- Théorèmes sur l'approximation.

4 - Ensembles de points dans l'espace.
- Extension aux ensembles de points des propriétés des ensembles linéaires.
- Domaines. Courbe de Hilbert. Courbes de Jordan.

II - SÉRIES ET PRODUITS INFINIS

1 - Compléments sur les séries simples.
- Règles de Cauchy.
- Comparaison des séries et des intégrales. Règle de Cauchy, de Raabe et Duhamel.
- Modification de l'ordre des termes d'une série.
- Premiers exemples d'interversion des passages à la limite. Règle de Weierstrass. Développement de cotg x.

2 - Séries multiples. Applications.
- Séries déduites de suites à deux indices. Séries doubles.
- Applications et exemples.
- Extensions de la notion de série double. Exemples.

3 - Produits infinis. Applications.
- Produits infinis absolument convergents.
- Applications : Fonction S(z). Décomposition en facteurs de sin x. Règle de Gauss. Fonction de Riemann.

III - GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS CONTINUES. FONCTIONS D'UNE VARIABLE.

1 - Fonctions continues.
- Rappel des notions de fonction et de limite.
- Limites d'indétermination. Théorème de Cauchy.
- Continuité en un point. Continuité dans un continu.
- Propriétés des fonctions continues dans un continu.
- Transformations ponctuelles continues.
- Fonctions composées et produit de transformations ponctuelles.

2 - Compléments sur les équations algébriques.
- Démonstration du théorème fondamental.
- Méthode de Lagrange pour les racines multiples.
- Identité de Bezout.

3 - Étude de quelques classes de fonctions d'une variable.
- Continuité et discontinuité. Fonctions monotones. Fonctions inverses.
- Fonctions à variation bornée.
- Définition de la longueur d'un arc de courbe. Théorèmes de Jordan.
- Fonctions dérivables. Formule de Taylor.
- Fonctions et courbes convexes.
- D'fférentielles. Changement de variable. Différences et différentielles.
- Remarques sur la définition des différentielles d'ordre supérieur.

IV - INTÉGRALE DE RIEMANN. APPLICATIONS ET EXTENSIONS.

1 - Définition et propriétés de l'intégrale de Riemann.
- Problème de l'intégration. Condition d'intégrabilité.
- Extensions de la définition.
- Propriétés de l'intégrale et des fonctions intégrables.
- Classes de fonctions intégrables.
- Inégalités. Formule de la moyenne. Inégalité de Schwarz.
- Intégrale fonction de sa limite supérieure. Intégrale indéfinie et primitives.

2 - Procédés d'intégration. Transcendance de e et de π.
- Changement de variable. Différentielle binôme.
- Intégration par parties. Formule de Taylor.
- Transcendance de e et de π.

3 - Quelques applications.
- Longueur d'un arc de courbe.
- Calcul des aires planes.
- Théorie des indices et théorème de Sturm.

4 - Extensions de la notion d'intégrale.
- Intervalle d'intégration infini.
- Cas où la fonction à intégrer ne reste pas bornée.
- Notions sur l'intégrale de Stieltjes.
- Intégrales curvilignes.
- Sur les intégrales curvilignes planes.
- Application au calcul des aires planes.

V - NOTIONS SUR L'INTÉGRALE DE LEBESGUE.
- Mesure d'un ensemble linéaire.
- Théorèmes de Lebesgue.
- Fonctions mesurables.
- Intégration des fonctions mesurables bornées.
- Propriétés de l'intégrale de Lebesgue.
- Comparaison de l'intégrale de Riemann et de l'intégrale de Lebesgue.
- Formules de la moyenne. Intégration des fonctions dérivées.
- Fonctions sommables.
- Indication de quelques résultats.

VI - FONCTIONS D'UNE VARIABLE DÉFINIES OU REPRÉSENTÉES PAR DES SÉRIES OU DES INTÉGRALES.

1 - Convergence uniforme. Application aux intégrales et aux séries.
- Définitions. Théorèmes généraux.
- Continuité d'une intégrale. Dérivation sous le signe d'intégration.
- Intégration sous le signe d'intégration.
- Extension des formules aux intégrales généralisées.
- Application au calcul des intégrales de Fresnel.
- Continuité, dérivation et intégration des séries.
- Application aux séries de Dirichlet.
- Autres applications et exemples.
- Exemple de fonction continue non dérivable.

2 - Fonctions analytiques d'une variable réelle.
- Définitions et propriétés.
- Opérations sur les fonctions analytiques. Détermination de ces fonctions. Extension analytique.
- Fonctions quasi-analytiques.

3 - La fonction Γ(x).
- Formule de Wallis et formule de Stirling pour n !.
- Interpolation de n ! par la fonction eulérienne Γ(x).
- Définition de Gauss. Formule de Weierstrass et formule des compléments.
- Dérivée logarithmique de Γ(x). Analycité.

VII - SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES ET GÉNÉRALISATIONS.

1 - Séries de Fourier.
- Convergence et convergence uniforme des séries trigonométriques. Formules d'Euler-Fourier.
- Série de Fourier d'une fonction périodique. Méthode de sommation de Cesaro. Théorème de Fejér.
- Cas de convergence de la série de Fourier. Théorème de Hardy-Landau. Conditions de Dirichlet et de Jordan.
- Cas des fonctions définies sur le segment (-π, +π). Exemples. Phénomène de Gibbs.
- Intégration d'une série de Fourier.

2 - Applications et généralisations.
- Application à la représentation des fonctions.
- Meilleure approximation par des sommes trigonométriques. Formules de Bessel et de Parseval.
- Applications. Théorème des isopérimètres. Problème des cordes vibrantes.
- Généralisations de la théorie : systèmes orthogonaux de fonctions.
- Fonctions presque périodiques.

VIII - RÉDUCTION ET CALCUL MÉCANIQUE DES INTÉGRALES.

1 - Réduction des intégrales elliptiques et hyperelliptiques. Notions sur les intégrales abéliennes.
- Théorème d'Hermite sur l'intégration des fractions rationnelles.
- Réduction des intégrales elliptiques et hyperelliptiques.
- Cas des intégrales elliptiques.
- Intégrales abéliennes. Courbes unicursales.
- Notions sur les courbes de genre 1.

2 - Polynômes de Legendre et polynômes de Bernoulli.
- Définition des polynômes de Legendre par la condition d'orthogonalité.
- Relation entre trois polynômes de Legendre successifs.
- Équation différentielle vérifiée par P_n(x).
- Nombres et polynômes de Bernoulli.

3 - Formule d'Euler-Mac-Laurin.
- Formule et développement d'Euler-Mac-Laurin.
- Application à l'intégration. Formule de Stirling.
- Formule sommatoire d'Euler-Mac-Laurin.

4 - Interpolation et intégration mécanique.
- Formule d'interpolation de Lagrange et méthode générale de Cotes.
- Méthode de Gauss.
- Méthode des trapèzes.
- Méthode de Simpson.
- Autres méthodes.

IX - FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES.

1 - Dérivées partielles et différentielles. Changements de variables.
- Dérivées partielles. Théorème de Schwarz.
- Fonction différentiable. Changement de variables.
- Différentielle et gradient.
- Extension de la formule de Taylor, due à Lagrange et Cauchy. Théorèmes d'Euler sur les fonctions homogènes.
- Différentielles d'ordre supérieur. Changement de variables.
- Application au calcul des dérivées partielles.
- Exemples divers. Laplacien en coordonnées polaires et en coordonnées sphériques.

2 - Fonctions implicites et déterminants fonctionnels.
- Fonction implicite définie par une seule équation.
- Existence et calcul des dérivées.
- Fonctions implicites définies par un système d'équations.
- Existence et calcul des dérivées.
- Applications. Inversion des transformations ponctuelles.
- Application aux changements de variables.
- Propriétés des déterminants fonctionnels.
- Exemple. Équation des surfaces développables.
- Cas des points singuliers.

3 - Détermination des extrema.
- Conditions de l'extremum libre. Fonctions de deux variables.
- Conditions de l'extremum libre pour les fonctions de plus de deux variables.
- Extrema liés. Méthode des multiplicateurs de Lagrange.
- Exemples.

4 - Notions sur les transformations de contact.
- Transformations de contact planes.
- Transformations de contact dans l'espace. Transformation de Legendre.
- Transformations de contact de deuxième espèce. Transformations d'Ampère et de Lie.

X - INTÉGRALES DOUBLES.

1 - Définition et calcul des intégrales doubles.
- Définition de l'intégrale double.
- Propriétés de l'intégrale. Cas des fonctions continues.
- Calcul des intégrales doubles.
- Changement de variables.
- Applications et interprétation géométrique.
- Applications. Calcul des volumes.

2 - Formule de Riemann. Applications.
- Formule de Riemann.
- Exemples.
- Application aux différentielles totales.

3 - Extensions de la notion d'intégrale double.
- Cas où le domaine d'intégration est infini.
- Règles de convergence. Comparaison avec les séries doubles.
- Cas où la fonction à intégrer devient infinie.
- Application aux fonctions eulériennes.

4 - Intégrales de surface. Intégrales dépendant de paramètres.
- Aire d'une surface courbe.
- Intégrales de surface. Applications. Flux d'un vecteur.
- Formule de Stokes. Vecteur tourbillon. Différentielles totales.
- Fonctions définies par des intégrales doubles.

 

XI - INTÉGRALES TRIPLES ET INTÉGRALES MULTIPLES.

1 - Intégrales triples. Applications.
- Intégrales triples. Définition et mode de calcul.
- Changement de variables. Applications et exemples.
- Extensions de la notion d'intégrale triple. Intégrales triples et séries triples.

2 - Éléments d'analyse vectorielle. Applications.
- Formule d'Ostrogradsky.
- Formule de Green. Applications.

3 - Notions sur les intégrales multiples.
- Digression sur la définition de l'aire des polygones et du volume des polyèdres.
- Intégrales multiples. Exemple.

XII - FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES D'UNE VARIABLE COMPLEXE.

1 - Définitions. Fonctions holomorphes.
- Fonctions d'une variable complexe. Fonctions monogènes.
- Condition de monogénéité. Condition d'holomorphie. Équation de Laplace.
- La transformation définie par une fonction holomorphe est conforme.
- Fonctions univalentes et représentation conforme simple.
- Théorème des fonctions primitives.

2 - Étude de la fonction homographique.
- Généralités. Points doubles.
- Transformations et géométrie de Poincaré.
- Transformations conservant l'intérieur d'un cercle.
- Dérivée schwarzienne.

3 - Séries entières. Fonctions exponentielles et circulaires.
- Propriétés des séries entières. Holomorphie. Formule de Taylor.
- La fonction exponentielle.
- Fonctions trigonométriques.

4 - Premiers exemples de fonctions multiformes.
- Fonction logarithmique.
- Définition d'une classe de fonctions analytiques.
- Fonctions z^1/m et [P(z)]^1/m. Points de ramification.
- Feuillets plans superposés de Riemann.
- Fonctions log z, log f(z), z^m.
- Fonctions arc cos z et arc tg z.

XIII - THÉORIE DE CAUCHY. THÉORÈMES FONDAMENTAUX ET CALCUL DES RÉSIDUS.

1 - Théorèmes fondamentaux.
- Intégrale d'une fonction de variable complexe.
- Intégration des séries.
- Formule de la moyenne de Weierstrass.
- Théorème fondamental de Cauchy. Démonstration de Goursat.
- Extension du calcul intégral.
- Formule fondamentale de Cauchy. Existence des dérivées des fonctions holomorphes. Série de Taylor.
- Inégalités de Cauchy. Théorèmes de Cauchy, Liouville, Schwarz, Hadamard.
- Définition d'une fonction holomorphe par des valeurs sur un contour.
- Suites, séries, produits infinis de fonctions holomorphes.

2 - Application aux fonctions uniformes.
- Zéros d'une fonction holomorphe. Applications.
- Pôles. Fonctions méromorphes dans un domaine.
- Détermination d'une fonction méromorphe par les parties principales de ses pôles. Théorème de Mittag-Leffler. Exemples.
- Série de Laurent. Points singuliers essentiels. Applications.
- Théorème de Weierstrass sur les points singuliers essentiels isolés.
- Résidus. Théorème fondamental.
- Applications. Nombre des zéros. Théorème de d'Alembert. Théorème de Rouché. Conséquences.
- Définitions relatives au point à l'infini.
- Représentation des nombres et des fonctions complexes sur la sphère de Riemann.

3 - Application de la méthode des résidus au calcul de certaines intégrales définies.
- Intégrales de fonctions rationnelles.
- Intégrales renfermant des exponentielles.
- Intégrales où entrent des fonctions multiformes. Remarques générales.

XIV - THÉORIE DE WEIERSTRASS. PROLONGEMENT ANALYTIQUE. FONCTIONS ANALYTIQUES ET FONCTIONS UNIFORMES.

1 - Le prolongement analytique et les fonctions analytiques.
- Prolongement analytique radial d'une série de Taylor.
- Séries non prolongeables.
- Définition générale du prolongement analytique. Fonctions analytiques. Théorème de Poincaré-Volterra.
- Fonctions uniformes et fonctions multiformes. Surface de Riemann. Points singuliers.
- Fonctions inverses. Permanence des égalités fonctionnelles.

2 - Périodes des intégrales définies.
- Intégrales de fonctions uniformes. Périodes polaires.
- Périodes des intégrales elliptiques et hyperelliptiques.
- Rapport des périodes de l'intégrale elliptique.

3 - Décomposition en facteurs des fonctions entières.
- Formules de Jensen, Poisson, Nevanlinna.
- La formule de Poisson, le problème de Dirichlet et les séries trigonométriques.
- Théorème de Weierstrass sur la décomposition en facteurs.
- Fonctions entières d'ordre fini. Théorème d'Hadamard.
- Détermination de l'ordre à partir du développement taylorien.

XV - NOTIONS SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME.

1 - Familles de fonctions holomorphes bornées.
- Théorème de Montel sur les fonctions holomorphes bornées dans leur ensemble dans un domaine.
- Théorème de Vitali.

2 - Représentation conforme des domaines simplement connexes.
- Remarques préliminaires.
- Démonstration du théorème fondamental.
- Fonctions subordonnées. Principe de la symétrie de Schwarz.
- Domaines limités par des arcs de courbes analytiques.
- Théorie géométrique des fonctions analytiques.

3 - Théorèmes de Schwarz.
- Représentation conforme des polygones sur un demi-plan.
- Cas du triangle et du quadrilatère.
- Représentation des domaines limités par des arcs de courbe.
- Fonctions de Schwarz.

4 - Théorème de Picard.
- Fonction modulaire. Premier théorème de Picard. Théorème de Landau.
- Théorème de Schottky.
- Théorème de Julia.

XVI - NOTIONS SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

1 - Inversion de l'intégrale elliptique.
- Condition suffisante pour qu'une transformation soit une transformation conforme simple.
- Inversion de l'intégrale elliptique de première espèce.

2 - Éléments de la théorie des fonctions elliptiques. Notations de Weierstrass.
- Définition et théorèmes généraux.
- Fonction pz.
- Relation entre pz et p'z.
- Fonction ζz. Formule d'Hermite.
- Fonction σz. Décomposition des fonctions elliptiques en un produit de facteurs.
- Formules d'addition.
- Intégration des fonctions elliptiques.

3 - Fonctions loxodromiques et notations de Jacobi.
- Théorèmes généraux. Expression d'une fonction loxodromique à partir de S(z).
- Fonction ρ(z).
- Relation entre les fonctions loxodromiques et elliptiques. Notations de Jacobi.
- Fonctions sn, cn, dn. Inversion de l'intégrale de Legendre.
- La fonction modulaire et l'inversion de l'intégrale elliptique.

XVII - FONCTIONS HOLOMORPHES DÉFINIES PAR DES INTÉGRALES. APPLICATIONS.

1 - Fonction gamma. Méthodes de sommation.
- Fonctions définies par une intégrale. Formule de Hankel.
- Fonctions de Mittag-Leffler.
- Théorèmes de Lindelöf et Phragmén.
- Indicatrice de croissance de Lindelöf et Phragmén.
- Méthodes de prolongement alalytique de Borel et de Mittag-Leffler.
- Méthodes de sommation par les moyennes.

2 - Fonctions de Riemann. Application.
- Fonction ζ(s) de Riemann.
- Fonction ξ de Riemann.
- Fonctions arithmétiques liées à ζ(s). Lemme sur ζ(s).
- Démonstration du théorème d'Hadamard par la méthode de Landau.